1、101分類計數原理與分步計數原理(一)一知識點：1.分類計數原理2.分步計數原理二講解范例：例1書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？例2一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數號碼？例3要從甲、乙、丙3名工人中選 出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？例4甲廠生產的收音機外殼形狀有3種，顏色有4種，乙廠生產的收音機外殼形狀有4種，顏色有5種，這兩廠生產的收音機僅從外殼的形狀

2、和顏色看，共有所少種不同的品種？三課堂練習：1 . 書架上層放有6本不同的數學書，下層放有5本不同的語文書(1) 從中任取一本，有多少種不同的取法？(2)從中任取數學書與語文書各一本，有多少種不同的取法？2. 某班級有男學生5人，女學生4人 (1)從中任選一人去領獎, 有多少種不同的選法？ (2) 從中任選男、女學生各一人去參加座談會，有多少種不同的選法？3. 滿足=1,2的集合、共有多少組?4.從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 5.學校的一幢5層教學樓共有2處樓梯，問從1樓到5樓共有多少

3、種不同的走法？四、課后作業：1. 一件工作可以用兩種方法完成，有5人會用第1種方法，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同的選法種數是（ ）A. 9 種 B. 18種 C. 20種 D. 36種2.乘積展開后共有（ ）A. 9項 B. 8項 C. 4項 D. 6項3.新華書店有語文、數學、英語練習冊各10本，買其中一本有 種方法，買兩本且要求書不同種的有 種方法4. 由A村去B村的道路有3條，由B村去C 村的道路有2條，從A村經B村去C村， 共有多少種不同的走法 ？ 5現有高中一年級的學生3名，高中二年級的學生5名，高中三年級的學生4名(1)從中任選1人參加接待外賓的活動

4、，有多少種不同的選法？(2)從3個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？6乘積(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)展開后共有多少項？7一城市的某電話局管轄范圍內的電話號碼由八位數字組成，其中前四位數字是統一的，后四位數字都是0到9之間的一個數字，那么不同的電話號碼最多有多少個？8從5位同學中產生1名組長、1名副組長，有多少種不同的選法？參考答案學案:例1解：（1）根據分類計數原理,不同取法的種數是4+3+2=9種（2）根據分步計數原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數是種例2解：根據分步計數原理，4個撥號盤上各取1個數字組成的四位數

5、字號碼的個數是，例3解根據分步計數原理，不同的選法數是種，6種選法可以表示如下：日班 晚班甲 乙甲 丙乙 甲乙 丙丙 甲丙 乙例4解：收音機的品種可分兩類：第一類：甲廠收音機的種類，分兩步：形狀有3種，顏色有4種，共種；第二類：乙廠收音機的種類，分兩步：形狀有4種，顏色有5種，共種所以，共有個品課堂練習： 1 .解：(1)根據加法原理可得共有 5+6=11 種不同的取法(2)根據乘法原理可得共有56=30種不同取法2. 解：(1)根據加法原理, 得到不同選法種數共有 N = 5 + 4 = 9 種(2) 根據乘法原理, 得到不同選法種數共有 N = 5 4 = 20 種3. 分析一:、均是1,

6、2的子集:,1,2,1,2,但不是隨便兩個子集搭配都行,本題尤如含、兩元素的不定方程,其全部解分為四類:1)當=時,只有=1,2,得1組解;2)當=1時,=2或=1,2,得2組解;3)當=2時,=1或=1,2,得2組解;4)當=1,2時,=或1或2或1,2,得4組解.根據分類計數原理,共有1+2+2+4=9組解.分析二: 設、為兩個“口袋”,需將兩種元素(1與2)裝入,任一元素至少裝入一個袋中,分兩步可辦好此事:第1步裝“1”,可裝入不裝入,也可裝入不裝入,還可以既裝入又裝入,有3種裝法;第2步裝2,同樣有3種裝法.根據分步計數原理共有33=9種裝法,即原題共有9組解.4. 答案：2342=1

7、4；52222=16。作業: 1 . A 2 . D 3. 30 300 4. 6；5 .3+5+4=12 354=60；6. 345=60；7.10101010=10000；8.54=20。101分類計數原理與分步計數原理(二) 一知識點 ： 1.分類計數原理2.分步計數原理： 二講解范例：例1在120共20個整數中取兩個數相加,使其和為偶數的不同取法共有多少種?例2 在120共20個整數中取兩個數相加,使其和大于20的不同取法共有多少種?例3 如圖一,要給,四塊區域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數為( ) A. 180 B.

8、160 C. 96 D. 60圖一圖二圖三若變為圖二,圖三呢?例4 如右圖,共有多少個不同的三角形?例5 75600有多少個正約數?有多少個奇約數?三課堂練習：1.用1,2,3,4,5可組成多少個三位數?(各位上的數字允許重復)2.用數字1,2,3可寫出多少個小于1000的正整數? (各位上的數字允許重復)3.集合A=a,b,c,d,e,集合B=1,2,3,問A到B的不同映射f共有多少個?B到A的映射g共有多少個? 4.將3封信投入4個不同的郵筒的投法共有多少種? 5. 4名學生從3個不同的樓梯下樓的方法數. 6. 4名學生分配到3個車間去勞動,共有多少中不同的分配方案? 7. 求集合1,2,

9、3,4,5的子集的個數四、課后作業1.若5個運動員爭奪三項冠軍，則冠軍結果種數為 （ ）A.5 B.60 C.125 D.2432用0，1，2，3，4，5這六個數字，（1）可以組成多少個數字不重復的三位數？（2）可以組成多少個數字允許重復的三位數？（3）可以組成多少個數字不允許重復的三位數的奇數？（4）可以組成多少個數字不重復的小于1000的自然數？（5）可以組成多少個大于3000，小于5421的數字不重復的四位數？ 3有四位同學參加三項不同的比賽，（1）每位同學必須參加一項競賽，有多少種不同的結果？（2）每項競賽只許一位學生參加，有多少種不同的結果？4設，從到共有多少個不同映射？6個人分到3

10、個車間，共有多少種分法？5.甲、乙、丙、丁四個人各寫一張賀卡,放在一起,再各取一張不是自己所寫的賀卡,共有多少種不同的取法?參考答案學案:例1分類標準為兩加數的奇偶性,第一類,偶偶相加,由分步計數原理得(109)/2=45種取法,第二類,奇奇相加,也有(109)/2=45種取法.根據分類計數原理共有45+45=90種不同取法.例2 解:分類標準一,固定小加數.小加數為1時,大加數只有20這1種取法;小加數為2時,大加數有19或20兩種取法;小加數為3時,大加數為18,19或20共3種取法小加數為10時,大加數為11,12,20共10種取法;小加數為11時,大加數有9種取法小加數取19時,大加數

11、有1種取法.由分類計數原理,得不同取法共有1+2+9+10+9+2+1=100種.分類標準二:固定和的值.有和為21,22,39這幾類,依次有取法10,9,9,8,8, ,2,2,1,1種.由分類計數原理得不同取法共有10+9+9+2+2+1+1=100種.例3 A. 若變為圖二,圖三呢?(240種,5444=320種)例4 解:所有不同的三角形可分為三類”第一類:其中有兩條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有5個第二類:其中有且只有一條邊是原五邊形的邊,這樣的三角形共有54=20個第三類:沒有一條邊是原五邊形的邊,即由五條對角線圍成的三角形,共有5+5=10個由分類計數原理得,不同的三角形共有

12、5+20+10=35個.例5 75600有多少個正約數?有多少個奇約數?解:75600的約數就是能整除75600的整數,所以本題就是分別求能整除75600的整數和奇約數的個數. 由于 75600=2433527(1) 75600的每個約數都可以寫成的形式,其中,于是,要確定75600的一個約數,可分四步完成,即分別在各自的范圍內任取一個值,這樣有5種取法,有4種取法,有3種取法,有2種取法,根據分步計數原理得約數的個數為5432=120個.(2)奇約數中步不含有2的因數,因此75600的每個奇約數都可以寫成的形式,同上奇約數的個數為432=24個.課堂練習：答案：1. 5555=625 2.

13、3+32+33=39 3. 35,53 4. 43 5. 34 6. 34 7. 在集合1,2,3,4,5的子集中,每個元素都只有出現和不出現這2種可能,所以這個集合的子集的個數為22222=25=32個.作業:1,B 2. 解（1）分三步：先選百位數字由于0不能作百位數，因此有5種選法；十位數字有5種選法； 個位數字有4種選法由乘法原理知所求不同三位數共有554=100個（2）分三步：(1)百位數字有5種選法；(ii)十位數字有6位選法；(iii)個位數字有6種選法 所求三位數共有566=180個（3）分三步：先選個位數字，有3種選法；再選百位數字，有4種選法；選十位數字也是4 種選法，所求三位奇數共有344=48個（4）分三類：一位數，共有6個；兩位數，共有55=25個；三位數共有554=100個 因此，比1000小的自然數共有6+25+100=131個（5）分4類：千位數字為3，4之一時，共有2543=120個；千位數字為5，百位數字為 0，1，2，3之一時，共有443=48個；千位數字是5，百位數字是4，十位數字為0，1之一 時，共有23=6個；還有5420也是滿