1、有限元講義第4章彈性薄板彎曲問題的有限元法薄板彎曲問題在理論上和應用上都具有重要意義，并有專門著作加以論述（如楊耀乾平板理論）。象其它彈性力學問題一樣，用微分方程、差分法等經典方 法所能求解的薄板問題很有限，一般只能解決等厚、小孔口、支承情況較簡單的單跨板。故工程設計中以往多采用簡化、近似、圖表等方法來解決板的設計問題。在板的分析中，常取板的中面為xoy平面（如圖）。平板結構按其厚度t與短邊a的比值大小而分為：厚板（Thick plate）和薄板（Thin plate）兩種。t .當 1時稱為薄板a平板上所承受的荷載通常有兩種1.面內拉壓荷載應力問題。由面內拉壓剛度承擔2.垂直于板的法向荷載，

2、彎扭變形為主題。平板在垂直于板面的荷載作用下產生撓度，具有梁的受力特征，即常說的彎曲問W當最大撓度w遠小于t時,稱為小撓度問題（or剛性板）（stiffness plate）當最大撓度w與t相差不大時，稱為大撓度問題（or柔性板）（flexure plate）（工程定義w . 175為剛性板;1 . w . L5I5為柔性板;為絕對柔性板。）4.1基本理論一、基本假定1、略去垂直于中面的法向應力。（Tz=0）,即以中面上沿Z方向的撓度W代表板白撓度）2、變形前垂直中面的任意直線，變形后仍保持為垂直中面的直線。（一法向假定%” , =0）3、板彎曲時，中面不產生應力。（一中面中T層假定）上述假定

3、常稱為薄板小撓度問題假定（or柯克霍夫假定）。符合上述假定的平板即為剛性板。二、基本方法有限元講義以上述假定為基礎，板分析中常用撓度w作為基本未知量，下面介紹以 w為基本未知量所導出的有關方程。1、幾何方程（應變一撓度關系）彈性曲面沿 x, y方向的傾角從中面取出一微小矩形ABCD,如圖所示，設其邊長為dx, dy ,變形后彎曲成曲面ABCD設A點撓度W,則沿x方向傾角（繞y軸）:W%二 （B 點繞度:W_,w dx)；x沿:W%二 （B 點繞度:W_,w dx)；x沿y方向傾角（繞x軸）I = (D 點繞度 w +dy).y: y沿x, y方向位移作平行于 xoz平面，設中面上點 A到Ai的

4、距離為Z,變形后 小點有撓度 W,同時發生彎曲，：w曲面沿x方向的傾角為 ，根據法線假定，則A1點沿x同理取yoz平面得:（負號為方向與（4-1-1）x相反同理取yoz平面得:（負號為方向與（4-1-1）x相反）Z平面的應變分量和曲、扭率基本假定，由于二 z 基本假定，由于二 z 二 . zx = . zy = 0故板內任意點的應變與平面問題相同:ux:v:y；xy:ux:v:y；xy-uLy x(4-1-2)有限元講義此為Z平面的應變一撓度度幾何方程。上式中的有限元講義此為Z平面的應變一撓度度幾何方程。上式中的三 * 2w 2 w72 ,2xcy2二 w為曲面在.x. yX,Y方向的曲、扭率

5、，記為:PM /= 7y7PM /= 7y7xy-/二22:y-2 c w . /二 y(4-1-3)2、物理方程（應力一撓度關系）由于忽略（T z對變形的影響，因此z平面的應力一應變關系具有與平面問 題相同的形式：將（4-1-2）代入得：Ez1 -Ez1 -,2Ez c2w1Fx.:y或簡寫為:二 ：=zD0 kx：(4-1-4)式中彈性矩陣3、內力方程（內力一撓度關系）從板內取微元體tdxdy,由其上正應力CTx ,。丫和剪應力Txy，有限元講義可在截面上合成合力矩Mx（ y0z面上由產生的繞丫軸彎矩）M y（ x0z面上由仃y產生的繞X軸彎矩）扭矩：Mxy （由剪應力產生，如圖）假定Mx

6、,M y,Mxy分別表示單位寬度上的內力矩。如是，內力矩陣:3.7.簡寫成1F=匚D0(4-1-5)12比較（4-1-4）比較（4-1-4）和（4-1-5）可得用內力矩表小的平板應力由此可見，平板上、下表面處的應力最大:以上是薄板彎曲問題中的基本公式且由于忽略了 以上是薄板彎曲問題中的基本公式且由于忽略了 z方向的變化，因此它只是x, y的函數：w=w（x, y ）。若w已知，則位移，內力、應力均可按上述相應公式求出。在經典解析法中，W（x, y）常設為三角級數形式。例如，四邊簡支矩形板的 W（x, y）設為：（納維爾解）m 二 m 二 xn 二 ysinwx, y = AAmnSinm 1

7、n 1式中Amn為待定系數。假定荷載QO QOq x,y 八假定荷載QO QOq x,y 八qmnSinm 4 n Wmx.n 二ySin一 b有限元講義則可得位移函數1 wx，y =D 二qmn2vn+b2.m-：x sina4.2 有限元講義則可得位移函數1 wx，y =D 二qmn2vn+b2.m-：x sina4.2 有限元分析方法一、矩形單元的典型形式將圖示矩形薄板沿x，y方向劃分成若干小矩形（常取等分）從中取出一小矩形（單元），共有四個結點，此時不能象在平面問題中一樣，將結點視為“錢，而是“剛性的”，即每個結點有三個位移分量： 撓度w，繞x、y軸轉角撓度w，繞x軸轉角 九 （上節為

8、沿 y方向傾角）、繞y軸轉角8y （上節為沿 x方向傾角）即結點i的位移Wi同理，相應的結點力,fi值= + 30噂 o方2而5=33+12i + 30匕 Q304ab即=-21 + 6日- 30r+15院備=-8印+ 8產+ 20砂無9=一2砂+ 2#獻+ 20小*10=-3&- 12/16+15 Dh2kn = 3a 3pa + 30 a3 21675捺一畤如尸2-2 + lW ku2a2-2a2+10b2A?15= 一36 + 3獨 + 15 條 NM$= 3。+3四R + 15 瓦7=21+6從+ 1蜷-30院*18-2&2+ 2+20。2歸 19= 8a1+8 fia1 + 20b2

9、 3b + 30岳21K一12。+10有限元講義六、荷載等效變換由荷載等效變換的一般公式可得a bTJN(x, y) q x, y dxdy-a -b1 .法向均布荷載q 代入上述公式得：1LNN i Nxi NylN 2 Nx 2 Ny2N 3 Nx3 Ny3N 4 Nx 4 Ny4dxdy =jqab=q coco p col|00 叫(?0=4 11co p 產2.單元中心點受法向集中力 代入上述公式可得：Pbpja *82b七、位移邊界條件對稱、固定邊和簡支邊上支點的已知位移條件如下：對稱軸：法線轉角=0固定邊：撓度=0 （或已知值）邊線轉角=0 （或已知值）法線轉角=0 （或已知值）

10、簡支邊：撓度=0 （或已知值）邊線轉角=0 （或已知值）自由邊上節點的撓度、邊線和法線轉角均為特定參數，同內部節點一樣。與11板較接的固定立柱，其節點撓度W有限元講義=0 ,也可以是已知值。八、計算例題例題1:計算圖示四邊固定方板科=0.3 ,全板承受均布法方板的邊長為l,厚度為t,彈性模型量為 巳 波松比 向荷載科=0.3 ,全板承受均布法單元劃分：為了說明解題方法，采用最簡單的網絡2X2,即把方板分成四個矩形單元。由于對稱性，只需計 算一個單元，例如，計算圖中有陰影的單元，單元 的節點編號為1 , 2 , 3 , 4。l此時，單兀的 a, b是 a = b =一4計算節點荷載：由前面的均布

11、荷載計算公式得：ql2tR12 l -l 12 l l 12 -l l 12 -l -l T192邊界條件：邊界23和34為固定邊，因此節點2, 3, 4 的撓度、邊線和法線轉角均為零。邊 界12和14為對稱軸，因此 9x1 =0、0 y1 =0。于是，在 4個節點和12個位移分量中只有一個待求的未知量 必 結構的代數方程組：這是一個單元的計算題目，單元剛度矩陣在此處即為總剛度矩陣。引入支承 條件后，在總剛度矩陣中只取第一行、列元素，在方程組右端項中只保留第一個元2素。于是結構的代數方程為：8咒k 1W1 =8D2(816%W1 =ql15l15l164Et3o同此解出w1 =0 00148

12、型一。其中D0 =119 =0.0915Et3D 012(1 -J2)內力：利用式(4-2-6)可求得方板中點力矩為：12有限元講義0.00148- 5電1十 ）、 0.0462 火上十界）0.04621 - 0.00416 0,0355一 6曲 0,01071 *0400411 o。:。01 p0.00411 0.0107一61一 0.0355、1 - fJL 產) 1、0.0041)ql2由此得出薄板中心點（點1 ）和邊界中點（點2和點4 ）的考矩 如下：MSl = Jtffl = 0.0462 金 12=Jlf v.h 0.0355q*以上就是用最簡單的網格得出的位移和內力的近似解答.為

13、了得出更精確的結果，可將網格加密。在表7T中給出了 采用2x2, 4x4, 8X8網格時的計算結果。裹7-1單元數中心 撓 度中心考矩邊界中點考矩2X20.0QH8 (謾差 17. 5絡)0,0462(100)-0.0355(30.84X40. 00140 (11.1 甯)依口?雙純噫）0. 0476(7. 多)8X8,0. 00130 (3. 2再)0. 0240(3.9)-0. 0503(1. 95%)精確解0.001200.0231-0.G513因子加/5物由表看出，網格越密，計算結果越接近于精確答案。還可看出，位移的精度一般比 內力的精度高，這是因為在位移法中，位移是由基本方程直接求出

14、的，而內力則是根據位 移間接求出的。13有限元講義4.3 薄板有限元程序設計、總框圖根據彎曲板有限元分析方法的解題過程，可寫出其總框圖如下:II輸入原始數據or CAI, ,1IIJi算等效結點力i1 1形成荷載列陣卜一iH形成單元1 i一 定位向量I-J1i1形成總剛H-H單剛 I解方程輸出位移iI I1 幾何矩陣BH彈性矩陣D計算單元內力等I1H卜面結合程序對框圖中的內容加以說明。、子框圖1、單元坐標結點編號及單剛形式。14有限元講義為了取撓度向下為正，又能與前述坐標系統統一，特將前述坐標前翻180。(如圖)為了能適用板的彈型性分析，程序采用了應力元和彎曲元的組合形式，即每個結點考慮5個位

15、移分量：U, V, W, 國,y ,前2個為平面應力問題的未知量 ，后3個為彎曲板的結點未 知量。當只作彈性分析時，平面應力元和彎曲元是非藕連的，即單剛的兩個副塊垣為 0,單剛的形式為：u1 v1“4 v4 w1(X1 0y4 w4(X4 %4平面應力元 I 0K e =(8X 8)1彎曲元0(12X12)程序中單剛數組為 DK(20, 20),子程序：Subroutine DG(A, B, E, T, U) 為其形成單剛的子程序。2、自動形成單元編號信息(單元信息數組：IB)。3、結點定位向量。4、形成荷載列向量。( a.結點力；b. 非結點力(只考慮均布力)5、總剛，Subroutine

16、ZG(M, N, LD, A, B, E, T,U)6、解方程。FJZG( ), HUD()7、算單元力。 Subroutine DYL()8、算等效結點力。9、彈性矩陣D。1 0、幾何矩陣B。三、輸入數據說明1、總信息。共11個(見程序)2、結點約束信息數組JBJB(I,1) i結點的結點號JB(I,2)i結點的約束分量號(15)結點約束信息應根據支承條件或對稱條件決定，如算例中所給出的四邊簡支方板，承受滿布均布力，此時可只取板的1/4作為分析對象，如下圖只取右上角1/4板，采用6X6網絡，則每個單元的邊長為1米(A=0.5, 設結點編號如圖示：在y=0的邊界上(1-7結點)：撓度w=0(第3個分量)繞y軸轉角0 y =0 (第5個分量) 同理，在平形于y軸的x=6m邊界上：有限元講義w=0, 收=0 （3,4 分量）在對稱軸x=0邊界上u=0,0 y =0在對稱