1、抽象代數 群的定義1第1頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三 群的定義 設非空集S上有一個運算 ,1、如果運算滿足結合律，則稱(S,)是半群。2、如果半群S中有一個元素 e 滿足aS有 e a = a e = a，則稱(S, e) 是幺半群，稱e為單位元 或幺元。3、如果幺半群S滿足aS有S使得 a = a = e則稱 a 是可逆元，并稱是 a 的一個逆元。注：通常用 1 表示單位元。2022/9/192第2頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三群定義命題 若 a 是可逆元，則 a 的逆元是唯一的，記為 a證明：若 a 有兩個逆元和，即有 ab=ba=

2、1, ac=ca=1 b=1b=cab=c1=c. 5、如果幺半群S的每個元素都有逆元，則稱是一個群 (group)。運算滿足交換律的群稱為交換群.2022/9/193第3頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三群定義6、對群G中的元 a 和正整數 n an 表示 n 個 a 相乘; a-n =(a-1)n, a0 = 17、驗證： amn =(am)n ; am+n =am an.2022/9/194第4頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三幾個問題:(1)、為什么要求群的運算滿足結合律? (2)、為什么要有單位元？(3)、逆元的存在性有何運算意義? 2

3、022/9/195第5頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三 群的例子 再明確一下群的概念定義設是一個非空集合，如果上定義了一個運算滿足（）結合律a,b,cA 有 (ab)c=a(bc)；（）有單位元 e：aA有ea=ae=a；（）有逆元aG，有 b使得 ab=ba=e(其中 b 稱為 a 的逆元，記為 a )。則稱是一個群注意：記住驗證運算的封閉性！2022/9/196第6頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三1.群的概念和例子例實集、有理數集、整數集關于數的加法都是交換群（滿足交換律的群）；關于數的乘法怎么樣？規定：只有交換群的運算符才能用加號“+”

4、表示。當交換群G的運算符才能用加號“+”表示時，則稱G為加群。例正實集、正有理數集關于數的乘法都是交換群；正整數集關于數的乘法怎么樣？2022/9/197第7頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三例即方程xn = 1的全部根之集，不難驗證:1.群的概念和例子設是n次單位根集n 關于數的乘法是一個群叫做n次單位根群。2022/9/198第8頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三1.群的概念和例子證明：例域上的全體 n 階可逆方陣GLn(F)關于矩陣的乘法構成一個群，稱為上的 n 階一般線性群即,GLn(F)，有ABGLn(F)封閉性可逆矩陣的乘積還是可逆矩

5、陣，結合律:矩陣的乘法滿足結合律；單位元:單位矩陣就是單位元；逆 元:GLn(F)，可逆，A的逆矩陣就是的逆元2022/9/199第9頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三1.群的概念和例子例域上的行列式為1的全體n階方陣之集SLn(F)關于矩陣的乘法構成一個群，稱為上的n階特殊線性群例6實數域R上的全體n階正交矩陣之集On(R)關于矩陣的乘法構成一個群，稱為n階正交群2022/9/1910第10頁，共12頁，2022年，5月20日，14點37分，星期三例7向量空間V上的全體可逆線性變換GL(V)關于變換的合成運算構成一個群例8 n 維歐氏空間V上的全體正交變換之集On(V)關于變換的合成運算構成一個群例9平面上繞一定點按同一方向旋轉 2k / n 的變換記為k ，則1, 2, , n 關于變換的合成運算構成一個群。2022/9/1911第11頁，共12頁，