1、第三章一、學問概要圖形的平移與旋轉 一、平移 1、定義在平面內,將一個圖形整體沿某方向移動肯定的距離,這樣的圖形運動稱為平移；2、性質平移前后兩個圖形是全等圖形,對應點連線平行且相等,對應線段平行且相等,對應角相等；3、作圖平移作圖的依據是平移的性質：1、平移后的圖形大小和外形完全相同,即對應線段平行且相等,對應角相等；2、平移后對應點所連接的線段平行且相等；一、依據“ 平移后對應點所連的線段平行且相等” 作平移后圖形；1、已知原圖位置和平移的方向及距離,作平移后圖形；例 1：如圖 1,圖形扇形OAB按箭頭所示方向平移2cm,作出平移后的圖形； B A D C O P 圖 1 【分析】：此題已

2、知平移的方向和距離；平移是圖形的整體平行移動,圖形上每個點平移的方向和距離是相同的,所以依據“ 平移后對應點連接而成的線段平行且相等”,找出 O、A、B 平移后的對應點即可得到平移后的圖形；解：如圖,分別過O、A、B 點作與箭頭所示方向相同的一組平行線段OP、 AC、BD,且OP=AC=BD=2cm,連接 OA、OB,作弧 AB,就得到扇形2、已知原圖形位置和一對對應點,作平移圖形；OAB平移后的圖形；例 2：如圖 2,平移小旗,使小旗上的點 Q R P C D S P平移到點 A,作出平移后的小旗；B A 圖 2 【分析】：連接 PA,可得到點 P（即圖形整體）移動的方向和距離；要畫出小旗,

3、依據“ 平移后對應點所連的線段平移且相等”,過 Q、 R、S 各點沿由 P到 A 的方向作出 PA的平行線,并在其上截取與線段 PA等長的線段,即可找到各自平移后的對應點,順次連接各點就可得到平移后的圖形；解：如圖,連接 PA,分別過 Q、 R、S 作線段 QB、RC、SD,使 QB RC SD PA,且QB=RC=SD=PA=2cm,連接 AB、AC、BC、CD, 得到平移后的小旗；二、依據“ 平移后對應線段平行且相等” 作平移后圖形；1、已知原圖形位置和平移后一邊的位置（一對對應邊）,作平移圖形；例 3：如圖 3, ABC的邊 AB經過平移到了 P A B D PD,作出 ABC平移后的圖

4、形；C E 圖 3 【分析】：由題意得, AB與 PD是平移前后對應的線段,依據“ 平移后圖形的外形、大小不變” ,即“ 平移后對應線段平行且相等”,AB PD且 ABPD,我們可以過點 P 作 AC的平行線,過點 D作 BC的平行線,兩線相交與點 E,由此可以作出平移后的三角形；也可以過點 P 沿 AC方向作線段 PE AC且 PEAC,連接 DE,也可以得到平移后的三角形；解法 1. 分別過點 P、點 D作 AC、BC的平行線,兩線相交與點 E,就 PDE就是所求作的三角形；解法 2. 過點 P作與 AC同向的線段 三角形；PE AC且 PEAC,連接 DE,就 PDE就是所求作的2、已知

5、原圖形位置和一對對應點,作平移圖形；例 4：如圖 3, ABC的頂點 A 經過平移到了點P,作出 ABC平移后的圖形；【分析】：依據“ 平移后圖形的外形、大小不變”,即“ 平移后對應線段平行且相等”,可以過點 P分別作與 AB、AC同向的平行線段 PD、PE,并且分別使 PDAB,PEAC,連接 DE,就 PDE就是所求作的三角形；解法：過點P 分別作與 AB、 AC同向的平行線段PD、PE,并且分別使PDAB,PEAC,連接 DE,就 PDE就是所求作的三角形；【方法探究】 ：由上面可以看出,作一個圖形平移后的圖形：1、除了確定原圖的位置,仍需要知道圖形平移的方向（不肯定是水平或垂直方向）和

6、 平移的距離（連接對應點的線段的長度）2、關鍵是確定特別點（線段端點,角的頂點等）3、順次連接各點（連接不肯定是線段）小練1.小寧和婷婷在一起做拼圖嬉戲,他們用“并依據圖形仍用簡潔的語言進行了表述：觀看以上圖案（1）這個圖案有什么特點？、 、 =” 構思出了特殊而有意義的圖形圖 1（2）它可以通過一個“ 基本圖案” 經過怎樣的平移而形成？（3）在平移的過程中, “ 基本圖案” 的大小、外形、位置是否發生了變化？你能說明其 中的道理嗎？2.如圖 2,經過平移,扇形上的點A 移到了 F,作出平移后的扇形. 圖 23.經過平移,ABC 的邊 AB 移到了 MN,作出平移后的三角形,你能給出幾種作法？

7、圖 3 測 驗 評 價 結 果 ： _； 對 自 己 想 說 的 一 句 話 是 ：_. 二、旋轉 1、定義 在平面內,將一個圖形繞某肯定點沿某個方向轉動一個角度,這樣的圖形運動稱為旋 轉,這個定點稱為旋轉中心,轉動的角叫做旋轉角；2、性質 旋轉前后兩個圖形是全等圖形,對應點到旋轉中心的距離相等,對應點與旋轉中心的 連線所成的角 等于旋轉角；3、例 1 如圖,ABC繞 O點旋轉后,頂點 A 的對應點為點 D,試確定頂點 B,C對應點的位置,以及旋轉后的三角形 . 分析： 一般作圖題, 在分析如何求作時,都要先假設已經把所求作的圖形作出來,然后再依據性質,確定如何操作 . 假設頂點 B,C的對應

8、點分別為點E,點 F,就 BOE, COF, AOD都是旋轉角 . DEF就是 ABC繞點 O旋轉后的三角形 . 依據旋轉的性質知道：經過旋轉,圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度,即旋轉角相等, 對應點到旋轉中心的距離相等,就BOE=COF=AOD,OE=OB,OF=OC,這樣即可求作出旋轉后的圖形 . 解： 1 連接 OA,OD,OB,OC. 2 如下圖,分別以 OB、OC為一邊作 BOE、 COF,使得 BOE=COF=AOD. 3 分別在射線 OE、 OF上截取 OE=OB、OF=OC. 4 連接 EF,ED,FD. DEF, 就是 ABC繞 O點旋轉后的圖形此題仍有沒

9、有其他作法,可以作出ABC繞 O點旋轉后的圖形DEF嗎？1. 可以先作出點 B 的對應點 E,連接 DE,然后以點 D、E 為圓心, 分別以 AC、BC為半徑畫弧,兩弧交于點 F,連接 DF,EF,就 DEF就是ABC繞點 O旋轉后的圖形 . 2. 也可以先作出點 C的對應點 F,然后連接 DF. 由于 ABC與 DEF全等, 所以既可以用兩邊夾角,也可以用兩角夾邊,找到點1課本隨堂練習 . B 的對應點 E,即 DEF. 解：如下圖,先確定字母N 的四個端點繞它右下側的頂點按順時針方向旋轉90 后的位置,然后連線. 2小明和媽媽在廣場游玩時, 觀察很多噴水嘴正在給草坪澆水； 噴水嘴不停地旋轉

10、著 , 但每時每刻噴出的水霧總是四分之一圓；媽媽問：“ 小明 , 假如噴出水霧的范疇內有一正方形 , 噴水嘴位于它的中心 , 你知道噴水嘴在旋轉的過程中瞬時澆過正方形區域的面積是多少嗎3將一個直角三角板繞. ” 請你替小明做出回答；30 角的頂點順時針旋轉,使始終角邊與原斜邊在同一條直線上（如下列圖） ；你知道旋轉角是多少嗎？連結BB , ABB有什么特點嗎？4在五邊形 ABCDE中, AB=AE、BC+DE=CD, ABC+AED=180 . 求證： AD平分 CDE. 連接 AC,將 ABC繞點 A 旋轉 BAE的度數到AEF的位置, 由于 AB=AE,所以 AB與 AE重合 . 由于 A

11、BC+AED=180 ,且 AEF=ABC,所以 AEF+AED=180 . 所以 D,E, F 三點在始終線上,AC=AF,BC=EF. 在 ADC 與 ADF 中 , DF=DE+EF=DE+BC=CD. ,AF=AC, AD=AD所以 , ADC ADF SSS,因此, ADC=ADF,即：AD平分 CDE. 5如下圖是某設計師設計的方桌布圖案的一部分,請你運用旋轉變換的方法,在坐標紙上將該圖形繞原點順時針依次旋轉 90 、180 、270 ,并畫出它在各象限內的圖形,你會得到一個漂亮的“ 立體圖形”. 但是 涂陰影時要留意利用旋轉變換的特點,不要涂錯了位置, 否就不會顯現抱負的成效,你

12、來試一試吧！二、典例解析1、如下列圖：正方形ABCD中 E 為 BC的中點,將面ABE旋轉后得到 CBF. （1）指出旋轉中心及旋轉角度（ 2）判定 AE與 CF的位置關系（3）假如正方形的面積為 18cm 2, BCF的面積為 4cm 2, 問四邊形 AECD的面積是多少？2、如圖, E、F 分別是正方形 且 BEDFEF,求 EAF ABCD 的邊 BC、CD 上一點,3、如圖,已知正方形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交于 O,E 是 AC 上一點,過點 A 作 AGEB,垂 足 為 G,AG 交 BD 于 點 F,求 證：OE=OF；4如圖,已知正方形 ABCD ,點 E、F 分別

13、在 BC、CD 上,且 AE=BE+FD ,請說出 AF 平分 DAE 的理由；6、如圖, 正方形紙片 ABCD 和正方形 EFDH 邊長都是 1,點 E 是正方形 ABCD 的中心, 在正方形 EFGH 圍著點 E 旋轉過程中,（1）觀看兩個正方形的重疊部分的面積是否保持不變？（2）假如保持不變,求出它的值；否就,請簡要說明理由；7、已知,如圖 ABC 中, ACB=90 ,AC=BC ,P 是 ABC 內一點,且 PA=3,PB=1,PC=2,求 BPC；C P A B 三、課堂練習1、 ABC平移到DEF的位置,（即點 A與點 D,點 B與點 E,點 C與點 F,是對應點）有下列說法：

14、AB=DE;AD=BE;BE=CF;BC=EF其中說法正確個數有 A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個2、（2022,河南） 把正方形 ABCD沿著對角線 AC的方向移動到正方形 ABCD. 的位置,它們的重疊部分（如圖 1 中的陰影部分）的面積是正方形 ABCD.面積的一半, .如 AC= 2 ,就正方形移動的距離是 AA 是 _（1）（2）（3）3（2022,南寧） 如圖 2 是兩張全等的圖案,它們完全重合在疊放在一起按住下面的圖案不動, 將上面圖案繞點 O順時針旋轉, 至少旋轉 _度角后, .兩張圖案構成的圖形是中心對稱圖形4、如圖,兩個全等的正六邊形 于正六邊形 ABCDEF

15、 ABCDEF 、PQRSTU,其中點 P 位的中心,假如它們的面積均為B1,就陰影部分的面積是_；5、如圖 11-2 所示, Rt AC 是 ABC 向右平移 3cm 所得,已知 B 60 ,BC5cm,就 C _,BC _cm 6. 如下列圖,直角AOB順時針旋轉后與COD重合,如 AOD127 ,就旋轉角度是7如圖,把一個長方形紙片沿 EF 折疊后,點 D、C分別在 D 、 C 位置,如 EFB=65 ,就 AED=_. 8四邊形 ABCD為長方形, ABC旋轉后能與 AEF重合,旋轉中心是點旋轉了多少度；連結 FC,就 AFC是三角形；9 如圖 11-5,O 是等邊ABC 內一點,將A

16、OB 繞 B 點逆時針旋轉,使得 B、O 兩點的對應點分別為 C、D,就旋轉角為 _ ,圖中除ABC 外,仍有等邊三形是_12如圖 11-6,Rt ABC 中, P 是斜邊 BC 上一點,以 P 為中心,把這個三角形按逆時針方向旋轉 90 得到DEF,圖中通過旋轉得到的三角形仍有_B13、 青島市 如圖, P 是正三角形ABC 內的一點,且PA6,PB8,PC 10如將 PAC 繞點 A 逆時針旋轉后,得到PAB ,就點 P 與點 P 之間的距離為多少,APB ？P/PA圖9C四、課后作業一、填空1在以下給出的五種運動中,其中屬于平移的是（1）急剎車的小汽車在地面上的運動；（ 2）自行車輪子的

17、運動； （3）時鐘的分針的運動；（4）高層建筑內的電梯的運動；（5）小球從高處作自由落體運動2將面積為 12cm2 的等腰直角ABC 向右上方平移 20cm,得到 MNP ,就 MNP 是 三角形,它的面積是 cm23如圖 1,四邊形 ABCD 中, AD BC,BC=8,AD=3,AB=4,CD=3,將 AB 平移到 DE處,就CDE 為 三角形,周長為4如圖 2,Rt AOB 繞點 O 逆時針旋轉到是COD 的位置,如 BOC =127 ,就旋轉角5 ABC 經過平移得到DEF ,并且 A 與 D,B 與 E,C 與 F 是對應點,AD=3cm,就BE= cm,AD 與 BE 之間的關系是

18、,AB 與 DE 之間的關系是6如圖 3,把三角形ABC 圍著點 C 順時針旋轉35 ,得到ABC,AB 交 AC 于點 D,如 ADC =90 ,就 A 的度數是度得到的,旋轉的兩7如圖 4 給出的圖案,可看作由“ 基本圖案”：旋轉個圖形必經次平移得到的,也可看作9如圖 6,正方形 ABCD 可看作是由圖形是由圖形 繞點 O 旋轉 次得到二、細心選一選,慧眼識金！（每道題 3 分,共 27 分）1以下圖案中,可以由一個“ 基本圖案” 連續旋轉45 得到的是（）2如圖 7,四邊形 EFGH 是由四邊形 ABCD 平移得到的,已知 AD=5, B=70 ,就（）A FG=5, G=70BEH=5

19、, F=70CEF=5, F=70DEF =5, E=703以下圖案都是在一個圖案的基礎上,在“ 幾何畫板” 軟件中拖動一點后形成的,它們的共性是都可以由一個“ 基本圖案” 通過連續旋轉得來,旋轉的角度是（）A 30B45C60D904以下說法正確選項（）A 平移不轉變圖形的外形和大小,而旋轉就轉變圖形的外形和大小B平移和旋轉的共同點是轉變圖形的位置C圖形可以向某方向平移肯定距離,也可以向某方向旋轉肯定距離D由平移得到的圖形也肯定可由旋轉得到6以下說法正確選項（）A 如 ABC DEF ,就 ABC 可以看作是由DEF 平移得到的B如 A=B,就 A 可以看作是由B 平移得到的C如 A 經過平移后為A ,就 A=AD如線段 a b,就線段 a 可以看作由線段 b 平移得到的7如圖 9,O 是六個正三角形的公共頂點,以下圖形中可由OBC 平移得到的是（）A OCD B OAB C FAO D OEF 8圖 10 中,可以視為是圖形平移的不同