1、數學廣角-鴿巢問題例1、例2。【教材分析】 鴿巢問題也被稱為“抽屜原理”或“鴿巢原理”，它是組合數學的一個基本原理，最先是由德國數學家狄利克雷提出來的，因此，也被稱為狄利克雷原理。第一個例題教學，是抽屜原理的最簡單情況，只要鉛筆數比筆筒數多1，總有1個筆筒至少放進2支筆。掌握用枚舉法和假設法兩種思考問題的方法。通過前一個例題的兩個層次的探究，讓學生理解“平均分”的方法保證在最不利的情況保證“至少”的情況。第二個例題教學，是抽屜原理更為一般的形式，只要物體數比抽屜數多，帶有明確的目的在進一步理解“盡量平均分”的基礎上，讓學生更準確地把握有余數的除法算式表示思維的過程。【學情分析】 “抽屜原理”

2、是一類較為抽象和艱澀的數學問題，對于六年級的學生來說，即使已具有一定的抽象思維能力，仍然還具有一定的挑戰性。在開始探索階段，可以采用枚舉法，只需口頭表達推理的過程。緊接著以直觀方式出示假設法，先平均分，為什么平均分能保證至少的情況呢？在這里理解起來有點困難，這里要充分發揮合作學習的作用，引導學生嘗試有邏輯地去推理，逐步把握其模式。【教學目標】1知識與技能：初步了解“鴿巢原理”的含義和特點，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。2過程與方法：經歷鴿巢原理的探究過程,通過操作、觀察、比較、列舉、假設、推理等活動發展學生的類推能力,形成比較抽象的數學思維。使學生經歷將具體問題“數學化”的過程，培養學生

3、的“建模”思想。3情感、態度和價值觀：通過“鴿巢原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。【教學重點】 理解鴿巢原理，掌握先“平均分”，再調整的方法。【教學難點】 理解“總有”“至少”的意義，理解“至少數=商數1”。 理解“鴿巢原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。【教具、學具準備】 多媒體課件 撲克牌 活動記錄表 每組都有相應數量的筆筒、鉛筆。【教學過程】一、 創設情境、導入課題。1“魔術”表演：（師生PK）規則：一副牌，取出大小王，還剩52張，請一個同學隨意抽一張牌，抽到自己想要的花色就算贏，贏了的同學有獎品喲！如果你們給老師一個機會，老師敢說第

4、一次就能贏，你們信不信？請5個同學隨意各抽一張牌。抽到牌后藏好，等老師來猜。（抽牌，亮牌，統計）猜謎：老師肯定地說：“這5張牌中，至少有2張牌是同花色的。同學們：見證奇跡的時刻到了。老師猜的對不對？”2. 導入課題：剛才老師能夠輕松取勝，這里面蘊藏著一個非常有趣的數學問題，這就是我們今天學習的“鴿巢問題”。（板書課題）這節課我們就來揭開這個秘密，因為52張撲克牌數量較大，為了方便研究，我們先來研究幾個數量較小的同類問題。下面我們先從簡單的情況入手。二、合作探究、發現規律。（一）探究活動一1課件出示：把3支鉛筆放進2個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有多少支鉛筆？把3支鉛筆放到2個鉛筆盒里

5、，有哪些放法？請同學們自己動手擺一擺。誰來說一說結果？預設：一個放3支，另一個不放；一個放2支，另一個放1支。教師根據學生回答在講臺上演示這兩種結果。2. 強調不考慮放入的順序：我們把第一個筆筒里放入2支筆，則另一個筆筒里放入1支筆，和第一個筆筒里放入1支筆，則另一個筆筒放入2支筆。我們把這兩種情況當做一種放法，我們不考慮筆筒的順序。3. 探究結果：不管怎么放，總有一個鉛筆盒里至少有（）支鉛筆。教師：“不管怎么放，總有一個鉛筆盒里至少有2支鉛筆”， 理解 “總有”和“至少”的意思。（二）探究活動二出示例1 把4支筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支筆。1.運用“枚舉法”初步探

6、究。（1）把4支筆放進3個筆筒里，有幾種不同的放法？自己動手在小組內擺一擺，畫一畫，說一說，把出現幾種情況都記錄下來。（學生分組探究，教師巡視指導，要求學生記錄，然后匯報）（2）匯報展示不同的方法。 （學生匯報完后，教師用課件總述。）（3）講解：像這樣一一列舉出來的方法，在數學上叫枚舉法。（板書：枚舉法）3通過比較，引導“假設法”。 啟發：能不能找到一種更為直接的方法，只擺一種情況也能得到這個結論？（學生分組討論一下）4. 初步“建模”-平均分。引導：運用“假設法”先在每個筆筒里分1支，這種均等的分法，又叫什么分？為什么要一開始就要去平均分呢？（平均分，就可以使每個筆筒的筆盡可能少一點，也就有

7、可能找到和題目意思不一樣的情況。）用什么方法計算？你能列式表示嗎？板書：43=11 1+1=25.初探“鴿巢原理”的一般規律。追問：如果增加筆和筆筒的數量，又會怎樣呢？出示（1）把5支筆放進4個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進幾支筆？（2）把6支筆放進5個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進幾支筆？（3）把100支筆放進99個筆筒里，不管怎么放,總有一個筆筒里至少放進幾支筆？啟發：“照樣子，你能說一句這樣的話嗎？”提問：發現了什么規律？概括：只要筆的數量比筆筒數量多1,總有一個筆筒里至少放進2支筆。提問：難道這個規律只有在這種情況下才存在嗎？如果余數不是,這個規律還存在嗎？（三

8、）探究活動三1. 出示：把5支筆放進2個筆筒，總有一個筆筒至少放進多少支？放進3個筆筒呢？放進4個筆筒呢？2. 分組合作進行探究，做好記錄。3. 分組匯報。4.建立模型。觀察剛才的算式，你有什么發現？（出示課件）把叫做物體數，也就是被裝的；把筆筒叫做抽屜數，也就是裝東西的。引導學生得出“物體數抽屜數=商余數”被裝的裝東西的商余數“至少數=商數+1”。同學們發現的這一規律，其實就是一個非常著名的數學原理，也是我們今天研究的“鴿巢問題”，一起看大屏幕（介紹“鴿巢問題”的相關知識）三、運用模型、解決問題。1. 做一做：5只鴿子飛進4個鴿籠，不管怎么飛，總有一個鴿籠里至少有（ ）鴿子。2. 教師魔術揭

9、秘。3. 知識應用：我們教室里有30個同學，我們中至少有幾個人的屬相相同。為什么？4. 課后提升：給一個正方體木塊的6個面分別涂上黃、藍兩種顏色。不論怎么涂至少有幾個面顏色相同？四、課堂總結， 反思提升。通過這節課的學習，談談這節課你的收獲。作業布置：課本71頁練習十三第1、2題教學反思 鴿巢問題（例3）教學目標 1.通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，尋找隱藏在實際問題背后的“鴿巢問題”的一般模型；體會如何對一些簡單的實際問題“模型化”，并運用鴿巢問題原理加以解決； 2.在經歷將具體問題“數學化”的過程中，發展數學思維能力和解決問題的能力，感受數學的魅力；同時，積累數學活動的經驗和方法，在靈活

10、應用中，進一步理解鴿巢問題； 3.在解決問題的過程中，感受鴿巢原理在日常生活中的各種應用，體會數學知識與日常生活的緊密聯系。教學重點 引導學生把具體問題轉化為“鴿巢問題”，靈活運用“鴿巢原理”進行逆向推理，解決問題。教學難點 建立模型，利用“鴿巢問題”進行反向推理。教學流程 談話 導入一、談話引入 1.回憶鴿巢問題 你能用自己的話說一說什么是鴿巢問題嗎？ 2.明確什么是抽屜、什么是物體 鴿巢問題就是：4只鴿子飛進3個鴿巢，總有1個鴿巢有2只鴿子。它也叫做抽屜原理。我們是把什么看作抽屜，把什么看作物體？ 3.揭題：在日常生活中，哪些問題和“鴿巢問題”有關？我們又該怎樣運用鴿巢原理來解決問題呢？今

11、天我們就一起來探究“鴿巢問題”在生活中的應用。 【設計意圖：本節課內容是“鴿巢原理”的具體應用，也是運用“鴿巢原理”進行逆向思維的一個典型例子。通過“鴿巢問題”的回顧，為本節課的問題解決和模型建立做好鋪墊。】 探究 新知 （一）初次嘗試，解決問題 1.出示例題，尋找信息 出示：盒子里有同樣大小的紅球和藍球各10個，要想摸出的球一定有2個同色的，至少要摸出幾個球？學生讀題并理解題意。 評價：通過尋找關鍵信息，理解了題目，很好。有紅球和藍球各10個，至少摸幾個球保證一定有2個同色。 2.猜測結果，說理驗證 教師引導學生猜一猜至少要摸出幾個球，并進行說理驗證。 不妨請你先猜一下，至少摸幾個球呢？ 反

12、饋1：摸出兩個球 我們先來看看摸兩個球。摸出兩個球有幾種情況？能保證一定有2個同色嗎？ 小結：摸2個球有3種情況。這里紅紅、藍藍兩種情況都是符合的，但是出現了一紅一藍，因此不能保證一定有2個同色。我們要考慮最不利的情況，因此，不能保證一定有2個同色。 反饋2：摸出三個球 追問：摸3個球一定能保證嗎？ 預設：我是準備兩個抽屜，剛才最不利的情況是出現一紅一藍。把這兩個球先放入抽屜，再抽一個球，就會出現2個球同色。 追問：為什么你要準備2個抽屜？兩種顏色就是兩個抽屜 發現規律并小結：當兩個抽屜已經有1個球，再抽1個可能是紅色，也可能是藍色。無論什么顏色，總有一個抽屜會出現2個同色。所以答案就是抽屜中

13、原先放的2個球，再加上1個球。我們可以用2+1=3（個）來解決。 （二）獨立操作，解決問題 在一定有2個球同色的基礎上，學生嘗試解決3個同色、5個同色、7個同色至少要抽幾個球的問題。【操作要求】： （1）選擇其中兩種情況，自己開動腦筋想一想，算一算，有需要的同學也可以動手畫一畫。 （2）寫好之后，先把你的想法在四人小組內進行分享。 反饋一:3個同色 你是怎么想的？ 預設1：我準備2個抽屜，先在抽屜中各放2個球，再摸1個球，就有一種顏色的球是3個，也就是3個同色。 評價：他結合著圖形介紹得非常清楚。誰還能看著圖來說一說。 追問：算式中“22”表示什么意思？先兩個抽屜各放兩個 為什么“1”呢？再抽

14、1個 小結：兩種顏色就是兩個鴿巢，考慮最不利的情形，每個鴿巢里各放2個球，第五個不管是什么顏色，保證有一種顏色的球是3個，也就是3個同色。所以需要22+1=5（個）。 反饋二：5個同色 追問：你的算式是？為什么先放4個？為什么最后再+1呢？ 反饋三：7個同色 追問：最后的結果是？計算對嗎？我們可以怎樣進行檢驗？ 評價：（出示：132=6（個）1（個） 6+1=7（個）根據昨天的知識，兩種顏色的球，取13個總有一種顏色的球有7個。 （三）尋找規律，建立模型 在同學們的努力下，我們解決了這么多道題，請你仔細觀察這幾道題，你有什么發現？ 反饋：（1）你發現：他們都準備2個抽屜 （2）他發現：3個同色

15、，每個抽屜先放2個；5個同色，每個抽屜先放4個。每次抽屜里先放（同色個數1）個，再最后抽1個。 追問：為什么都要準備2個抽屜兩種顏色的球看成抽屜 你能用一條算式概括一下嗎？ 小結：我們先找到抽屜的個數，再根據最不利原則，每個抽屜先放同色個數1個，無論再放一個什么顏色的球，總會有一個抽屜滿足情況。 【設計意圖：通過將例題里盒子中籃球、紅球數量增多到10個，將摸出2個、3個、5個、7個同色的球融合到一個大情境中，讓學生在猜至少摸幾個球一定有2個同色中確定什么是抽屜，明白最不利原則；之后，在圖形的幫助下，獨立探索3個、5個、7個同色，通過觀察、對比、發現，初步建立模型：摸球個數=2（同色個數1）+1

16、。】嘗試練習： （一）抽屜個數發生變化 1.出示題目： （1）盒內有同樣大小紅、黃、藍三種顏色的球各5個，想摸出的球一定有4個同色的，至少摸出幾個球？ （2）盒內有同樣大小的紅、黃、藍、綠四種顏色的球各5個，想摸出的球一定有4個同色的，至少摸出幾個球？ 2.活動要求： 自主讀題，找準關鍵信息，理解題意，嘗試解決。有需要的話可以借助圖形，動筆畫一畫。寫好的同學可以跟你的同桌先說一說。 3.交流反饋 反饋1：你的算式是？你是怎么想的？ 預設：準備3個抽屜，每個抽屜先放3個，再摸1個，就能保證一定有4個同色。 反饋2：“43”表示什么意思？為什么要1？ 考慮最不利的情況，每個抽屜先放3個，再抽1個，

17、無論是什么顏色，保證有一種顏色的球一定有4個同色。 4.對比、發現： 仔細觀察這兩道題，你有什么發現？ 同樣摸4個同色，為什么答案確實不同的？ 小結：抽屜數不同，最不利的情況，是將每個抽屜先放滿3個，無論再放一個什么顏色的球，總會有一種顏色的球一定有4個同色。 你也能用一個公式概括嗎？摸球個數=抽屜數（同色個數1）+1 （二）比賽規則發生變化 在大家在摸球的時候，另一些同學也在摸球，不過規則發生了變化。請你來幫幫他們，動筆算一算。 1.出示題目： （1）盒子里有同樣大小的紅球和藍球各4個，要想摸出的球一定有2種顏色，至少要摸出幾個球？ （2）盒子里有同樣大小的紅球、黃球、藍球、綠球各4個，要想

18、摸出的球一定有2個黃球，至少要摸出幾個球？ 2.交流反饋： 反饋1：這道題你是怎么想的？ 兩種顏色相當于2個抽屜，要保證摸到的球有2種顏色，最不利的情況就是摸完一種顏色，再摸1個球。所以是4+1=5（個） 反饋2：“43”表示什么意思？為什么+2？ 有4個抽屜，最不利的情況是黃球一個都沒有，放在最后抽，此時其他抽屜先放滿。再抽2個就都是黃球了。所以至少要抽43+2=14（個）。 小結：仔細觀察這兩道，雖然摸球規則不同，但只要找到抽屜，并且分析最不利的情況，我們就能很好的將問題解決。 剛才，我們通過摸球游戲，一起探索生活中的鴿巢問題，只要找到什么是鴿巢，然后從最不利的原則進行分析，很快就能把問題解決。在解決問題的時候，也可以通過畫圖來幫忙。【設計意圖：學生在一次建模之后，通過改變抽屜數鞏固剛才的模型，同時將摸球的個數=抽屜數（同色個數1）1，讓模型更加完整化。之后又增加兩道不同規則的摸球，就是為了打破思維定勢，讓學生去尋找抽屜和從最不利原則出發去解決問題，掌握解決這類問題的本質。】