1、第10章剛體動力學（二）剛體定點運動的運動學定點運動剛體的任意有限位移，可以繞通過固定點的某一軸經(jīng)過一次定軸轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)。定點運動剛體有限位移的順序不可交換。定點運動剛體無限小位移的順序可交換。定點運動剛體的角位移不是矢量，但無限小角位移是矢量。定點運動剛體的角速度角加速度是矢量。常用角作定點轉(zhuǎn)動剛體的廣義坐標。1r Ar v r AA1r反稱A A(t)由轉(zhuǎn)動的矩陣表示：求導1 2 再導032AA 31 10d AA1 03 21dt30120 31 AA1 0AA1r r20 為剛體角速度1 2 a r v3 2解析法zzyyxxN節(jié)線 ( oxy 平面與 oxy 平面的交線)3角的定義角(

2、 ， )的幾何意義zz y y = 常數(shù)xx N1 2 = 90510-2轉(zhuǎn)動慣量 一、轉(zhuǎn)動慣量的定義zJ m d222mxydiziiiiiri 二、對坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量y2 JJz2myoxxiii m z22xyiiiJmx22yziii6 三、轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理C 為質(zhì)心zCzJ Jmd 2zzCC7d 四、對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量z取坐標系 Oxyz (一般為隨體系)L，求： J已知： J, J, JdiLxyzriJ m d2 r 22mrLLiiiiiyr x i y j z koxiiiiL cosi cos j cos kcos2 cos2 cos2 18cos cos Jzmz

3、222222myxLiiiiiicos 2m y z cos cosy222mxiiiiii2mi zi xicos cos 2mi xi yi cos cos cos TJ cos JJxxyxz cos cos Jyz cos Jz cos zJxyJ xzJ yJyzmi m x yJzixyiiio mi xi zixiyJ xzJ yzyi mi yi zi9x慣性積和慣量主軸Jxz JxyJxJ JJJyz xyyJ xzJyzJz稱為慣量矩陣L cosi cos j cos kcos TJ cos JJxxyxz 0JL cos JxyJyz cos J yJyzJ xz cos

4、 cos Jz J 為半正定對稱矩陣。10z 慣性積和慣量主軸mi m x yJzixyiiio mi xi zixiJ xzyy m y ziJyziiix J yz 0 ， 則稱z軸為O點的慣量主軸。如果 J xz剛體上任意一點至少有三根互相垂直的慣量主軸通過質(zhì)心的慣量主軸稱為中心慣量主軸11cos T J0 cos 0 x cos 00 cos JJ Ly cos 0Jz cos 0 Jx cos J cos J cos 222yz12如果 xyz 是剛體的慣量主軸 五、坐標變換下的慣量矩陣同一矢量在不同坐標系 (x,y,z) 與 (x,y,z) 下的分量關系：r Ar cos cos

5、cos 矢量 L： r cos r cos A cos 取 r 為 cos cos cos 則在不同坐標系下：cos Tcos Tcos cos JL cos J cos cos J cos cos cos cos cos 13cos T cos J Jz J cos J cos J LxyyyzJ cos cos J J cos xzyzzcos TJJJJxxyxz cos Acos JxyJ xzATJ yJyzyz cos cos JzJ ATJ A坐標變換下慣量矩陣關系：定理：對于任意對稱矩陣 J ，存在正交變換 A ( AT A I )，使得 ATJ A為對角矩陣。推論：對于剛體上

6、的任意點，存在三根互相垂直的慣量主軸14 。 六、慣性積的平行移軸定理Y在質(zhì)心坐標系CXY中，o(a,b)yaox mi xi yiiJ xyb mi ( Xi a)(Yi b)iCmi abX mi XiYii mi XiYiimibXi mi aYiiii對質(zhì)心坐標系：僅平移一根軸，不改變慣性積。 bmXC0amYC mab0 J XY mab15Jxy JXY mab 七、慣量矩陣的平行移軸定理 ZzaycYbX在質(zhì)心坐標系CXYZ中：在坐標系oxyz中：Jxz JXYJXZ JxyJXJxJ Jyz J JJJJJCXYYYZoxyy16 J XZJYZJJyzJZJxzzoCxZza

7、ycYbX(b2 c2 )ab(c2 a2 )bcacbc J m JabacoC(a2 b2 )17oCxz解:lacyxb 1 c2 )m(b200121 Jm(c2 a2 )00C121m(a b )22001812Co例: 均質(zhì)長方體質(zhì)量為 m , 尺寸，求關于對角線的轉(zhuǎn)動慣量。l cosi cos j abJ m(a b b c c a )2222226a2 b2 2z例：定軸轉(zhuǎn)動剛體慣性力系的簡化)FFIR FIi (miai ) maCIiMM (r F ) r (m a )IoFIoiIiiiiIRy將主矢和主矩在連體坐標軸上投影F m( 2 x y )xIxccF m(x 2

8、 y )IyFIzcc 0J m x z J xz J2yz 2 J Jxzyz JzM IxM IyM Iz剛體對xy軸和yz軸的慣性積xziiiJ m y zyziii20 xc , yc質(zhì)心的坐標10-3、剛體定點運動的動力學方程z 一、剛體定點運動的動量矩zOxyz為隨體參考系Oxyz為慣性參考系rx剛體對O點的動量矩：yoxLo M r vdm M r ( r)dm M (r r) ( r)rdmy21zzxryoxyLo M (r r) ( r)rdm 將動量矩矢量在隨體坐標系中表示 xi y j zk xi y jzkr xi yj zkr x i y jz kLo LoxiLo

9、y jLozk J xz x J x yLox J x J LJJyz y oy x yy J xz z Loz J yz J z JxxiJ yy jJzzkLo23如果 x y z 是剛體的慣量主軸問題：Lo與是否共線，在什么情況下共線？Lo JxxiJ yy jJzzk xiy jzk結(jié)論：1.當剛體繞慣量主軸轉(zhuǎn)動時，Lo與共線。2.當剛體的三個主轉(zhuǎn)動慣量相等時，Lo與共線。3.一般情況下，Lo與不共線。24zmimizixiyioxiyyix mi xi zi mi yi zi 0 0J xzJ yzzmizioxiyyizix25(2) 如果剛體有質(zhì)量對稱面，如oxy面。則垂直于該對

10、稱面的軸必為該軸與對稱面交點的慣量主軸。(1) 如果剛體有質(zhì)量對稱軸，如z軸。則對稱軸是該軸上任意一點的慣量主軸之一，也是中心慣量主軸。慣量主軸判據(jù)：解：一、取隨體坐標系Cxyz:二、慣量矩陣：2mL202mL2 cos2 2mL2 sin cos0z 2mL2 sin cos J00C2mL2 sin2 0 B 0 y三、角速度：mg LC四、動量矩：Amg0 2mL2 sin cos LC2mL2 sin2 26例1：已知：, , L, m ，求剛體關于 C 的動量矩。解：一、取隨體坐標系Cxyz:二、慣量矩陣：2mL2002mL20 0J000zBC0 sin 三、角速度：mg cosL

11、C四、動量矩：Amgy0L 2mL2 sin C027例1：已知：, , L, m ，求剛體關于C 的動量矩。 二、剛體定點運動的動力學方程dLo ML J iJ jJk(F (e) )ooxxyyzzdtdLo dLo Lodtdt y J J ) (JJMy y x z x z Mz J zz J x )x y (J y 28 三、剛體定點運動動力學的解法 x y JMx y y z JMy z x z Mz z Jxx y sin sin cos sin cos sin cos ,xy,z,29 四、剛體定點運動的動能zzOxyz為隨體參考系Oxyz為慣性參考系r剛體的動能：xyT 1 oxv vdm2My1 (r ) (r )dm2 M30zzxryoxyT 1 1 1 L (r ) r dm(r ) (r )dmo222MM 將動能用隨體坐標系中的分量表示 31 xi y j zk xi y jzkr xi yj zkr x i y jz kT JJ y x z x 1 T 2 y Jy z y Jz z Jx y J x z J y Jy z z T 1 (J J J )