1、第五章5.6二叉樹定價模型引見.一個簡單的二叉樹模型股票的現價為 $20三個月之后股票的價錢或為 $22 或為 $18Stock Price = $22Stock Price = $18Stock price = $20.Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $0Stock price = $20Option Price=?一份看漲期權一份基于該股票的三個月到期的看漲期權，其執行價錢為$ 21. .思索一個資產組合:持有 D 份股票 成為一份看漲期權的空頭當 22D 1 = 18D or D = 0.

2、25，資產組合是無風險的22D 118D構造無風險資產組合.資產組合的估值( 無風險利率為 12% )無風險組合為: 持有 0.25份股票成為一份看漲期權的空頭三個月后組合的價值為 220.25 1 = 4.50組合在時辰0的價值為 4.5e 0.120.25 = 4.3670.期權的估值資產組合為 持有 0.25份股票 成為一份看漲期權的空頭 組合在時辰0的價值為4.3670股票的價值是 5.000 (= 0.2520 )從而，期權的價錢為 0.633 (= 5.000 4.367 ).推行到普通情形一個依賴于股票的衍生證券，到期時間為 TSu uSd dS.推行到普通情形(continue

3、d)思索一個組合：持有D份股票，成為一份衍生證券的空頭當 D滿足下面的條件時，組合為無風險： SuD u = Sd D d orSuD uSdD d.推行到普通情形(continued)組合在時辰 T的價值為 Su D u組合在時辰0的價值為 (Su D u )erT組合在時辰0 的價值又可以表達為 S D f從而 = S D (Su D u )erT .推行到普通情形(continued)于是，我們得到 = p u + (1 p )d erT其中 .Risk-Neutral Valuation = p u + (1 p )d e-rT變量 p和 (1 p ) 可以解釋為股票價錢上升和下降的風

4、險中性概率衍生證券的價值就是它的到期時辰的期望收益的現值Su uSd dSp(1 p ).最初例子的修正由于 p 是風險中性概率，所以 20e0.12 0.25 = 22p + 18(1 p ); p = 0.6523或者，我們可以利用公式Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S p(1 p ).期權的估值期權的價值為 e0.120.25 0.65231 + 0.34770 = 0.633Su = 22 u = 1Sd = 18 d = 0S0.65230.3477.兩步二叉樹模型每步長為3個月20221824.219.816.2.歐式看漲期權的估值在節點 B的價值 = e0.1

5、20.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257在節點 A的價值 = e0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF.一個看跌期權的例子：X52504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF.美式期權該如何估值？ 505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF.1 二叉樹期權定價模型1.1 二叉樹模型的根本方法 熟習1.2 根本二叉樹方法的擴展 熟習1.3 構造樹圖的其他方法和

6、思緒 了解1.4 二叉樹定價模型的深化了解 熟習2 蒙特卡羅模擬2.1 蒙特卡羅模擬的根本過程 熟習2.2 蒙特卡羅模擬的技術實現 熟習2.3 減少方差的技巧 了解2.4 蒙特卡羅模擬的了解和運用 了解3 有限差分方法3.1 隱性有限差分法 熟習3.2 顯性有限差分法 熟習3.3 有限差分方法的比較分析和改良 了解3.4 有限差分方法的運用 了解5.6 二叉樹定價模型.1、從開場的 上升到原先的 倍，即到達 ； 2、下降到原先的 倍，即 。圖5.1 時間內資產價錢的變動把期權的有效期分為很多很小的時間間隔 ，并假設在每一個時間間隔 內證券價錢只需兩種運動的能夠：其中 .如圖5.1所示。價錢上升

7、的概率假設為 ，下降的概率假設為 。相應地，期權價值也會有所不同，分別為 和 。1.二叉樹期權定價模型.二叉樹模型實踐上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬延續的資產價錢運動 1.二叉樹期權定價模型.二叉樹模型可分為以下幾種方法：一單步二叉樹模型 1.無套利定價法 2.風險中性定價法 3.風險中性定價法二證券價錢的樹型構造 4.證券價錢的樹型構造三倒推定價法 5. 倒推定價法二叉樹方法的普通定價過程以無收益證券的美式看跌期權為例 6.普通定價過程1.1二叉樹模型的根本方法.構造投資組合包括 份股票多頭和1份看漲期權空頭當 那么組合為無風險組合此時 由于是無風險組合，可用無風險利率貼現，得將 代

8、入上式就可得到：其中 1.1二叉樹模型的根本方法無套利定價法：.在風險中性世界里：1一切可買賣證券的期望收益都是無風險利率；2未來現金流可以用其期望值按無風險利率貼現。在風險中性的條件下, 參數值滿足條件：假設證券價錢遵照幾何布朗運動，那么：再設定： 第三個條件的設定那么可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件 由以上三式可得，當 很小時：從而 以上可知，無套利定價法和風險中性定價法具有內在一致性。1.1二叉樹模型的根本方法.普通而言，在 時辰，證券價錢有 種能夠，它們可用符號表示為： 其中留意：由于 ，使得許多結點是重合的，從而大大簡化了樹圖。 1.1二叉樹模型的

9、根本方法. 得到每個結點的資產價錢之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型構造圖的末端T時辰開場往回倒推，為期權定價。 假設是歐式期權，可經過將 時辰的期權價值的預期值在 時間長度內以無風險利率 貼現求出每一結點上的期權價值； 假設是美式期權，就要在樹型構造的每一個結點上，比較在本時辰提早執行期權和繼續再持有 時間，到下一個時辰再執行期權，選擇其中較大者作為本結點的期權價值。 1.1二叉樹模型的根本方法.假設把一期權有效期劃分成N個長度為 的小區間，同時用 表示結點 處的證券價錢可得：其中假定期權不被提早執行， 后，那么： 表示在時間 時第j個結點處的歐式看跌期權的價值假設有提早執行的

10、能夠性，那么：1.1二叉樹模型的根本方法.1.2根本二叉樹方法的擴展.支付延續紅利率資產的期權定價當標的資產支付延續收益率為 的紅利時，在風險中性條件下，證券價錢的增長率應該為 ， 因此：1.2根本二叉樹方法的擴展對于股價指數期權來說， 為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說， 為國外無風險利率，因此以上式子可用于股價指數和外匯的美式期權定價。.支付知紅利率資產的期權定價支付知收益資產的期權定價 可經過調整在各個結點上的證券價錢，算出期權價錢； 假設時辰 在除權日之前，那么結點處證券價錢仍為：假設時辰 在除權日之后，那么結點處證券價錢相應調整為：假設在期權有效期內有多個知紅利率，那么 時辰結點

11、的相應的證券價錢為： 為0時辰到 時辰之間一切除權日的總紅利支付率1.2根本二叉樹方法的擴展. 將證券價錢分為兩個部分：一部分是不確定的；另一部分是期權有效期內一切未來紅利的現值。 假設在期權有效期內只需一次紅利，除息日在到之間，那么在時辰不確定部分的價值為： 當 時當 時表示紅利在 時辰：當 時，這個樹上每個結點對應的證券價錢為：當 時，這個樹上每個結點對應的證券價錢為： 為零時辰的 值1.2根本二叉樹方法的擴展知紅利額.利率是時間依賴的情形 假設 ，即在時辰 的結點上，其運用的利率等于 到 時間內的遠期利率，那么：這一假設并不會改動二叉樹圖的幾何外形，改動的是上升和下降的概率，所以我們依然

12、可以象以前一樣構造出二叉樹圖1.2根本二叉樹方法的擴展.的二叉樹圖在確定參數 、 和 時，不再假設 ，而令 ，可得： 該方法優點在于無論 和 如何變化，概率總是不變的 1.3構造樹圖的其他方法和思緒.三叉樹圖 每一個時間間隔 內證券價錢有三種運動的能夠：1、從開場的 上升到原先的 倍，即到達 ；2、堅持不變，仍為 ；3、下降到原先的 倍，即1.3構造樹圖的其他方法和思緒.一些相關參數：1.3構造樹圖的其他方法和思緒.控制方差技術 根本原理：期權A和期權B的性質類似，我們可以得到期權B的解析定價公式，而只能得到期權A的數值方法解。假設： 代表期權B的真實價值， 表示關于期權A的較優估計值， 和

13、表示用同一個二叉樹、一樣的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過程得到的估計值那么期權A 的更優估計值為： 1.3構造樹圖的其他方法和思緒.在運用三叉樹圖為美式期權定價時，當資產價錢接近執行價錢時和接近到期時，用高密度的樹圖來取代原先低密度的樹圖。 即在樹圖中那些提早執行能夠性較大的部分，將一個時間步長 進一步細分，如分為 ，每個小步長依然采用一樣的三叉樹定價過程 1.3構造樹圖的其他方法和思緒順應性網狀模型. 經過構建一個與目前市場上的期權價錢信息相一致的資產價錢樹圖，從而得到市場對標的資產價錢未來概率分布的看法。 其詳細方法是在二叉樹圖中，經過前一時辰每個結點的期權價錢向前推出留意不是倒推下一時

14、辰每個結點的資產價錢和相應概率 隱含樹圖的主要作用在于從買賣活潑的常規期權中得到的關于動搖率淺笑和期限構造的信息，來為奇特期權定價 1.3構造樹圖的其他方法和思緒隱含樹圖. 二叉樹圖模型的根本出發點：假設資產價錢的運動是由大量的小幅度二值運動構成，用離散的隨機游走模型模擬資產價錢的延續運動能夠遵照的途徑。模型中隱含導出的概率是風險中性世界中的概率 ，從而為期權定價取當前時辰為 ，在給定參數 、 和 的條件下，當 時，二叉樹公式：可以在 進展泰勒展開，最終可以化簡為：在 時，二叉樹模型收斂于布萊克斯科爾偏微分方程。1.4二叉樹定價模型的深化了解.Monte Carlo: Based On Pro

15、bability & Chance根本思緒：由于大部分期權價值實踐上都可以歸結為期權到期報答(payoff)的期望值的貼現；因此，盡能夠地模擬風險中性世界中標的資產價錢的多種運動途徑，計算每種途徑結果下的期權報答均值，之后貼現就可以得到期權價值。2.1 蒙特卡洛模擬的根本過程. 隨機途徑：在風險中性世界中， 為了模擬的途徑，我們把期權的有效期分為N個長度為時間段，那么上式的近似方程為 或 是從規范正態分布中抽取的一個隨機樣本反復以上的模擬至足夠大的次數，計算報答值的平均值，折現后就得到了期權的期望值2.2 蒙特卡洛模擬的技術實現.單個變量和多個變量的蒙特卡羅模擬：1、當報答僅僅取決于到期時 的

16、最終價值時 可直接用一個大步 假設初始時辰為零時辰來多次模擬最終的資產價錢，得到期權價值：2、當報答依賴于多個市場變量時每次模擬運算中對每個變量的途徑都必需進展抽樣，從樣本途徑進展的每次模擬運算可以得出期權的終值。 的離散過程可以寫為： 期權依賴于 個變量， ， 為 的動搖率， 為 在風險中性世界中的期望增長率， 為 和 之間的瞬間相關系數2.2 蒙特卡洛模擬的技術實現. 常數利率和隨機利率的蒙特卡羅模擬 利率為常數時：期權價值為初始時辰設為0：. 其中， 表示風險中性世界中的期望。 利率為變量時：期權價值為初始時辰設為0： 為有效期內瞬間無風險利率的平均值。2.2 蒙特卡洛模擬的技術實現.隨

17、機樣本的產生和模擬運算次數確實定：1. 的產生 是服從規范正態分布的一個隨機數。假設只需一個單變量，那么可以經過下式獲得：其中 是0到1的相互獨立的隨機數。2. 模擬運算次數確實定假設對估計值要求95的置信度，那么期權價值應滿足 是進展運算的個數， 為均值， 是規范差2.2 蒙特卡洛模擬的技術實現.一對偶變量技術二控制方差技術三重點抽樣法四間隔抽樣法五樣本矩匹配法六準隨機序列抽樣法七樹圖取樣法2.3 減少方差的技術.主要優點： 1. 在大多數情況下，人們可以很直接地運用蒙特卡羅模擬方法，而無需對期權定價模型有深化的了解 2. 蒙特卡羅模擬的適用情形相當廣泛主要缺陷：1. 只能為歐式期權定價，難

18、以處置提早執行的情形。2. 為了到達一定的準確度，普通需求大量的模擬運算。2.4蒙特卡洛模擬的了解和運用.主要思想是：運用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程轉化為一系列近似的差分方程，即用離散算子逼近 、 和 各項，之后用迭代法求解，得到期權價值。詳細地說，有限差分方法就是用有限的離散區域來替代延續的時間和資產價錢在坐標圖上，有限差分方法那么表達為格點Grids3 有限差分方法.可以了解為從格點圖內部向外推知外部格點的期權價值。如下圖：下面引見一下 、 和 的差分近似3.1 隱形有限差分方法.1. 的近似對于坐標方格內部的點 ，期權價值對資產價錢的一階導數可以用三種差分來表示： 、 和2

19、. 的近似對于 點處的 ，我們那么采取前向差分近似以使 時辰的值和 時辰的值相關聯：3. 的近似 點 處的 的后向差分近似為 ，因此點處期權價值對標的資產價錢的二階差分為這個二階差分也是中心差分，其誤差為 。3.1 隱形有限差分方法.差分方程把以上三個近似代入布萊克舒爾斯偏微分方程，整理得到：其中， 3.1 隱形有限差分方法.邊境條件1. 時辰看跌期權的價值為 其中 2. 當股票價錢為零時，下方邊境上一切格點的期權價值： 3. 當股票價錢趨于無窮時 3.1 隱形有限差分方法.求解期權價值：聯立 個方程： 和 時， 時，解出每個 的期權價值最后可以計算出 ，當 等于初始資產價錢時，該格點對應的 就是我們要求的期權價值。 3.1 隱形有限差分方法.頁面呈現顯性有限差分法： 其中， 即直接從 時辰的三個相鄰格點的期權價值求出 時辰資產價錢為 時的期權價值，可了解為從格點圖外部推知內部格點期權價值的方法3.2 顯形有限差分方法.有限差分方法樹圖方法VS一樣點：兩種方法都用離散的模型模擬資產價錢的延續運動不同點：樹圖方法中包含了資產價錢的分散和動搖率