1、中學數學解題數學思想方法第1頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日數學思想方法是數學知識的精髓、靈魂，它是對數學本質的理解和認識，是數學學習的根本目的。在數學教學中注重思想方法滲透，重視數學思想方法的教學，是提高個體思維品質和教學素養、發展智力的關鍵所在，也是現代社會對人才培養的基本要求。第2頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 數學思想是指人類對數學對象及其研究本質及規律性認識。它是在教學活動中解決問題的基本觀點和根本想法，是從某些具體的教學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，并在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和運用數學工具解決

2、問題的指導思想。一.數學思想方法及其意義第3頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日一）數學思想方法及其分類 數學思想按其對認識的研究范圍來劃分，可分為宏觀數學思想和微觀數學思想。宏觀數學思想是對數學整體的認識，能夠運用于其他科學和數學內部的各個分支，如公理化思想、模型思想、轉化思想、分類思想等。微觀數學思想則是對數學內部各分支及各種體系結構中特定內容和方法的認識，如函數思想、方程思想、數形結合思想等等。第4頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 數學方法是指從數學角度提出問題、解決問題（包括數學內部問題和實際問題）的過程中的概括性策略。 在中小學數學中常用的基本

3、數學方法大致可以分為三類。第一，一般的邏輯推理方法和發現方法，分析法、綜合法、反證法、窮舉法（分類討論）和歸納法、類比法等，它們不僅適用于數學，而且適用于其他學科領域，而當它們運用于數學中時則具有明顯的數學特色。第二，數學中的一般方法，如極限法、關系映射反演方法，數學模型方法、圖像法（坐標法）、第5頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 比較法、向量法、數學歸納法等。這些方法的作用范圍很廣，有的甚至影響著一個數學 分支和其他學科的發展方向。第三，數學 中的特殊方法，如換元法、待定系數法、 配方法、公式法、平移法、翻折法等，它 們往往和數學內容聯系在一起，是解決某 些具體的數學問

4、題的方法。 數學思想是數學中處理問題的基本觀點，是對數學基礎知識與基本方法本質的概括，數學方法是處理、解決、探索問題，實第6頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 現數學思想的技術手段和工具。數學思想和數學方法之間既有聯系又有區別：首先，兩者都是以一定的數學知識為基礎。其次，兩者具有抽象概括程度的不同，表現出互為表里的關系。數學方法受到數學思想的指引，是數學思想在數學活動中的反映和體現，表現形式外顯；而數學思想是相應數學方法的結晶和升華，表現形式內隱。數學思想往往帶有理論性的特征，而數學方法具有實踐性的傾向。 數學中用到的解題方法都體現著一定的數第7頁，共65頁，2022年，5

5、月20日，4點8分，星期日 學思想，一定的數學思想要靠數學方法去實現。由于人們在數學學習與研究活動中，很難把思想和方法嚴格區分開，所以常統稱為數學思想方法。 二） 數學思想方法與數學知識的關系 數學知識是陳述性知識與程序性知識的統一體，它是客觀的、普遍的、是以數學語言表述的概念、公理、定理、法則等及其相互關系的邏輯演繹體系，是明確的、顯性的，是看得見摸得著的；數學思想方法則是由數學內容來反映的，它蘊涵于數學 第8頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 概念、規律等基礎知識之中。除基本的數學方法以外，其他思想方法都是隱性的，滲透在學習知識和運用知識的過程之中，它是對數學對象的本質

6、認識，是對數學知識的進一步提煉、概括。 數學的發展不只是一些知識的簡單堆砌，它同時也是思想方法的沉淀、發展和演進。數學知識是數學思想方法的載體，數學思想方法隸屬于數學知識。當人們遇到數學問題時，首先產生的是解決它的數學思想，然后將數學思想具體化為具體操作的第9頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 數學方法，在數學思想與方法的運作下產生出數學概念，所以數學思想方法是以一定的數學概念形式表現出來。數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，它蘊涵于數學知識中，又相對超脫于我們所學的數學知識。沒有游離于數學知識之外的數學思想方法，也沒有不包括任何數學思想方法的數學知識，這兩者是相輔相

7、成的。正像一個人的存在必須有肉體和靈魂的統一一樣，數學概念、原理是肉體而數學思想方法是靈魂，它們共同組成了數學的知識體系。 第10頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日實際上，中學數學教材的教學內容始終貫徹兩條主線，即數學的基礎知識、基本技能和數學思想方法。數學基礎知識、基本技能，即通常講的“雙基”，這是一條明線，是用文字形式明明白白寫在教材里的，反映著知識間的縱向聯系；而數學思想方法是一條暗線，同時還包含著情感、態度、能力諸多因素，反映著知識間的橫向聯系，常常隱含在知識的背后，需要人們加以分析、挖掘、提煉才能顯露出來，這是老師的工作和責任。只有這樣，教師才能講得清楚明白、生動

8、活潑，入木三分，你這個老師才有水平。學生才能學有所思、學有所悟、學有所得。第11頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日三） 數學思想方法的主要特點 1、 概括性 數學知識的學習離不開概括，數學知識較其他學科的知識更具抽象性、更具概括性。而數學思想方法又是不斷地從數學概念、命題和數學理論中提煉和概括的產物。例如，數學歸納法是在皮亞諾自然數公理基礎上的提煉、概括。正是由于數學對象本身的概括性及數學思想方法又是對數學知識的提煉和再概括，這就使得數學思想方法具有高度概括性的特點，數學思想方法因此而具有廣泛的實用性。第12頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 2、 隸屬

9、性 數學思想方法所具有的高度概括性，使它不同于具體的數學知識，而以元知識的形態與數學知識渾然一體地存在著，成為數學科學體系中兩個不可分割的部分。數學知識中蘊涵著思想方法，而數學思想方法又隸屬于數學知識，數學知識是數學思想方法的載體，數學思想方法通過數學知識顯化。例如在等比數列定義教學中，蘊涵了觀察、類比、猜想、化歸、字母表示數等數學思想方法，這些思想方法通過等比數列定義這一概念教學而體現。第13頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 3、 層次感 數學思想方法是對數學知識的抽象概括，概括程度的高低決定了數學思想方法具有不同的層次。第一層，與某些特殊問題聯系在一起的方法，它是在某

10、些特定情況下才能發揮作用的具有賜教固定的操作程序，例如比較兩個數的大小的“差值比較法”。第二層，解決一類問題采用的共同方法，這些方法的操作程序不是非常具體，其適用范圍比較廣。例如：待定系數法、數形結合法、構造法等。 第14頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 第三層，數學思想方法。數學知識和方法是形成數學思想的基礎，有了知識不等于有思想，有方法沒有思想指導，只是機械操作，思想是對知識融會貫通的理解與升華，有思想的知識才是具有自我生成能力的知識。只是掌握了深層次的數學思想方法才算掌握了數學知識的核心。第四層，數學觀念。這是數學思想方法的最高境界，是一種認識客觀世界的哲學思想。第

11、15頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 4、 歉意性 學習遷移即一種學習對另一種學習的影響。任何一種學習都要受到學習者已有知識經驗、技能、態度等的影響，只要有學習，就有遷移。數學思想方法是對數學抽象概括的結果，它也具有遷移性特點，對數學知識的深刻理解有利于學生領會其中蘊涵的數學思想方法，同時，理解并掌握數學思想方法對進一步學習數學乃至從事其他工作會產生積極的影響。第16頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 由于思想和方法的不同層次，數學思想方法還具有其他不同特點，數學思想應呈現它的本質性、向導性、內隱性，而數學方法更多表現出程序性、操作性、外顯性。第17頁

12、，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日四） 數學思想方法的意義 從數學思想方法發展與演進史看，數學上每一項重大成果的取得無不與數學思想方法的突破創新有關。如坐標法的創立，解決了數、形溝通及互相轉化的問題，不僅直接導致產生了解析幾何這門學科，而且數學從此進入了變量數學時期。許多數學家之所以在數學領域取得巨大成就，除了具有超人的智慧外，對數學思想方法的深邃的洞察也是一項十分重要的原因。如，歐拉在眾多的數學領域以及自然科學作出了巨大貢獻，一個重要原因就是他即精通微第18頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 觀數學方法論，又精通宏觀數學方法論，既有深刻的數學思想，又具有

13、運用數學知識和方法的卓越才能。正是新的思想方法的不斷開拓，促進著數學事實的發現和繁衍，因此可以說數學思想方法是數學發展的內在動力。 數學思想方法對人的素質的發展具有重要影響。從人的素質發展的角度看，數學思想方法比形式化的數學知識更重要，因為前者更具有普遍性。社會各行業、各部門對數學知識要求的深度與廣度的差是很大第19頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 的，但對人的素質的要求是具有共性的。例如要求一個人要具備嚴謹的工作態度、具有善于分析情況、歸納總結、綜合比較、分類評析、概括判斷的工作方法，這些素質的形成和提高與他所受到的數學思想方法的參透、訓練緊密相連。日本著名數學教育家米

14、山國藏指出：“學生所學的數學知識，如果在進入社會后沒有機會應用，這種作為知識的數學，通常在走出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于心的數學的精神、第20頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 數學思想和方法等隨時隨地發生作用，使他們受益終身。” 數學思想方法對于數學學習也具有十分重要的意義。數學教學的根本目的就是使學生通過具體的數學認知活動去發現、領會蘊涵其中的數學思想方法。反之，“懂得基本原理使得學科更容易理解”（布魯納），形成良好的知識結構和思維品質，提高學生的洞察能力和問題解決能力，有利于學生形成全面的、正確的數學觀。第21頁，共65頁，20

15、22年，5月20日，4點8分，星期日二、中小學常用基本數學思想方法 中小學數學中蘊涵著許多思想方法，一些重要的數學思想方法在教材中反復出現，貫穿在中小學整個數學知識體系之中。數學課程標準明確提出了對數學思想方法的要求，將數學思想方法的要求，將數學思想方法作為基礎知識和基本技能的成分，幾乎參透到每一個模塊和專題。提高學生“數學地提出、分析和解決問題的能力”，“力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考和做出判斷”，就意味著數學學習不僅是對知識和技能的掌握以及具體的第22頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 解題技巧和方法的掌握，還應該對所學的知識在充分理解的基礎上進行升華，達到

16、對更一般的思想和方法的理解和應用。 在義務教育和普通高中數學課程標準中，包含的數學思想方法又觀察、實驗、歸納、類比、分析、綜合、抽象、概括、邏輯推理、證明，以及化歸、遞推、等價轉換、推廣與限定等常用的一般數學思想方法。此外還有著也行數學學科特有的數學思想方法，如用字母表示數、集合與對應的思想方法、函數與方程的思想方法、數形結 第23頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 合思想方法、數學模型思想方法、最優化思想方法、統計思想和數據處理方法、分類思想方法、參數代數學方法等。下面對幾種常用的基本的數學思想方法加以介紹。 一）、 用字母代替數的思想方法 用字母代替數的思想方法中學數學

17、中最基本的思想方法之一。也是代數的基本特征，它可以把數或數量關系簡明而普遍地表現出來，也可以使一些復雜的運算變得簡單，這是發展符號意識，進行量化刻畫的基礎，也是從常量研究過渡到變量研究 第24頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 的基礎。從用字母表示數到用字母表示未知元、表示待定系數、表示函數y=f(x)、表示字母變換等，這一整套的代數方法都離不開字母代替數的思想方法。在具體解題中，引進輔助元法、待定系數法、換元法等都體現了用字母代替數的思想方法。 第25頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第26頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日二）、集

18、合與對應的思想方法 集合論是現代數學的基礎，它為數學的公理化、結構化、形式化、統一化提供了語言基礎與組織形式。中學數學中，集合是一種基本數學語言和一種基本數學工具，數學名詞的描述（包括概念的內涵與外延的表現），數學關系的表達，都可以借助集合而獲得清晰、準確和一致的刻畫。用集合表示數系或代數式、用集合表示空間的線面關系、用集合表示平面軌跡及其關系、用集合表示方程（組）或不等式（組）的解、用集第27頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 合表示排列組合計數、用集合表示基本邏輯關系與推理格式等，都是集合思想的具體方法。解題中的分類討論法、容斥原理都與集合的分拆或交并運算有關，與集合思

19、想緊密聯系。 集合之間的對應，則為研究相依關系、運動變化提供了工具，使得能力方便地由一種狀態確定地刻畫另一種狀態，由研究狀態過過渡到研究變化過程。數軸與坐標系的建立，函數概念的描述，RMI原理的精 神實質等，都體現著集合之間的對應。第28頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日三）、函數與方程的思想方法 函數與方程是從用字母表示數的思想 方法、集合與對應的思想方法這兩種思想方法衍生的一種思想方法 方程是初中數學的一項主體內容，并 在高中數學中延續。函數從初中就開始研究，并成為高中數學的主體內容（基本初等函數），可以說，函數與方程是中學數學中最重要的組成部分。 方程 ，可以表示兩個

20、不同事物具有相同的數量關系，也可以表示同一事第29頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 物具有不同的表達方式。方程的內在本質是在已知數和未知數之間建立一種等式關系。“方程思想”的本質就在于建立關系。運用方程觀點可以解決大量的應用問題（建模）、求值問題、曲線問題的確定及其位置關系的討論問題等。 函數的許多性質也可以通過方程來研究。函數概念是客觀事物運動變化和相依關系在數學上的反應，本質上市集合間的對應。它是中學數學從常量到變量的一個認識上的飛躍。數學中關系式、方程、不等式、排列組合、數列等重要內容都可以通過函數來表達、溝通與研究。 第30頁，共65頁，2022年，5月20日，4

21、點8分，星期日（一）、函數的思想方法 函數思想的最大特點就時從變化、動態的觀點來認識數學對象和它們的性質之間的關系，這能夠更全面、深入地認識事物的本質，從上圖我們可以發現，函數思想在中數學解題中的應用主要表現在兩個方面：一是根據題目條件，構造有關初等函數，借助其性質，解決有關求值，不等式，方程以及討論參數的取值范圍等問題，二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關問題。 第31頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 1、在方程問題中的應用 函數與方程有密切的聯系，函數思想是解決不定方程基礎上萌芽并發展的，可以說方程是函數的局部，而函

22、數則包括方程的全部內涵，在一定范圍內它們可以相互轉換，因此用函數的思想方法解決方程問題往往是一種很有效的方法。第32頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第33頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第34頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 2、存在性問題中的應用 初等函數均屬于連續函數，對某些初等函數的存在性問題利用其連續性，可以達到很好的效果。 第35頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第36頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第37頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日（二）、方程的思想

23、方法 很多具有數量關系的數學對象，最基本的相互關系是相等和不等，當我們將數學量的相等關系用等量來表示，而且其中一個或幾個數學量當做未知數時，就得到方程，再利用方程的知識來解決問題是就是方程思想的具體表現，而挖掘出問題中的等量關系，根據題設本身各量間的制約關系列出等式，是方程思想運用的關鍵與基礎所在。在應用方程思想解題時，主要運用方程的如下性質：1）、方程（組）解第38頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日的定義；2）、代數基本定理（一元N次方程有N個根）；3）、其次線性方程組的性質；4）、一元二次方程根的判別式；5）、韋達定理及其逆定理。第39頁，共65頁，2022年，5月20

24、日，4點8分，星期日第40頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第41頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第42頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第43頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第44頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第45頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 注：如果按習慣思維，囿于化簡求值問題，僅僅對原式進行恒等變形，這樣做只能越化越繁。本題突破思維定式，運用方程思想，另辟蹊徑，順利解題。 很多具有數量關系的數學對象，最基本的相互關系是相等和不等，當我們將數學量的相等關系

25、用等量來表示，而且其中一個或幾個數學量當做未知數時，就得到方程，再利用方程的知第46頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 識來解決問題時就是方程思想的具體表現，而挖掘出問題中的等量關系，根據題設本身各量間的制約關系列出等式，是方程思想運用的關鍵與基礎所在。第47頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日四）、 數形結合思想 數學是研究空間形式和數量關系的一門科學，數與形是中學被研究得最多的兩個側面，數與形的結合是一種極具數學意義的信息轉換。著名數學家、數學教育家華羅庚先生曾經指出：“數缺形時少直觀，形少數難入微”。這說明數形結合在數學中是十分重要的。所謂數形結合思

26、想，就是在研究問題時把數和形結合考慮，把問題的數量關系轉化為圖形性質，或把圖形性質轉化為數量關系，從而使復雜問題簡單化第48頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 ，抽象問題具體化。解題中的數形結合，是指對問題既進行幾何直觀的呈現，又進行代數抽象的揭示，兩個方面相輔相成，而不是簡單地代數問題用幾何方法或幾何問題用代數方法，兩方面有機結合才是完整的數形結合。第49頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日（一）、用代數方法解幾何問題 研究某些度量關系的幾何問題時，可將有關線段、角度、面積用未知數表示，根據已知條件建立相應的關系式，然后用代數中的，恒等變化或解方程解出。

27、 第50頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第51頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日（二）、用三角方法解幾何問題 用三角方法解幾何問題，常將線段和角的關系轉化為三角函數關系，通過三角恒等變化、解三角方程或證明三角不等式來，完成幾何問題的解答。 第52頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第53頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日（三）、用幾何法解代數問題第54頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第55頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日第56頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分

28、，星期日 從上面的這些例子我們可以發現，數形結合的途徑可以歸為三大類：第一，通過坐標系：包括直角坐標系，極坐標系和復平面。第二，構造：可以構造幾何模型，構造函數或圖形。第三,轉化：通過分析數、式與方程的幾何意義，以及數、式與圖形之間的對應關系，實現數與形的轉化。 此外，我們還需要圖形直觀的特點，使問題的分析過程形象化、可視化，從而達到探索解題途徑的目的。第57頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日五）、數學模型的思想方法 現代數學哲學認為數學是模型的科學，數學所揭示的是人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的數學結構。各種數學概念和各種數學命題都具有超越特殊對象的普遍意義，

29、它們都是一種模式。并且數學的問題和方法也是一種模式，數學思維方法就是一些思維模式。如果把數學理解為由概念、命題、問題和方法等組合成的復合體，那么，掌握模式的思想就有助于領悟數學的本質。在中學數學的教學中，常稱“模式”為“數學模型”，它不同于具體的模型。第58頁，共65頁，2022年，5月20日，4點8分，星期日 歐拉將“哥尼斯堡七橋問題”抽象為“一筆畫”問題的討論，清晰地展示了數學模型思想方法的應用過程：1）選擇有意義的實際問題；2）把實際問題構建成數學模型（建模）；3)尋找適當的數學工具解決問題；4）把數學中的結論拿到實際中去應用、檢驗。其中，“建模”是這種方法的關鍵。在具體解體中，構造“數學