1、概率論與數理統計概率論與數理統計第一節 樣本空間與隨機事件第二節 隨機事件的概率第三節 條件概率第四節 事件的獨立性第一章隨機事件及概率CONTENTS概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的一門數學學科。通俗地講，概率論與數理統計的任務就是從大量的偶然現象中去找出規律性。人們在實踐中經常會遇到各種隨機現象，那么什么是隨機現象？隨機現象是在一定的條件下事先能夠預知所有可能結果，但在每次試驗前不能確定哪一種結果將要出現的現象。對于這一類現象，盡管在每次試驗之前無法斷言將得到哪一種結果，但是如果進行大量的重復觀察，會發現其出現的結果還是有一定規律可循的。例如，在相同條件下，多次重復拋一枚均勻硬幣

2、時，正面朝上的次數大致有一半；又如，同一門炮射擊同一目標的彈著點按照一定規律分布等。隨機現象的特征： 隨機性（偶然性）； 大量試驗條件下其結果的發生又具有規律性。隨機現象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現在大量重復試驗或觀察中呈現出的固有規律性，即隨機現象的統計規律性。由于隨機現象的普遍性，使得概率論與數理統計具有極其廣泛的應用。概率論與數理統計的應用幾乎遍及所有的科學領域以及工農業生產和國民經濟各個部門，如天氣預報、地震預報、產品的抽樣調查、元件和系統可靠性評估等；另一方面，廣泛的應用也了促進概率論與數理統計的極大發展。第一節 樣本空間與隨機事件一、隨機試驗 要對隨機現象的

3、統計規律進行研究，就需要對隨機現象進行重復觀察，我們把對隨機現象的觀察稱為試驗。例如：E1：拋一枚硬幣兩次，觀察正面 H（或1）、反面T（或0）出現的情況。E2：拋一枚硬幣三次，觀察正面 H（或1）、反面T（或0）出現的情況。E3：拋一枚硬幣三次，觀察出現正面的次數。E4：觀察某射擊手對固定目標所進行的 n 次射擊，記錄其擊中目標的次數。E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。E6：記錄某醫院接到 120 急救電話一晝夜的呼叫次數。上述試驗具有以下共同特征：（1）可重復性：試驗可以在相同的條件下重復進行；（2）可觀察性：每次試驗的結果可能不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；（3）

4、不確定性：每次試驗出現的結果事先不能準確預知，但可以肯定會出現上述所有可能結果中的一個。 在概率論中，將具有上述三個特征的試驗稱為隨機試驗，記為E。二、樣本空間 隨機試驗每一種可能發生的結果稱為一個樣本點，記為 。隨機試驗 E 的所有可能結果組成的集合稱為樣本空間，記為或 S 。上例中，試驗 的樣本空間 分別為 對于 ，繪成幾何圖形如圖1-1所示，如 表示第一次反面、第二次正面。圖 1-1 從上面的例子可以看出，隨機試驗樣本點的總數可以是有限多個，也可以是無限多個。應該注意的是， 和 的過程都是將一枚硬幣連拋三次，但由于試驗的目的不一樣，所以樣本空間 和 截然不同，這說明試驗的目的決定試驗所對

5、應的樣本空間。三、隨機事件 在隨機試驗中，可能出現或可能不出現的試驗結果稱為隨機事件，簡稱事件，通常用大寫字母 A，B，C 等來表示，隨機事件是概率論研究的主要對象。 例如，在拋擲一枚骰子的試驗中，用 A 表示“點數為偶數”這一試驗結果，則 A 是一個隨機事件。（1）必然事件：在每次試驗中一定會發生的試驗結果，用字母 或 S 表示。例如，在上述試驗中，“點數小于7”是一個必然事件。（2）不可能事件：在任何一次試驗中都不可能發生的試驗結果，用字母 表示。例如，在上述試驗中，“點數為 8 ”是一個不可能事件。（3）基本事件：在隨機試驗中，每一個可能出現的試驗結果（樣本點），用字母 e 或 表示。例

6、如，在上述試驗中，“出現 2 點”“出現 4 點”等都是基本事件。（4）復合事件：在隨機試驗中，由若干個基本事件組合而成的事件。例如，在拋擲一枚骰子的試驗中，A 表示“點數為偶數”，就是包含有可能為“ 2 點”“ 4 點”或“6 點”3 個基本事件，即 。四、事件的關系與運算 在一個樣本空間中顯然可以定義不止一個事件。概率論的重要研究課題之一是希望從簡單事件的概率推算出復雜事件的概率。為此，需要研究事件間的關系與運算。 事件是一個集合，因此事件間的關系和運算自然按照集合之間的關系和運算來處理。1事件的包含與相等 若 ，則稱事件 B 包含事件 A ，這里指的是事件 A 發生必然導致事件 B 發生

7、，即屬于 A 的樣本點都屬于 B ，如圖1-2所示。顯然，對任何事件A，必有 。 若 且 ，則稱事件 A 與 B 相等，記為 。圖1-2 2事件的積 事件 ，稱為事件 A 與事件 B 的積事件，即當且僅當事件 A 與事件 B 同時發生時，積事件 發生。它由既屬于 A 又屬于 B 的所有公共樣本點構成，如圖1-3所示。積事件 也可簡記為 AB 。圖 1-33事件的并 事件 ，稱為事件A與事件B的和事件，即當且僅當事件 A 或事件 B 至少有一個發生時，和事件 發生。它由屬于 A 或 B 的所有公共樣本點構成，如圖 1-4 所示。圖 1-44事件的差 事件 稱為事件 A 與事件 B 的差事件，即當

8、且僅當事件 A 發生但事件 B 不發生時，積事件 發生。它是由屬于 A 但不屬于 B 的樣本點構成的集合，如圖1-5所示。差事件 也可寫作 。圖1-5 5事件的互不相容（互斥） 若 ，則稱事件 A 與事件 B 是互不相容的，或稱為互斥的，這是指事件 A 與事件 B 不能同時發生，即 A 與 B 沒有公共樣本點，如圖1-6所示。 特別地，若事件 A 與事件 B 互不相容（即 ），則 A 與 B 的和事件常記為 。圖 1-66事件的對立 事件 A 不發生這一事件稱為 A 的對立事件（或逆事件），記作 ，即 。它由樣本空間中所有不屬于 A 的樣本構成，如圖1-7所示。顯然 ， ， 。 由定義可知：對

9、立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。圖 1-7 在進行事件的運算時，關于它們的順序作如下約定：先進行逆運算，再進行交運算，最后才進行并或差運算。 不難把上面定義推廣到多個事件的場合。 例如，對于 n 個事件 ，用 或 表示 同時發生；用 或 表示 中至少發生一個，稱為 的并。特別地，當 兩兩互不相容時，并稱為和，并記作 或 。7事件的運算法則交換律 ， 。結合律 ， 。分配律 ， 。對偶律 ， 。例1 某棉麥連作地區，因受氣候條件的影響，棉花、小麥都可能減產，如果記 ， ，試用 表示事件： 棉花、小麥都減產； 棉花減產，小麥不減產； 棉花、小麥至少有一樣減產； 棉花、小麥至少有一

10、樣不減產。解 AB； ； ； 。例2 調查甲、乙、丙收看某電視劇的情況，如果記 ， ， ，試用 表示事件： 甲收看，乙收看，丙未收看； 甲、乙、丙之中有一人未收看； 甲、乙、丙之中有兩人未看； 甲、乙、丙至少有一人未收看； 甲、乙、丙三人都未收看； 甲、乙、丙三人不都收看。解 ； ； ； ； ； 。例3 在某系的學生中任選一人，設 ， ， ，試說明： 事件 的意義； 事件 的意義； 事件 的意義； 事件 的條件。解 ； ； ； ，即 ，即高數協會會員都是二年級的男生。第二節 隨機事件的概率 隨機事件雖有其偶然性一面，但在多次重復試驗中又呈現出明顯的統計規律性。在現實生活中，我們常常希望知道某些

11、事件在一次試驗中發生的可能性大小。我們把衡量事件發生可能性大小的數量指標稱為事件的概率，事件 A 的概率用 表示。 人們容易接受這種說法：當一個事件發生的可能性大（?。?，在相同條件下重復進行若干次試驗，該事件發生的次數就多（少），因而，下面引進的數量指標能在一定程度上反應事件發生的可能性大小。一、頻率定義1 在相同的條件下重復進行了 n 次試驗，如果事件 A 在這 n 次試驗中出現了 次，則稱比值 為事件 A 發生的頻率，記為 ，即 顯然，頻率 的大小表示了在 n 次試驗中事件 A 發生的頻繁程度。頻率大，事件 A 發生就頻繁，在一次試驗中 A 發生的可能性就大，也就是事件 A 發生的概率大，

12、反之亦然。因此，直觀的想法是用頻率來描述概率。例1 歷史上有一些科學家曾做過拋硬幣試驗，并統計了 n 次試驗中出現正面（事件A ）的次數 及相應的頻率 ，如表1-1所示。表1-1 從表中結果可以看出，當試驗次數 n 較大時，頻率 總是圍繞在 0.5 附近擺動，且逐漸穩定于 0.5 ，這表明頻率具有穩定性。 通過大量試驗可知，對于可重復進行的試驗，當試驗次數 n 逐漸增大時，事件 A 的頻率 都逐漸穩定于某個常數 p ，即呈現出穩定性，這種“頻率穩定性”就是通常所說的統計規律性，因此可以用頻率來描述概率，定義概率為頻率的穩定值。頻率的性質：（1）非負性 。（2）規范性 。（3）有限可加性 若 是

13、一組兩兩互不相容的事件，則 。二、概率定義2（概率的公理化定義） 設 E 是隨機試驗， 是它的樣本空間。對于 的每一事件 A ，定義實值函數 ，若滿足下列條件：（1）非負性 對任一個事件 A ，有 。（2）規范性 對必然事件 ，有 。（3）可列可加性 若 是兩兩互不相容的事件，即對于 ， （ ），有 ，則稱 為隨機事件 A 的概率。由概率的定義，可以推得概率的一些重要性質。性質1 不可能事件的概率為0，即 。證 因 ，由概率的可列可加性有由概率的非負性知， ，故由上式知 。性質2（有限可加性） 若 是兩兩互不相容的事件，則有 。證 令 ，即有 ( )。由可列可加性得 。性質3 設 A，B 是兩

14、個事件，若 ，則有 ， 。證 由 知 ，且 ，再由概率的有限可加性，得 ；移項即得 。又由概率的非負性， ，知 。推論 設 A，B是任意兩個事件，則有 。性質4 （逆事件的概率） 對于任一事件 A ，有 。證 因 ，且 ，由有限可加性，得 。移項得 。性質5（加法公式） 對于任意兩個隨機事件 A，B ，有 。證 因 ，且 ， ，故由概率的有限可加性得 。此性質還能推廣到多個事件的情況。例如，設 為任意三個事件，則有 。一般，對于任意 n 個事件 ，可以用歸納法證得例 2 設事件 A，B 的概率分別為 ， 。在下列三種情況下分別求 的值：（1）A 與 B 互斥；（2） ；（3） 。解 由性質（3

15、）的推論， 。（1）因為A與B互斥，所以 ， 。（2）因為 ，所以 。（3） 。例 3 設 ，證明 。證 。三、等可能概型（古典概型）古典概型是一類最簡單且又常見的隨機試驗，這類試驗具有以下特點。（1）有限性：試驗的樣本空間元素只有有限個，即 ；（2）等可能性：試驗中每個基本事件發生的可能性相同，且兩兩互不相容，即 。 具有這種性質的隨機現象的數學模型稱為等可能概型，它在概率論發展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為古典概型。等可能概型的一些概念具有直觀、容易理解的特點，有著廣泛的應用。定義3（概率的古典定義） 設在古典概型中共有 n 個基本事件，隨機事件 A 包含其中 k 個基本事件，則事件

16、A 發生的概率為 。例4 某班27人，女生6人，從班上任選8名班干部，求這8名班干部里有3名女生的概率。解 基本事件空間 從班上任選8名班干部的各種選法， 8名班干部里有3名是女生的選法，則 。 在計算古典概率時，所使用的基本工具是排列組合計算法，所使用的基本模型是“摸球”模型。以下舉例說明。設一袋中有 n 個編好號碼的小球，從中抽取 r 次，每次一球。抽取方法分兩種：（1）有放回抽取，即每次取出一球記下號碼后放回袋中，混合后再進行下次抽取。這時樣本點總數為 個。（2）不放回抽取，即每次取出一球后不再放回又抽取下一球。這時樣本點總數為 。 顯然，前一種抽取時，r 可以大于 n ；而后一種抽取時

17、有 。例5 一袋中有 60 個白球和 40 個紅球，從中摸取三次，每次一球。設 A 表示“恰有兩次都取到紅球”。請在（1）有放回抽樣，（2）不放回抽樣條件下求 。解 顯然，袋中有 100 個球。（1）有放回抽樣時，由于每次抽取后都放回，故每次抽取的球都是原 100 個球，則從100 個球中任取三個的所有可能取法共有 ，即樣本空間包含的基本樣本點總數為 。 因任取三球中有兩個紅球的可能取法有 種，且這兩個紅球是從40個紅球中摸取，其可能取法有 ，另一個球是白球，是從60個白球中摸取，有60種取法，因此事件A中樣本點數為 ，于是 。（2）不放回抽樣時，由于每次摸一個球后不放回，因此第一次是從原 1

18、00 個球中任意摸取，第二次是從第一次摸取后剩下的 99 個球中任意取得，第三次是從第二次摸取后剩下的 98 個球中任意摸取，因此從 100 個球中任意摸取三個球的所有可能取法共有 ，此時樣本空間樣本點總數為 。同理可求得事件 A 中樣本點數為 ，故 。注意 從本例計算結果說明，在被抽取對象的數量較大的情況下，用放回抽樣與不放回抽樣，其算得事件的概率是十分相近的，無明顯差異。在大樣本情況下，常把不放回抽樣當作放回抽樣來處理。但當被抽取對象的數量較少時，兩者會有較大差異，此時需嚴格區分是放回抽樣還是不放回抽樣。例6 一袋中裝有 N 個小球，其中 m 個紅球，余下為白球。從袋中任取出 個小球，問恰

19、有 個紅球的概率是多少？ 這個模型不要求摸球順序，故用組合式計算。所有可能的取法共有 種，設事件 A 表示“任取 n 個小球，其中恰有 k 個紅球”，則 。上式即為超幾何分布的概率公式。例7（分房模型） 設有 n 個人，隨機地住進 N 個房間中的任意一間（ ），設每個房間可容納的人數不限，試求下列各事件的概率：（1） 某指定的 n 個房間中各住一人；（2） 恰有 n 個房間，其中各住一人；（3） 某指定的一房間中，恰有 k 個人。解 n 個人住進 N 個房間，每個人都有 N 種住法，共有 種，即基本事件空間 的基本事件數為 。（1）在指定的 n 個房間中，第1個人有 n 種選擇，第2 個人有

20、種選擇，第 n 個人只有 1 種選擇，所以 A 包含的基本事件數位 。故 。（2）恰好有 n 個房間共有 種組合，所以 B 所包含的基本事件數為 。故 。（3）指定的一個房間恰好有 k 個人，可由 n 個人中任意選出，有 種選法，其余 個人可任意住到其余 個房間中去住，共有 種住法，所以 C 所包含的基本事件數為 。故 。例8（生日問題） 某班有 n 個學生，試求該班至少有兩名學生的生日相同的概率。解 設 至少有兩名學生的生日相同，由假設知，本題直接計算事件 A 的概率比較復雜，此時可以用對立事件來求解，即有： 沒有兩名學生的生日相同。于是 。則 。 現將 n 取不同值時，事件 A 的概率列于

21、表1-2。 從表 1-2 的計算結果可知，當一個班級的學生人數在 64 人以上時，至少有兩人生日相同這一事件幾乎是必然發生的。顯然這一結果常常會使人們感到驚訝：“多巧??！我們班竟然有兩位同學的生日是在同一天。”但從概率意義上來說，這幾乎是必然發生的事件。這就是概率思維與人們習慣思維的差異。學生掌握了這種思維方法，對提高對事物的認識能力與分析水平都有積極意義。表1-2例9 將 3 個球隨機放入 4 個杯子中，問杯子中球的個數最多為1，2，3 的概率各是多少？解 設 A，B，C 分別表示杯子中的最多球數為1，2，3的事件。我們認為球是可以區分的，于是，放球過程的所有可能結果數為 。（1）A 所含的

22、基本事件數，即是從 4 個杯子中任選 3 個杯子，每個杯子放入一個球，杯子的選法有 種，球的放法有 種，故 。（2）C 所含的基本事件數：由于杯子中的最多球數是 3，即 3 個球放在同一個杯子中共有 4 種放法，故 。（3）由于三個球放在 4 個杯子中的各種可能放法為事件 ，顯然， 且 互不相容，故 。注意 在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意在計算樣本空間 和事件 A 所包含的基本事件數時，基本事件數的多少與問題是排列還是組合有關，不要重復計數，也不要遺漏。四、幾何概率 在古典概型中利用等可能性的概念，成功地計算了某些問題的概率；不過，古典概型要求試驗結果必須為有限個，這在實際應用中具有

23、很大的局限性，因為有時還需要考慮試驗結果為無窮多個的情況，而這類問題一般可以通過幾何方法來求解，這就是幾何概型。所謂幾何概型是指具有下列兩個特征的隨機試驗： （1）有限區域、無限樣本點：試驗的所有可能結果為無窮多個樣本點，但其樣本空間 表現為某一幾何區域（直線、平面、立體）時為有限區域。 （2）等可能性：試驗中各基本事件出現的可能性相同，且任意兩個基本事件不可能同時發生。定義4（概率的幾何定義） 在幾何概率試驗中，設樣本空間為 ，事件 ，則事件 A 發生的概率為 ，其中幾何度量可以指長度、面積、體積等。例10 在一個均勻陀螺的圓周上均勻地刻上區間 上的所有實數，旋轉陀螺，求陀螺停下來后，圓周與

24、桌面的接觸點位于區間 上的概率。解 設A表示“圓周與桌面的接觸點位于區間 上”，由于陀螺及刻度的均勻性，它停下來時其圓周上的各點與桌面接觸的可能性相等，且接觸點可能有無窮多個，故 。例11 在線段 AB 上，任取兩點 M ，N ，在 M，N 處折斷成三條線段，求這三條線段能構成三角形的概率。解 如圖1-8所示，其中 L 為線段 AB 的長。 設 ， ，則 。 記 三條線段能構成三角形，則依題意，樣本空間表示成 。圖1-8 三條線段要能構成三角形必須滿足“兩邊之和大于第三條邊，兩邊之差小于第三條邊”，即 因此事件 A 可表示成 。 如圖1-9所示，A 為圖中陰影部分，兩平面區域的度量為面積 和

25、，故 。圖1-9第三節 條件概率一、條件概率 條件概率是本章的重要概念。我們知道，世界萬物都是互相聯系、互相影響的，隨機事件也不例外。在實際問題中，常常會遇到這樣的問題：在得到某個信息 B 以后（即在已知事件 B 發生的條件下），求事件 A 發生的概率，這時由于附加了條件，它與事件 A 的概率 的意義是不同的，這種在已知事件 B 發生的條件下，求事件 A 發生的概率稱為條件概率，記為 。例1 擲一枚質地均勻的骰子一次，觀察出現的點數。設事件 A 表示“擲出2點”，事件B 表示“擲出偶數點”。（1）求擲出 2 點的概率；（2）在已知擲出偶數點的情況下，求擲出 2 點的概率。解 （1）由題意，樣本

26、空間 ，顯然可知“擲出 2 點”是樣本空間中的一種情況，于是 。（2）事件 B 表示“擲出偶數點”，即 2,4,6 ，而此時“擲出 2 點”是其中三種情況中的一種，于是有 。 （1-1） 這里 ，其原因在于事件 B 的發生改變了樣本空間，事件 B 的發生就猶如給我們提供一條“情報”，使我們在更小的范圍內考慮問題，從而使它原來的 縮減為 ，因此 是在新的樣本空間 中由古典概率的計算公式而得到的。 注意到式（1-1）還可以寫出如下的形式 。 從概率的直觀意義出發，若事件 B 已經發生，則要使事件 A 發生，當且僅當試驗結果出現的樣本點屬于 A 又屬于 B ，即屬于 AB ，因此 應為 在 中的“比

27、重”。由此，可以給出條件概率的定義。定義1 設 A，B 是兩個隨機事件，且 ，稱 為事件 B 發生的條件下事件 A 發生的條件概率。注：條件概率亦具有概率的三條基本性質：（1）非負性 對任一事件 B ， 。（2）規范性 。（3）可列可加性 設 是兩兩互不相容的事件，則有 。 因此，類似于概率，對條件概率也可由三個基本性質導出其他一些性質。例如： ； ； 。例2 袋中有 5 個球，其中 3 個紅球 2 個白球現從袋中不放回地連取兩個。已知第一次取得紅球，求第二次取得白球的概率。解 設 B 表示“第一次取得紅球”，A 表示“第二次取得白球”，求 。方法1 縮減樣本空間 B 中的樣本點數，即第一次取

28、得紅球的取法為 ，第二次取得白球占其中的 種，所以 。方法2 在 5 個球中不放回連取兩球的取法有 種，其中，第一次取得紅球的取法有 種，第一次取得紅球第二次取得白球的取法有 種，所以 ， 。由定義得 。計算條件概率一般的方法：（1）在縮減后的樣本空間中計算概率。（2）在原來的樣本空間中，直接由公式計算概率。例3 據歷年氣象資料，某地 4 月份刮東風的概率為 ，既“刮東風”又“下雨”的概率為 ，問“刮東風”與“下雨”有無密切關系？解 設 B 表示“刮東風”，A 表示“下雨”，則 AB 表示“既刮東風又下雨”，于是由條件概率公式可得 。 計算結果說明，一般情況下，“刮東風”時“下雨”的可能性較大

29、。注意 用條件概率可以判別兩事件之間有否密切關系，或者說，一事件發生對另一事件發生的影響程度都可用條件概率來計算，如例3中說明4月份天氣：“刮東風”與“下雨”有密切關系。二、乘法公式利用條件概率的定義，很自然地可得到下述乘法公式。定理1（乘法公式） 設 是兩個隨機事件，若 ，則 ； （1-2）若 ，則 （1-3）式（1-2）和式（1-3）稱為乘法公式。乘法公式容易推廣到多個事件的情形。推論 設有 n 個隨機事件 ，則 。 （1-4）例4 在一批由 90 件正品，3 件次品組成的產品中，不放回接連抽取兩件產品，問第一件取正品，第二件取次品的概率。解 設事件A =第一件取正品；事件B =第二件取次

30、品。按題意， ， 。由乘法公式 。例5 在袋中有 a 個白球和 b 個黑球，隨機地取出一個，然后放回，并同時再放進與取出的球同色的球 c 個，再取第二個，如此連續地取 3 次，問：（1）取出的 3 個球中，已知頭兩個是黑球，求第 3 個是白球的概率；（2）取出的 3 個球中，頭兩個是黑球，第 3 個是白球的概率。解 設 第i次取得黑球( )，則（1） 。（2） 。說明：注意區分 和 。例6 在對一種產品進行三種破壞性試驗，產品沒通過第一種試驗的概率為 0.3 ，通過了第一種試驗而未通過第二種試驗的概率為 0.2 ，通過了前兩種試驗而未通過第三種試驗的概率為 0.1 ，試求產品沒通過這三種試驗的

31、概率。解 設 產品沒通過第三種試驗， 產品沒通過第 i 種試驗( )，則 或 。 。 依題意知， ，從而 。 另解 ，顯然 互不相容，故 三、全概率公式下面先介紹樣本空間的劃分定義。定義2 若事件 滿足下面兩個條件：（1） 兩兩互不相容，即 。（2） ，則稱 為樣本空間 的一個劃分，或稱其為一個完備事件組，如圖1-10 所示。 顯然，全部的基本事件構成一個完備事件組；任何事件 A 與 也構成完備事件組。為了計算復雜事件的概率，經常把一個復雜事件分解為若干個互不相容的簡單事件的和，通過分別計算簡單事件的概率，來求得復雜事件的概率。圖1-10定理 2（全概率公式） 設 為樣本空間 的一個劃分，且

32、，則對 中的任意一個事件 B 都有 。 證 因為 是一組兩兩互不相容的事件。又因為 ，所以 。由此得 。例7 七人輪流抓鬮，抓一張參觀票，問第二人抓到的概率？解 設 第 i 人抓到參觀票( )，于是 。 由全概率式 。 從這道題，可以看到，第一個人和第二個人抓到參觀票的概率一樣；事實上，每個人抓到的概率都一樣。這就是“抓鬮不分先后原理”。例8 設有一倉庫有一批產品，已知其中 50% ，30% ，20% 依次是甲、乙、丙廠生產的，且甲、乙、丙廠生產的次品率分別為 ，現從這批產品中任取一件，求取得正品的概率？解 以 ， ， 表示諸事件“取得的這箱產品是甲、乙、丙廠生產”；以 B 表示事件“取得的產

33、品為正品”，于是按全概率公式，有 。 四、貝葉斯公式 貝葉斯（Bayes）公式與全概率公式是相反的問題，即一事件已經發生，要考察引發該事件發生的各種原因或情況的可能性大小。 定理3（貝葉斯公式） 設 B 是樣本空間 的一個事件， 為樣本空間 的一個劃分，且 ， ，則在 B 已經發生的條件下， 發生的條件概率為 。 這個公式稱為貝葉斯公式。 貝葉斯公式在理論上和應用上都十分重要，假定 是導致結果“ B ”發生的“原因”，且已知 發生的概率大小為 ，稱其為先驗概率?，F試驗中出現了事件 B ，它將有助于探討引起事件 B 發生的“原因”。歸納起來，貝葉斯公式是一類由“結果”找引起“結果”發生的“原因”

34、的問題，即求 ，稱此概率為后驗概率。例9 發報臺分別以概率 0.6 和 0.4 發出信號“”和“”，由于通信系統受到干擾，當發出信號“”時，收報臺未必收到信號“”，而是分別以 0.8 和 0.2 概率收到“”和“”；同樣，發出“”時分別以 0.9 和 0.1 概率收到“”和“”。如果收報臺收到“”，問它沒收錯的概率？解 設 發報臺發出信號“”， 發報臺發出信號“”， 收報臺收到“”， 收報臺收到“”；于是， ， ， ， ， ， ；按貝葉斯公式，有 。 所以，沒收錯的概率為 0.571 4 。 例10 根據以往的記錄，某種診斷肝炎的試驗有如下效果：對肝炎病人的試驗呈陽性的概率為0.95；對非肝炎

35、病人的試驗呈陰性的概率為0.95。對自然人群進行普查的結果為：有千分之五的人患有肝炎現有某人做此試驗，結果為陽性，問此人確有肝炎的概率為多少？解 設 某人做此試驗結果為陽性， 某人確有肝炎；由已知條件有， ， ， ；從而 ， ；由貝葉斯公式，有 。 本題的結果表明，雖然 ， ，這兩個概率都很高。但若將此實驗用于普查，則有 ，即其正確性只有 8.7% 。如果不注意到這一點，將會經常得出錯誤的診斷。這也說明，若將 和 搞混了會造成不良的后果。 還可進一步說明： 與 ，這兩個概率都很接近于1，若近似取值為1，則有 。 從上式可以看出，非肝炎病人的試驗呈陽性的概率 （即誤診率）為0.05，是肝炎犯病率

36、 為 0.005 的 10 倍，此時 近似等于 ；在其他條件不變，當誤診率 增加時， 的值將減小，反之則增大。第四節 事件的獨立性一、事件的獨立性 從條件概率的例子中，可以知道，一般的有 ，但有時事件 B 發生與否與 A無關，這時就會有 ，由此可以引出事件獨立性的概念。先看一個例子。例1 10件產品中有 4 件正品，連續取兩次，每次取一件，作有放回抽樣。設 B ，A 分別表示第一、二次取得正品，則 ， ，故 。 這個例子說明，當事件 B 對事件 A 沒有任何影響時，事件 A 與事件 是等價的。當 且 時，有 ， 即 。 由此可定義事件的獨立性。定義1 設 為同一樣本空間中的兩事件，若 ，則稱

37、A 與 B 互相獨立。 應當指出的是，事件的獨立性與事件的互不相容是兩個完全不同的概念。事實上，由定義可以證明，在 ， 的前提下，事件 互相獨立與事件 互不相容是不能同時成立的。定理1 設 是兩事件，且 。若 相互獨立，則 。反之亦然。定理2 若事件 A 與 B 相互獨立，則下列各對事件也相互獨立： A與 ， 與 B ， 與 。證 因為 ，所以 。 故 A 與 相互獨立。 在實際問題中，一般不用定義來判斷兩事件 A，B 是否相互獨立，而是相反，從試驗的具體條件以及試驗的具體本質分析去判斷它們有無關聯，是否獨立？如果獨立，就可以用定義中的公式來計算積事件的概率了。例2 兩門高射炮彼此獨立的射擊一

38、架敵機，設甲炮擊中敵機的概率為 0.9，乙炮擊中敵機的概率為 0.8，求敵機被擊中的概率？解 設 甲炮擊中敵機， 乙炮擊中敵機，那么敵機被擊中 ；因為A與 B 相互獨立，所以，有 ?；?。定義2 設 是三個事件，如果以下 4 個等式成立： （1-5） 。 （1-6）則稱事件 互相獨立。若僅（1-5）式成立，則稱 兩兩獨立。 由定義 2 知，事件 相互獨立，則必兩兩獨立；但若事件 兩兩獨立，則事件 不一定相互獨立。例3 兩如圖1-11所示，有四張同樣大小的卡片，上面標有數字，從中任抽一張，每張被抽到的概率相同。解 令 抽到卡片上有數字 i ( )，則 ，即 ；圖1-11而 ； ； 。 可見 兩兩

39、之間是獨立的，但是總起來看 并不相互獨立。 因此對多個事件的獨立性要求比較嚴格。定義3 設對任意 n 個事件 ，若 ； ； (共 個式子)均成立，則稱 相互獨立。例4 用步槍射擊飛機，設每支步槍命中率均為0.004，求：（1）現用 250 支步槍同時射擊一次，飛機被擊中的概率；（2）若想以 0.99 的概率擊中飛機，需要多少支步槍同時射擊？解 （1） 表示“第 i 支擊中”，則要求 而 。 （2）由 。 本例計算結果說明，雖然每支步槍單獨射擊命中率很低，但是很多支步槍同時射擊，命中飛機的概率還是可以比較高的。這就是“人多力量大、人多智慧廣”的生動闡述。 下面介紹獨立性在可靠性問題中的應用。 元

40、件的可靠性：對于一個元件，它能正常工作的概率稱為元件的可靠性。 系統的可靠性：對于一個系統，它能正常工作的概率稱為系統的可靠性。例5 一個系統由 3 個部件組成，它們的工作是相互獨立的，若它們正常工作的概率都是 0.85 ，在下列各情形下，分別求系統正常工作的概率：（1）3個部件串聯起來，如圖1-12（a）所示；（2）3個部件并列起來，如圖1-12（b）所示；（3）3個部件串聯兩個，再并聯起來，如圖1-12（c）所示。圖1-12( b )( c )( a )解 設 第 i 個部件正常工作( )， 第 i 個系統正常工作( )。由題意知 相互獨立，于是（1） 。（2） 。（3） 。 計算結果說明

41、，系統（）最高，系統（）其次，系統（）最低，因此在實際應用中，集成電路大多采用并聯形式。二、伯努利概型 隨機現象的統計規律，往往是通過相同條件下進行大量重復試驗和觀察而得以揭示。這種在相同條件下重復試驗的數學模型在概率論中占有重要地位。定義4 具以下兩個特點的隨機試驗稱為 n 次伯努利概型試驗：（1）在相同條件下，重復 n 次做同一試驗，每次試驗只有兩個可能結果 A 和 ，且 ；（2）n 次試驗是相互獨立的（即每次試驗結果出現的概率不受其他各次試驗結果發生情況的影響。 n 次伯努利概型試驗簡稱為伯努利概型，它是一種很重要的數學模型，現實生活中大量的隨機試驗都可歸結為伯努利概型。 例如，產品的抽

42、樣檢驗中的“合格品”與“次品”，打靶中的“命中”與“不中”，車間里的機器“出故障”與“未出故障”等等，都是只有兩個結果的伯努利概型。下面討論在伯努利概型試驗中，事件 A 在 n 次試驗中恰好發生 k 次的概率。定理 3 在 n 次伯努利概型中，每次試驗事件 A 發生的概率為 ，則在 n 次試驗中，事件 A 恰好發生 k 次的概率為 ，其中， 。證 由于每次試驗的獨立性，n 次試驗中事件 A 在指定的 k 次發生，而在其余 次不發生的概率為 。 又因為在 n 次試驗中，指定事件 A 在某 k 次發生的方式為 n 次中任取 k 次的不同組合數 ，利用概率的有限可加性得 。例6 若某廠家生產的每臺儀

43、器，以概率 0.7 可以直接出廠；以概率 0.3 需進一步調試，經調試后以概率 0.8 可以出廠，以概率 0.2 定為不合格品不能出廠?，F該廠生產了 n 臺儀器（假設各臺儀器的生產過程相互獨立），求：（1）全部能出廠的概率；（2）其中恰有兩臺不能出廠的概率；（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率。解 設 A = 某一臺儀器可以出廠，則 。（1）P全部能出廠 ；（2）P恰有兩臺不能出廠 ；（3）P其中至少兩臺不能出廠 。例7 某廠自稱產品的次品率不超過0.5%，經過抽樣檢查，任取 200 件產品就查出了 5 件次品，試問：上述的次品率是否可信？解 設該廠產品的次品率為0.005，任取 200 件產品

44、中任一件檢查，其結果只有兩個，即次品與非次品，且每次檢查結果互不影響，即視為獨立。所以此試驗為伯努利概型， ， ，故 。 此概率如此之小，應該說在一次檢查中幾乎不可能發生（“概率很小的隨機事件在一次試驗中幾乎不可能發生”這一事實，稱為“小概率原理”。它是統計推斷理論中的主要依據，今后將要經常引用它），可現在竟然發生了，因此認為此廠自稱的次品率不超過 0.5% 是不可信的。內 容 小 結1知識框架圖2基本要求（1）本章介紹了隨機事件與樣本空間的概念，事件的關系與運算；給出了概率的統計定義，概率加法定理，條件概率與概率乘法定理，并介紹了全概率公式與逆概率公式，研究了事件的獨立性問題，伯努里概型。（

45、2）古典概型是一種隨機現象的數學模型，它要求所研究的樣本空間是有限的，且各樣本點的發生和出現是等可能的。計算古典概率必須要知道樣本點的總數和事件 A 所含的樣本點數。在所考慮的樣本空間中，對任何事件 A 均有 。古典概率的求法是靈活多樣的，從不同的角度分析，可以構成不同的樣本空間，解題的關鍵是確定什么是所需的樣本點。 統計概率是一種隨機試驗事件的概率，它不一定是古典概型。其特點是以事件出現次數的頻率作為概率的近似值。 事件的關系和運算和集合論的有關知識有著密切的聯系。如事件的包含關系可以表示為集合的包含關系；事件的和、積相當于集合的并、交，事件的對立相當于集合的互補，學習時需要加以對照。 為了

46、討論有關系的事件的概率，必須了解概率的加法定理、條件概率與概率乘法定理。在應用加法定理時首先要搞清楚所涉及的事件是否互斥（三個以上的事件是否兩兩互斥？）。使用概率的乘法公式時，首先要搞清楚所涉及的事件是否相互獨立？條件概率與事件乘積的概率的聯系由公式 表示。了解事件的獨立性以及事件的互不相容性對于計算一些事件的概率可起簡化作用。 全概率公式 中要求 是互不相容的完備群。逆概率公式 是求后驗概率而得到的。它與全概率公式中求先驗概率問題恰是對立的，但彼此又有公式相聯系。概率論與數理統計第一節隨機變量及其分布函數第二節離散型隨機變量及其概率分布第三節連續型隨機變量及其概率分布第四節隨機變量函數的概率

47、分布第二章隨機變量及其分布CONTENTS 為了深入研究和全面掌握隨機現象的統計規律，將隨機試驗的結果與實數對應起來，即將隨機試驗的結果數量化，為此引入隨機變量的概念，隨機變量是概率論中最基本的概念之一，用它描述隨機現象是近代概率論中最重要的方法，它使概率論從事件及其概率的研究擴大到隨機變量及其概率分布的研究，這樣就可以應用微積分等近代數學工具，使概率論成為真正的一門數學學科。第一節 隨機變量及其分布函數一、隨機變量 在許多隨機試驗中，試驗的結果可以直接用一個數值來表示，不同的結果對應著不同的數值。例如，投擲一顆骰子，觀察出現的點數，可能的結果分別是 1，2，3，4，5，6 這六個數值。如果用

48、一個變量 T 表示出現的點數，那么試驗的所有可能結果都可以用 T 的取值來表示，如“出現 2 點”可以表示成 ，“出現 6 點”可以表示成 。這個變量 T 隨著試驗的不同結果而取不同的數值。 而在有些隨機現象中，隨機事件與實數之間雖然沒有上述那種數字聯系，但常常可以人為引進變量給它建立起一個對應關系。例如，拋擲一枚硬幣，它的可能結果為“出現正面”或“出現反面”。我們引進變量 W，用 表示“出現正面”，用 表示“出現反面”。一般地，有下面的定義。定義1 設隨機試驗 E 的樣本空間為 ，如果對于每一個 ，都有唯一的實數 與之對應，則稱 為隨機變量。隨機變量通常用大寫字母 X，Y，Z 或希臘字母 ，

49、 等表示；而其所對應的小寫字母 x，y，z 等則表示為隨機變量所取的值。由定義1可知，前面所說的 T 和 W 都是隨機變量。下面再舉幾個隨機變量的例子。（1）將一枚硬幣拋擲 4 次，用 X 表示正面出現的次數，則 X 是一個隨機變量，它的所有可能取值為0，1，2，3，4。（2）某籃球隊員投籃，投中記 2 分，未投中記 0 分。用 Y 表示籃球隊員一次投籃的得分，則 Y 是一個隨機變量，它的所有可能取值為 0 ，2 。（3）一個在數軸上的閉區間 上作隨機游動的質點，用 Z 表示它在數軸上的坐標，則Z 是一個隨機變量，它可以取 a 和 b 之間（包括 a 和 b ）的任何實數。 由于隨機變量的取值

50、依賴于隨機試驗的結果，因此，在試驗之前只能知道它的所有可能取值的范圍，而不能預先知道它究竟取哪個值。因為試驗的各個結果的出現都有一定的概率，所以隨機變量取相應的值也有確定的概率。例如，在上面的（1）中， ； 。 引入隨機變量以后，就可以用隨機變量來表示隨機試驗中的各種事件。例如在上面的（1）中，事件“四次均未出現正面”可以用 來表示，事件“正面至少出現兩次”可以用 來表示，事件“正面最多出現三次”可以用 來表示。可見，隨機變量是一個比隨機事件更寬泛的概念。 隨機變量依其取值的特點通常分為離散型和非離散型兩類：如果隨機變量 X 具有有限個值或無限多個可數值，則稱 X 為離散型隨機變量，如“取到次

51、品的個數”“收到的呼叫個數”等；另一類是非離散型隨機變量，它包含的范圍很廣，情況比較復雜，我們只關注其中最重要也是實際中常遇到的連續型隨機變量，如“電燈泡的壽命”，實際生活中常遇到的“測量誤差”等。 研究隨機變量，不僅要知道它能夠取得哪些值，更重要的是要知道它的取值規律，即取到相應值的概率。隨機變量的取值及其取值規律之間的對應關系稱為隨機變量的概率分布。 概率論的歷史表明，引入隨機變量的概念以后，概率論的研究中心就從隨機事件轉移到隨機變量上來，概率論的發展也從古典概率時期跨越到分析概率時期。二、隨機變量的分布函數 隨機變量是定義在樣本空間上的單值實函數，它的取值是有確定的概率的，這是它與普通函

52、數的本質差異。下面引進分布函數的概念，它是普通的一元函數，通過它可以利用數學分析的方法來研究隨機變量。定義2 設 X 是一個隨機變量，x 為任意實數，函數 ( ) （2-1）稱為隨機變量 X 的分布函數。 顯然，隨機變量 X 的分布函數 是定義在 上的一元函數。如果將 X 看成是數軸上隨機點的坐標，則分布函數 在 x 處的函數值等于事件“隨機點 X 落在區間 上”的概率。 由定義可知，對于任意實數 ，由于 ，所以隨機點落在區間 的概率為 。 （2-2） 可見，若已知隨機變量 X 的分布函數，就可以求出 X 落在任一區間 上的概率，這表明分布函數完整地描述了隨機變量的統計規律性。分布函數 具有下

53、列性質。（1）單調性 為 x 的單調不減函數，即當 時，有 。 （2-3）事實上，若 ，則 ，所以 。（2）有界性 對任意實數 x ，有 ，且 ， ，或者 ， 。 （2-4） 由 以及概率的性質知, 。而從幾何圖形上看，當 時，“隨機點 X 落在區間 上”這一事件趨近于不可能事件，因此 ；當 時，“隨機點 X 落在區間 上”這一事件趨近于必然事件，因此 。（3）右連續性 對任意實數 x ，有 （證明從略）。 需要指出的是，如果一個函數滿足上述三條性質，則該函數一定可以作為某一隨機變量 X 的分布函數。因此，通常將滿足上述三條性質的函數都稱為分布函數。也就是說，上述三條性質是鑒別一個函數是否為某

54、一隨機變量 X 的分布函數的充分必要條件。 例1 拋擲一枚硬幣，設隨機變量 求：（1）隨機變量 X 的分布函數；（2）隨機變量 X 在區間 上取值的概率。解 （1）設 x 是任意實數。當 時，事件 ，因此 ；當 時，事件 。因此 。 當 時，事件 ，因此 。綜上所述，X 的分布函數為 （2）隨機變量 X 在區間 上取值的概率為 。 例2 設隨機變量 X 的分布函數為 求常數 A 以及概率 。解 由于分布函數 是右連續的，所以 。又 ， ，因此 。于是 進而 。 例3 向數軸上的閉區間 上投擲隨機點，假設隨機點落在 區間上任意一點的可能性相等，用 X 表示隨機點的坐標，求 X 的分布函數。解 這

55、是直線上的幾何概型問題，隨機點落在 的任一子區間 上的概率為 。對任意實數 x ，當 時，分布函數 ；當 時，事件 ，所以 ； 當 時， 。所以 。綜上所述，隨機變量 X 的分布函數為 第二節 離散型隨機變量及其概率分布 對于離散型隨機變量 X 而言，知道 X 的所有可能取值以及 X 取每一個可能值的概率，也就掌握了隨機變量 X 的統計規律一、離散型隨機變量及其分布律定義1 如果離散型隨機變量 X 的所有可能取值為 ，并且 X 取到各個可能值的概率為 ， （2-5）則稱式（2-5）為離散型隨機變量 X 的概率分布律，簡稱為分布律。分布律也可以用表格來表示（見表2-1），并稱之為 X 的概率分布

56、表。表 2-1容易驗證，離散型隨機變量的分布律滿足下列性質。性質1 ； （2-6）性質2 。 （2-7）例1 設隨機變量的分布律如表 2-2 所示。求：（1）a 的值；（2） ， ， 。表2-2解 根據性質 1 和性質 2 可知 ，解得 。以下計算欲求的概率分別為 ； ； 。例2 甲、乙、丙三人獨立射擊同一目標。已知三人擊中目標的概率依次為 0.8，0.6，0.5，用 X 表示擊中目標的人數，求 X 的分布律以及分布函數。解 X 的所有可能取值為 0，1，2，3。設 ， ， 分別表示事件“甲擊中目標”，“乙擊中目標”，“丙擊中目標”，則依題意 ， ， 相互獨立，且 ， ， ，所以 ； ； ；

57、。X 的分布律如表 2-3 所示。從而得出 X 的分布函數為 表 2-3其圖形如圖 2-1 所示。圖 2-1 由圖 2-1 可以看出，分布函數 是一個階梯函數，它在 X 的可能取值點 0，1，2，3 處發生跳躍，跳躍的高度等于相應點處的概率。這一特征是所有離散型隨機變量分布函數的共同特征。反過來，如果一個隨機變量 X 的分布函數 為階梯函數，那么 X 一定是離散型隨機變量。對于任意實數 x ，隨機事件 可以表示成 ，由于 互不相同，根據概率的可加性可知，離散型隨機變量 X 的分布函數為 。 （2-8） 由式（2-8）可見， 是隨機變量 X 取小于或等于 x 的所有可能值的概率之和。通常，該分布

58、函數也可寫成分段函數的形式： 對于離散型隨機變量，如果知道了它的分布律，便可知道它在任意范圍內的概率，同時也唯一決定了它的分布函數。事實上，對于離散型隨機變量而言，分布律與分布函數具有相同的作用，但分布律比分布函數更直觀、更簡便。因此常常通過分布律來掌握離散型隨機變量的統計規律性。 接下來介紹幾種常見的離散型隨機變量及其分布。二、幾種重要的離散型隨機變量及其分布律1（0-1）分布 如果隨機變量 X 只可能取 0 和 1 兩個值，其分布律為 ， ，或寫成 ， （2-9）則稱隨機變量 X 服從參數為 P 的（0-1）分布（或兩點分布）。它的分布律也可以寫成如表 2-4 所示的形式。表2-4 （0-

59、1）分布是一種常見的分布，如果隨機試驗只有兩個對立結果 A 和 ，或者一個試驗雖然有很多個結果，但我們只關心事件 A 發生與否，那么就可以定義一個服從（0-1）分布的隨機變量，如對產品合格率的抽樣檢測、新生兒性別的調查等。2二項分布 在 n 重伯努利試驗中，設 ，用 X 表示 n 次試驗中事件 A 發生的次數，則 X 的所有可能取值為 。由第一章中的二項概率公式知 X 的分布律為 。 （2-10）顯然 ( )； ，即式（2-10）滿足分布律的性質。 一般地，如果隨機變量 X 的分布律由式（2-10）給出，則稱隨機變量 X 服從參數為 n ，p 的二項分布（或伯努利分布），記作 。 特別地，當

60、時，二項分布 的分布律為 。 這就是（0-1）分布。這也說明了（0-1）分布是二項分布在 時的特例。例3 某射手射擊的命中率為 0.6，在相同的條件下獨立射擊 7 次，用 X 表示命中的次數，求隨機變量 X 的分布律。解 每次射擊命中的概率都是 0.6，獨立射擊 7 次是 7 重伯努利概型，因此，隨機變量 ，于是 ， 。計算可知 X 的分布律如表 2-5 和圖 2-2 所示。表 2-5圖 2-2 隨機變量X的分布律圖 從圖 2-2 中可以看到，當 k 增加時，概率 先是隨之單調增加，直到達到最大值 ，然后單調減少。 一般地，對于固定的 n 及 p ，當 k 增加時，概率 先是隨著 k 的增加而