1、以密碼學(xué)為主題的數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)研究摘 要：分析闡釋數(shù)學(xué)與密碼學(xué)的關(guān)系，以數(shù)學(xué)課程為主線，設(shè)計(jì)幾個(gè)以密碼學(xué)為主題的研究性課題。 促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，在一定程度上提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決網(wǎng)絡(luò)空間安全問(wèn)題的能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；密碼學(xué)；微課；翻轉(zhuǎn)課堂；研究性學(xué)習(xí)0引言隨著2016年網(wǎng)絡(luò)空間安全國(guó)家戰(zhàn)略1的提 出，網(wǎng)絡(luò)空間安全知識(shí)越來(lái)越受到人們的重視, 密碼學(xué)是其中的重要理論基礎(chǔ)2，因而很多學(xué)者 致力于密碼學(xué)知識(shí)的科普工作鄧。數(shù)學(xué)課程貫 穿于從小學(xué)到大學(xué)甚至博士的各個(gè)階段，其重要 性毋庸置疑，研究性學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)的一種重要教學(xué) 內(nèi)容。密碼學(xué)的很多理論都以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，是數(shù) 學(xué)基本理論的應(yīng)用。把數(shù)

2、學(xué)和密碼學(xué)結(jié)合起來(lái), 利用微課5、翻轉(zhuǎn)課堂6等新教學(xué)模式，探討以 密碼學(xué)為主題的數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，不僅可以培養(yǎng) 學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué) 生了解密碼學(xué)相關(guān)知識(shí)，提高綜合素質(zhì)，而且可 以提升教師的教學(xué)能力和水平。1 預(yù)備知識(shí)數(shù)學(xué)是貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的一門學(xué)科，密 碼學(xué)作為數(shù)學(xué)在網(wǎng)絡(luò)空間安全應(yīng)用的一門新興學(xué) 科，兩者關(guān)系密切，相互促進(jìn)。研究性學(xué)習(xí)與翻 轉(zhuǎn)課堂的目標(biāo)都是為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、合 作能力、自主解決問(wèn)題能力，兩者結(jié)合有助于提 高教學(xué)效果。本章我們主要從數(shù)學(xué)與密碼學(xué)的關(guān) 系、研究性學(xué)習(xí)的概念、微課與翻轉(zhuǎn)課堂等新教 學(xué)模式幾個(gè)方面，探討以密碼學(xué)為主題的數(shù)學(xué)研 究性學(xué)習(xí)翻轉(zhuǎn)課堂

3、教學(xué)研究的重要性。數(shù)學(xué)與密碼學(xué)密碼學(xué)7是在存在第三方敵手的情況下實(shí)現(xiàn) 安全通信技術(shù)的實(shí)踐和研究，涉及消息機(jī)密性、 完整性、身份認(rèn)證、數(shù)字簽名、訪問(wèn)控制等諸多 領(lǐng)域，擁有密碼編碼學(xué)和密碼分析學(xué)兩個(gè)分支， 是網(wǎng)絡(luò)空間安全的基礎(chǔ)與核心。密碼學(xué)涉及較多 的數(shù)學(xué)知識(shí)8，如數(shù)論、圖論、橢圓曲線、概率 論、數(shù)理邏輯等，還涉及計(jì)算機(jī)、通信工程等多 個(gè)學(xué)科，是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要應(yīng)用。所用的數(shù) 學(xué)知識(shí)，有的涉及比較高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，有的只 需要中小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。研究性學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)9是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從生 活中選擇研究專題、主動(dòng)獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、 解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生自主開展的以科學(xué) 研究為主的課題研究

4、活動(dòng)。研究表明10，研究 性學(xué)習(xí)通過(guò)學(xué)生研究復(fù)雜、新奇的問(wèn)題，提高了 學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)成績(jī)和提出問(wèn)題的能力，提高了 學(xué)習(xí)質(zhì)量。研究性學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)11是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與能力、問(wèn)題意識(shí)、合作意識(shí)與能 力、關(guān)注社會(huì)現(xiàn)實(shí)意識(shí)與責(zé)任感。1.3微課、翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式微課5是圍繞學(xué)科知識(shí)點(diǎn)，針對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié) 設(shè)計(jì)制作的一系列微視頻教學(xué)資源。翻轉(zhuǎn)課堂6 是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)模式的翻轉(zhuǎn)，學(xué)生在課前利用教 師的微課視頻等資源學(xué)習(xí)，在課堂上在教師的 指導(dǎo)下完成作業(yè)或者 實(shí)驗(yàn)的一種教學(xué)模 式。翻轉(zhuǎn)課堂加強(qiáng)了 學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主 探索的過(guò)程，更符合 人類的認(rèn)知規(guī)律，體 現(xiàn)了 “以學(xué)生為中 心”的教學(xué)理念。2 基于密碼學(xué)的 數(shù)學(xué)

5、研究性學(xué)習(xí)教 學(xué)設(shè)計(jì)(b)圖1移位密碼(a (b)圖1移位密碼這里主要針對(duì)移 位密碼和秘密分割兩 部分內(nèi)容做研究性學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)，這兩部分內(nèi)容都 需要選擇一個(gè)學(xué)生感興趣的實(shí)際應(yīng)用故事，這種 故事在一般的密碼學(xué)書籍中都有介紹，我們沒(méi)有 在此給出。對(duì)于移位密碼，主要通過(guò)學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù) 學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，讓學(xué)生不僅鞏固相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)， 而且理解密碼學(xué)中明文、密文、加密、密碼分 析、基爾霍夫原則等基本概念。對(duì)于秘密分割， 主要是在鞏固相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，理解密 碼學(xué)中秘密分割的基本概念及其常見(jiàn)的門限方 案構(gòu)造方法。2.1移位密碼古典密碼體制中的移位變換密碼12是一種 代換密碼，把26個(gè)字母圍成一圈，以密鑰3(凱 撒

6、密碼)為例，加密是每個(gè)字母向后移3個(gè)，解 密是每個(gè)字母向前移3個(gè)。小學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)時(shí)間。鐘表，同一 個(gè)刻度“1”，時(shí)針指過(guò)來(lái)，表示“1小時(shí)”，分 針指過(guò)來(lái)，表示“5分鐘”，這剛好是一種代換。 如圖1(a)所示，箭頭所示的地方表示小時(shí)為“1 小時(shí)”，表示分鐘為“5分鐘”；類似地，在凱撒 密碼中，如圖1(b)所示，用大寫字母表示明文， 小寫字母表示密文，箭頭所示的地方對(duì)應(yīng)的明文 為“A”，密文為“d”。利用凱撒密碼，根據(jù)圖 1(b)可知，對(duì)于漢語(yǔ)拼音(二年級(jí)的小朋友還沒(méi) 有學(xué)習(xí)英語(yǔ))“WE MEN SHI HAO PENG YOU(我 們是好朋友)”加密所得的密文是“zh phq vkl k

7、dr shqm brx”，解密，可得對(duì)應(yīng)的明文。小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除 法，利用帶余除法，結(jié)合鐘表的認(rèn)識(shí)，類似于 文獻(xiàn)3在2.1.2節(jié)中講解模余運(yùn)算的方法，把 A - Z對(duì)應(yīng)于0 - 25,選定密鑰k為 025中的一個(gè)隨機(jī)數(shù)(凱撒密碼中k=3 )，明文 記作m，密文記作c，加密算法為c=Ek(m)=m+k mod 26 ；解密算法為 m=Dk(m)=c-kmod 26。初中三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)概率初步之后，我們 可以對(duì)移位密碼進(jìn)行密碼分析。根據(jù)基爾霍夫原 則12，假設(shè)敵手知道正在使用的密碼體制是移位 密碼，截獲的密文是“bg fwg kwngsix，利用英 文語(yǔ)言的統(tǒng)計(jì)特性13，字母E是

8、出現(xiàn)次數(shù)最 多的，說(shuō)明密文g對(duì)應(yīng)的明文E,因而密 鑰 k=5,明文是 “WE ARE FRIENDS”。秘密分割秘密分割12是密碼學(xué)的一個(gè)重要概念，是 指把一個(gè)秘密分給多個(gè)人掌管，在需要恢復(fù)這個(gè) 秘密的時(shí)候，必須有一定數(shù)目的掌管秘密的人同 時(shí)到場(chǎng)才能完成。常見(jiàn)的(k,n)門限方案是指把 秘密s分成n個(gè)部分，每一部分由一個(gè)參與者持有，并且滿足由k個(gè)或者多于k個(gè)秘密持有者 可以恢復(fù)秘密S,由少于k個(gè)秘密持有者不能 恢復(fù)秘密s。1979年Blakley網(wǎng)和Shamir15分別 利用幾何方法和基于多項(xiàng)式的拉格朗日插值公式 構(gòu)造了門限方案。其中Shamir的方案18是目前 使用最廣泛的門限方案，該文章的

9、谷歌學(xué)術(shù)引用 次數(shù)已經(jīng)達(dá)到1.3萬(wàn)次。針對(duì)幾何構(gòu)造方法，可以根據(jù)初中一年級(jí)數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)幾何圖形初步16中的知識(shí)點(diǎn)“兩點(diǎn)確定 一條直線”設(shè)計(jì)(2,3)門限密碼分割方案，見(jiàn)圖2。 假定一個(gè)秘密是位置P，并且知道這個(gè)位置在某 條已知直線I。上，則我們過(guò)這個(gè)位置點(diǎn)P任意做 一條與已知直線相交的直線I，在直線l上任取 不同于P的3個(gè)點(diǎn)A】,42, A3分發(fā)給3個(gè)參與者, 恢復(fù)秘密的時(shí)候，只需有兩個(gè)參與者就可以把直 線l恢復(fù)出來(lái)，與直線直線lo的交點(diǎn)P也就恢復(fù)另外，也可以根據(jù)初中三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)圓15 中的知識(shí)點(diǎn)“不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一 個(gè)圓”設(shè)計(jì)(3,5)門限密碼分割方案，見(jiàn)圖3。假 定一個(gè)秘密是位

10、置P，則我們以點(diǎn)P為圓心任意 做一個(gè)圓，記作P”，在。P上任取5個(gè)點(diǎn) A1, A?, A3, A4, A5分發(fā)給5個(gè)參與者，恢復(fù)秘密的 時(shí)候，只需有3個(gè)參與者就可以把。P恢復(fù)出來(lái), 圓心P也就恢復(fù)出來(lái)了。也可以把圖2所示的(2,3)門限密碼分割方 案轉(zhuǎn)化為Shamir的方案15的形式，見(jiàn)圖4。初 中二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一次函數(shù)及其圖像，我們假 定秘密是一個(gè)數(shù)s，把秘密作為圖2中點(diǎn)P的縱 坐標(biāo)，直線10作為縱軸(y軸)，選擇合適的橫 軸(x軸)，隨機(jī)選擇數(shù)1( 乂 0)構(gòu)造一次函數(shù) f(x)=s+a1x，其圖像對(duì)應(yīng)于圖2中直線I。隨機(jī)選 擇3個(gè)不為0的自變量X1, X2, X3，計(jì)算f(X1), f(

11、x2), ffe)，把對(duì)應(yīng)的 3 個(gè)點(diǎn) A1(xfX1), A2(X2fx2), A3(X3,fx3)分發(fā)給3個(gè)參與者。恢復(fù)秘密的時(shí)候, 可以按照?qǐng)D2的方式恢復(fù)，也可以利用初中一年 級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)二元一次方程的求解過(guò)程恢復(fù)，詳細(xì) 如下：假設(shè)其中兩個(gè)參與者提供了 A1, A2的坐標(biāo), 可以構(gòu)造方程組，( 1 1 ,其中s,a1f (x2) = s + 1*2是未知的，可以利用初中一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)二元一 次方程求解上述方程組，得出秘密s的值。圖4利用直角坐標(biāo)系中的直線構(gòu)造的秘密分割方案還可以把圖4所示的(2,3)門限密碼分割 方案利用初中三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)推廣 到(3,5)門限密碼分割方案，詳見(jiàn)圖5

12、。我們假 定秘密是一個(gè)數(shù)s,點(diǎn)P和坐標(biāo)系的選擇同圖 4,隨機(jī)選擇兩個(gè)不為0的數(shù)0死，構(gòu)造二次 函數(shù)f(x)=s+a1x+a2x2,其圖像如圖5曲線l,隨 機(jī)選擇5個(gè)不為0的自變量X1,X2,X3,X4,X5 ,計(jì) 算f Xj, f X2) ffe), f X4) ffe),把對(duì)應(yīng)的5個(gè)點(diǎn) A1(X1,f(X1),A2(X2,f(X2), A3(X3,f(X3),A4(X4,f(X4),A5(X5,f 任)分發(fā)給5個(gè)參與者。恢復(fù)秘密的時(shí)候，類似 于圖4的第二種方式，詳細(xì)如下：假設(shè)其中兩個(gè)參與者提供了 A1,A2,A5的坐標(biāo)， f( *1)=s+a 1x1+a2 *2f( x2)=s+a1x2+a2 x2,其中可以構(gòu)造方程組f( x5)=s+a1x5+a2 x2 s,ai,a2是未知的，我們可以利用初中一年級(jí)數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)三元一次方程求解上述方程組，得出秘密s 可以構(gòu)造方程組圖5利用直角坐標(biāo)系中的二次函數(shù)構(gòu)造的秘密分割方案在大學(xué)里面學(xué)習(xí)了計(jì)算方