1、引言資本資產定價模型(CAPM)為學界和業界所熟知。然而，隨著資產定價研究的深入，CAPM模型暴露出了各種問題，例如市場因子對資產收益率的解釋力不足，風險溢價估計不顯著或者為負值等等。CAPM 模型下的市場因子，產生風險溢價的經濟學邏輯在于投資者承擔了無法被分散的系統性風險。然而，CAPM 模型的 beta 作為市場因子與資產回報間線性關系的整體描述，并不區分價格波動的方向。市場向上的波動是否被視作風險，從而被定價？更加細化的 beta拆分是否能提供額外的信息？本文參考 Bollerslev, Patton, Quaedvlieg(2021)的方法并加以改進，將 CAPM 模型的 beta 拆

2、分為 4 個半 beta。截面上，根據基金半 beta 數值的排序構建基金投資組合。依據不同半 beta（具體含義將在后文詳述）構建的投資組合，經 2017 年 6 月至 2022 年 6 月的回測，展示出了不同的特性，如表 1 所示。表 1：半 beta 基金優選組合評測評價指標基金組合基金組合基金組合+基金組合累計凈值2.902.352.352.70年化收益率24.6619.3719.2822.8夏普比率1.141.351.301.05年化收益/最大回撤1.061.301.380.98因子視角+IC 均值0.160.120.140.14IC0 月份占比69646369資料來源：、Tusha

3、re基于構建的基金組合展示出了最強的獲取收益的能力，但其收益率波動較大；基于構建的基金組合風險調整后的收益表現最優，但其獲取收益的能力稍遜一籌。半 beta半 beta 介紹傳統 CAPM 下的 beta（式 1）對市場因子和資產回報的線性描述較簡略。(, ) = ( )式 1 中， 為市場組合回報，為單資產回報。(1)Ang et al.(2006)研究得到市場下行版的 beta（downside beta），Bollerslev et al.(2021)將 CAPM 的 beta 拆解為 4 個 semi-beta（下文統稱“半 beta”，見式 2）。 =(, )( ) + + + +

4、=()= + + (2)式 2 中， ，+ ， 為 4 個半協方差，分別對應Cov(rm, ri)中的 4 個組成狀態： 狀態(rm、 ri都為負)、狀態(rm、 ri都為正)、+狀態(rm為正、為負)，狀態 (rm為負、為正)。當市場和單資產的收益正負不同時（+，），半協方差為負，其值越小，資產和市場間的負相關性越強。為了便于后文解釋，規定+ = +/( )， = /()。為便于表述，后文中可以表示為N beta, 為P beta, +為M+ beta，為M- beta。半 beta 定義,表示資產 i 在固定時間長度 t 內第 k 個交易期的高頻回報。類似地，,表示市場的高頻回報。例如，t

5、 代表一個月，k 代表月內的交易日，或者 t 代表 1 個交易日，k 代表日內的 15 分鐘交易周期。定義帶符號的交易期資產回報：+ = (, 0)， = (, 0)。帶符號的交,易期市場回報的定義類似。半 beta 的具體定義如式 3 所示： = = 1 , ,， =+ +1 , ,2=1, 2=1 ,(3),+ = =1, ,， + = =1, ,=12,=12,式 3 中，m 表示每一個時間長度 t 內的高頻回報數量，例如 t 為 1 個月時，1 個月內共有 20 個交易日，m 為 20。傳統的市場 beta 正好被拆分為 4 個半 beta：, , = =1 = + + (4),=12

6、,用 ，,表示真實的 t 時刻市場回報方差、市場回報與資產 i 回報的協方差，用, , , ，+ ， 表示真實的 4 個半 beta。Barndorff-Nielsen and Shephard (2004),指出，當回報的樣本越來越細密時（m ）,實現的半 beta 能估計出真實的半 beta： , 。相似地，Bollerslev et al. (2020a)中的填充漸進理論也支持實現的半 beta 能估計真實的半 beta： , , +, ， ,， ,。,對半 beta 算法的改進嘗試Bollerslev et al.(2021)的文章中，對時間長度 t 內的每一根高頻 K 線，只使用了收

7、盤價計算的收益率這一個信息。然而，每一根高頻的 K 線提供了開、高、收、低 4 個價格信息，這 4 個價格可以分別得到 4 個對應的收益率。,本文對 2.2 節所示的算法進行改進， 定義帶符號的交易期內資產回報： + = max(h , 0)， = min( , 0)，h 為時間長度 t 內第 k 個交易期的最高價對應的收益,率， 為時間周期 t 內第 k 個交易期的最低價對應的收益率。例如，t 為月，k 為月內交易日，h 為該交易日內的最高價對應的收益率。帶符號的交易期內市場回報的定義類似，+ =,( , 0)， = ( , 0)。,得到改進后的+ 和 后，使用與式（3）相同的算法計算 4

8、個半 beta。,基于半 beta 方法的基金實證研究本文使用兩個普遍接受的研究方法來解釋基于半 beta 的基金優選實證研究：1）截面Fama-Macbeth 回歸分析；2）排序分層組合檢驗。由于基金的交易數據不含日內的開、高、低信息，本文使用基金近 5 日收盤凈值合成日度的 5 日 K 線，由圖 1 所示。圖 1：日度 5 日 K 線合成示意圖資料來源：、Tushare圖中，橫坐標為交易日計數，縱坐標為市場和資產的收盤價。以近 5 日最高收盤價作為日度 5 日 K 線最高價，最低收盤凈值作為最低價，合成得到日度的 5 日 K 線。合成 K 線后，以 t-5 日的收盤價為基準，可以計算得到市

9、場和資產在 t 日的 5 日最高回報率、5 日最低回報率，隨后可得到當日的+ 、 、+ 、 。使用 t-19 日至 t 日共 20,個交易日的 r 和 f 信息，可計算出資產 i 在 t 日的 4 個半 beta: 、 、+、。,例如，最近 6 個交易日，某只基金的收盤凈值為 1.02,1.01,0.98,1.03,1.05,1.06。利用上述凈值信息合成一根 5 日 K 線，其前收盤價為 1.02，最高價為 1.06，最低價為 0.98。可計算：+ = (1.06 1.02)/1.02, 0 = 0.039， = (0.98 1.02)/1.02, 0 =,0.039。相似地，可以得到市場組

10、合的+ 和 。使用最近 20 個交易日的單資產和市場的,r 和 f 信息，可計算出資產 i 在 t 日的 4 個半 beta。Fama-Macbeth 回歸檢驗數據準備從 Tushare 提供的數據接口獲取公募基金產品從 2017 年 6 月 1 日至 2022 年 6 月 30 日的日頻凈值數據。由于半 beta 的計算需要使用市場組合的回報數據，如果市場組合的倉位中包含了較多的債券類資產，會導致半 beta 的計算結果失真。因此，本文的方法僅對股票型基金適用。本文的方法對基金產品的成立年限、管理規模不做限制。最終的樣本空間為 517 支主動管理的股票型基金。本文選用滬深 300 作為理論中

11、市場組合的替代。由半 beta 的定義可知，4 個半 beta 的量綱統一，因此，無需進行標準化處理。2017 年 6 月 1 日至 2022 年 6 月 30 日，基金半 beta 的描述性統計和相關性統計如表 2、表 3 所示。表 2：半 beta 描述性統計 ,+,計數418474184741847 41847平均值0.540.550.50 0.45標準差1.370.500.53 1.02最小值0.000.000.00 0.00中位數0.340.430.33 0.28資料來源：、Tushare,分別計算得到 41847 個半 beta 數值。其中， 的均值最大，表明市場和單資產都向下,波

12、動時，相較其它狀態，資產的彈性最大。的均值最小，表明市場向下波動時，單資產向上波動的彈性最小。這兩個半 beta 的統計表現符合對資本市場的認知。表 3：半 beta 間相關性 + , 1.000.050.051.000.110.520.560.11+ 0.110.521.000.03 0.560.110.031.00,資料來源：、Tushare 與的相關性較高，這兩個半 beta 都對應單資產處于向上波動的狀態。 和+,的相關性較高，這兩個半 beta 都對應單資產處于向下波動的狀態。剩余的半 beta 之間相關性低。個半 beta 的密度曲線如圖 2 所示。圖 2：半 beta 密度曲線密

13、度曲線 密度曲線,+密度曲線密度曲線,資料來源：、Tushare基金收益率回歸檢驗,分別使用基金 i 的 t+5 日和 t+20 日回報作為被解釋變量，基金 i 在 t 日的 4 個半 beta作為解釋變量，進行日頻和周頻的 Fama-Macbeth 回歸（見式 5、式 6）：rt+5,i = 0,+5 + + + + + + +5,(5)+5,+5,+5,+5,rt+20,i = 0,+20 + + + + + + + +20,(6)+20,+20,+20,+20, 、 、+、為基金 i 在 t 日的 4 個半 beta 數值，rt+5,i 、rt+20,i 為基金 i 未,來 5 日、20

14、 日的收益率。回歸結果如表 4 所示。表 4：未來 5 日基金收益率對半 beta 回歸日頻：未來 5 日基金收益率對半 beta 的Fama-Macbeth 回歸解釋變量回歸系數t 值Newey-West 調整0.0201.613-0.016-0.999+0.0192.003-0.037-1.123周頻：未來 5 日基金收益率對半 beta 的Fama-Macbeth 回歸解釋變量回歸系數t 值0.0191.489-0.015-1.04+0.0091.972-0.040-1.207Newey-West 調整資料來源：、Tushare日頻和周頻的回歸檢驗結果相似。4 個半 beta 中， 和+

15、風險溢價為正，且經 Newey-,West 調整后的 t 值較顯著。 和風險溢價為負。 和+兩個半 beta 狀態下，單個資,產處于向下波動狀態，市場組合分別處于向上和向下波動狀態 ，資產回報與市場組合回報的協變性越強（同向或反向），資產的預期收益率越高。表 5：未來 20 日基金回報對半 beta 回歸日頻：未來 20 日基金回報對半beta 的 Fama-Macbeth 回歸解釋變量回歸系數t 值Newey-West 調整0.0220.849-0.027-0.875+-0.0290.760-0.032-0.202解釋變量回歸系數t 值Newey-West 調整0.015-0.353-0.0

16、23-1.054+-0.0461.117-0.032-0.090周頻：未來 20 日基金回報對半beta 的 Fama-Macbeth 回歸資料來源：、Tushare回報周期拉長至未來 20 日后，所有半 beta 的回歸檢驗皆不顯著。日頻計算的半 beta無法用以預測較長時間周期后的基金收益率情況。排序分層組合檢驗投資實踐中，更換基金持倉的交易成本較高。因此，交易策略的頻率要設置的盡可能低。本文將組合的調倉頻率設定為月頻率。考慮兩種月度基金半 beta 的取值方式。A)取均值：月度半 beta 值等于最近 20 個交易日半 beta 的均值；B)取月末值：月度半 beta 值等于月末當日的半

17、 beta 取值。均值方法利用了月內每一個交易日的半 beta 信息，但是可能會導致平滑過后的半 beta 包含過多歷史信息，有一定滯后性。月末值的時效性更強，且利用了月內的市場組合和資產的 r 和 f 信息。這兩種方法的優劣將在后文實證中進行檢驗。經 Fama-Macbeth 回歸得知， 、+與資產預期回報正相關， 、與資產預期回報負相關。每個月月末，分別使用取均值和取月末值的方法，得到資產的月度半 beta 取值。而后，對全體基金按 、+進行正向排序，按 、進行反向排序，根據半 beta 排序把基金池等分為 5 組。表 6：半 beta 取值及排序方式組合名稱取均值直接取值N beta 組

18、合月內均值、正向排序取月末值、正向排序M+ beta 組合月內均值、正向排序取月末值、正向排序P beta 組合月內均值、反向排序取月末值、反向排序M- beta 組合月內均值、反向排序取月末值、反向排序資料來源：分別計算兩種取值方法下的 4 個半 beta 構成的 8 個分層策略從 2017 年 6 月至 2022 年6 月的累計回報。N beta 排序分層檢驗圖 3：N beta 組合分層回測檢驗（月末取均值）資料來源：、Tushare使用取均值法，按 N beta 排序構建 5 個基金組合，組合間單調性良好。第 1 至第 5 組，月均收益率 0.45、0.81、0.81、0.91、1.5

19、0。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，第 1 至第 5 組累計凈值為 1.26、1.53、1.51、1.58、2.19。圖 4：N beta 組合分層回測檢驗（取月末值）資料來源：、Tushare使用取月末值法，按 N beta 排序構建 5 個基金組合，組合間單調性好。第 1 至第 5 組，月均收益率-0.004、0.48、0.91、1.19、1.95。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，第 1 至第 5 組累計凈值為 0.93、1.25、1.60、1.87、2.90。P beta 排序分層檢驗圖 5：P beta 組合分層回測檢驗（月末取均值）資料來源：、Tushar

20、e使用取均值法，按 P beta 排序構建 5 個基金組合，組合間單調性不佳。第 1 至第 5 組，月均收益率 0.94、0.83、0.80、0.95、0.98。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，第 1 至第 5 組累計凈值為 1.58、1.52、1.50、1.66、1.73。圖 6：P beta 組合分層回測檢驗（取月末值）資料來源：、Tushare使用取月末值法，按 P beta 排序構建 5 個基金組合，組合間單調性良好。第 1 至第 5組，月均收益率 0.23、0.66、0.95、1.20、1.51。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，第 1 至第 5 組累計凈值

21、為 1.02、1.36、1.64、1.93、2.35。M- beta 排序分層檢驗圖 7：M- beta 組合分層回測檢驗（月末取均值）資料來源：、Tushare使用取均值法，按 M- beta 排序構建 5 個基金組合，組合間單調性不佳。第 1 至第 5組，月均收益率 0.94、0.73、0.87、1.07、0.93。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，第 1 至第 5 組累計凈值為 1.60、1.42、1.55、1.77、1.67。圖 8：M- beta 組合分層回測檢驗（取月末值）資料來源：、Tushare使用取月末值法，按 M- beta 排序構建 5 個基金組合，組合間單調

22、性良好。第 1 至第 5組，月均收益率 0.30、0.62、0.81、1.30、1.51。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，第 1 至第 5 組累計凈值為 1.08、1.33、1.51、2.05、2.34。M+ beta 排序分層檢驗圖 9：M+ beta 組合分層回測檢驗（月末取均值）資料來源：、Tushare使用取均值法，按 M+ beta 排序構建 5 個基金組合，組合間單調性良好。第 1 至第 5組，月均收益率 0.63、0.83、0.96、1.00、1.07。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，第 1 至第 5 組累計凈值為 1.39、1.54、1.65、1.6

23、7、1.71。圖 10：M+ beta 組合分層回測檢驗（取月末值）資料來源：、Tushare使用取月末值法，按 M+ beta 排序構建 5 個基金組合，組合間單調性良好。第 1 至第 5組，月均收益率-0.04 0.5、0.90、0.96、1.27、1.84。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，第 1 至第 5 組累計凈值為 0.93、1.27、1.59、1.96、2.69。綜合上述實證結果，使用月末值代表當月的半 beta 所構建的組合，無論是組間單調性以及組合獲取收益的能力，都要顯著優于使用平均值的方法。因此，本文后續部分實證研究的組合都采用月末值法構造。半 beta IC

24、檢驗月末時，計算每只基金的 4 個半 beta 在所有基金中的百分位排序，計每只基金 20 交易日后、40 交易日后、60 交易日后的收益率在所有基金中的百分位排序。使用兩組百分位排序計算得到該半 beta 與 20 日后、40 日后、60 日后收益率的秩相關系數。 = (, , +,) 為秩相關系數，,為 t 時刻i 基金半beta 的百分位排名，+,為 t+n 時刻 i 基金收益率的百分位排名。圖 11：N beta IC 檢驗秩相關：N beta 與后 20 交易日收益率秩相關：N beta 與后 40 交易日收益率秩相關：N beta 與后 60 交易日收益率資料來源：、Tushare

25、N beta 與 20 日后收益率秩相關系數均值為 0.16，IR 系數為 0.50，IC 大于 0 的比例為 69；與 40 日后收益率秩相關系數均值為 0.08，IR 系數為 0.28，IC 大于 0 的比例為 58；與 60 日后收益率秩相關系數均值為 0.09，IR 系數為 0.29，IC 大于 0 的比例為 61。圖 12：P beta IC 檢驗秩相關：P beta 與后 20 交易日收益率秩相關：P beta 與后 40 交易日收益率秩相關：P beta 與后 60 交易日收益率資料來源：、TushareP beta 與 20 日后收益率秩相關系數均值為 0.12，IR 系數為

26、0.37，IC 大于 0 的比例為 64；與 40 日后收益率秩相關系數均值為 0.08，IR 系數為 0.24，IC 大于 0 的比例為 56；與 60 日后收益率秩相關系數均值為 0.08，IR 系數為 0.27，IC 大于 0 的比例為 58。圖 13：M- beta IC 檢驗秩相關：M- beta 與后 20 交易日收益率秩相關：M- beta 與后 40 交易日收益率秩相關：M- beta 與后 60 交易日收益率資料來源：、TushareM- beta 與 20 日后收益率秩相關系數均值為 0.14，IR 系數為 0.46，IC 大于 0 的比例為 69；與 40 日后收益率秩相

27、關系數均值為 0.08，IR 系數為 0.25，IC 大于 0 的比例為 58；與 60 日后收益率秩相關系數均值為 0.08，IR 系數為 0.26，IC 大于 0 的比例為 58。圖 14：M+ beta IC 檢驗秩相關：M+ beta 與后 20 交易日收益率秩相關：M+ beta 與后 40 交易日收益率秩相關：M+ beta 與后 60 交易日收益率資料來源：、TushareM+ beta 與 20 日后收益率秩相關系數均值為 0.14，IR 系數為 0.47，IC 大于 0 的比例為 63；與 40 日后收益率秩相關系數均值為 0.08，IR 系數為 0.24，IC 大于 0 的

28、比例為 59；與 60 日后收益率秩相關系數均值為 0.07，IR 系數為 0.24，IC 大于 0 的比例為 58。表 7：半 beta 秩相關系數秩相關：半 beta 與 20 日后收益率秩相關：半 beta 與 40 日后收益率秩相關：半 beta 與 60 日后收益率N betaP betaM+ betaM- betaN betaP betaM+ betaM- betaN betaP betaM+ betaM- betaIC 均值0.160.120.140.140.080.080.080.080.090.080.070.08IR 系數0.500.370.470.460.280.240.

29、240.250.290.270.240.26IC0 比例696463695856595861585858資料來源：、Tushare綜上所述，半 beta 方法基金優選的有效性及穩定性良好。在 4 個半 beta 中，基于 N beta 構建的基金組合 IC 表現最優。基金 N beta 排序對 20 日后基金收益率排序有較強的預示作用，對 60 日后的基金收益率排序也有一定的預示作用。P beta、M+ beta、M- beta 的 IC 均值在三個時間跨度上也都超過了 0.05 的有效性閾值。半 beta 基金組合回測評價每個月月末，計算所有主動管理股票型基金的4 個半beta 數值，并對基

30、金分別按N beta、 M+ beta 進行正向排序，按 P beta、M- beta 進行反向排序。分別取 4 個半 beta 排名前 20的基金等權組成基金優選組合。在次月末重新計算半 beta 數值并進行月度調倉。2017 年 6月至 2022 年 6 月，4 個基金優選組合的回測評價如表 8 所示。表 8：半 beta 基金篩選組合評價指標評價指標N beta 基金組合P beta 基金組合M- beta 基金組合M+ beta 基金組合累計凈值2.902.352.352.70年化收益率24.6619.3719.2822.8夏普比率1.141.351.301.05最大回撤-23.25-

31、14.87-13.98-23.23最大回撤開始時間2021-07-312021-11-302021-11-302021-10-31最大回撤結束時間2022-03-312022-03-312022-03-312022-03-31年化收益/最大回撤1.061.301.380.98月均換手率59615862資料來源：、Tushare基于 N beta 構建的基金組合展示出了最強的獲取收益的能力。2017 年 6 月至 2022 年 6 月，N beta 基金組合累計凈值 2.90，年化收益率 24.66，但其收益率波動較大。基于 P beta 構建的基金組合風險調整后的收益表現最優，其夏普比為 1.

32、35，卡瑪比為 1.30，但其獲取收益的能力稍弱。N beta 組合與 P beta 組合的月度收益率分布特征如圖 15 所示。圖 15：N beta 組合月度收益 VS P beta 組合月度收益 資料來源：、Tushare圖 15 中，左側子圖為 N beta 組合與 P beta 組合月度收益率的數值對比。易見，深紅色柱狀所代表的 N beta 組合的月度收益率值的波動幅度大于紅色柱狀。右側子圖為 N beta 和 P beta 基金組合月度收益率的密度曲線。P beta 組合的收益率的分布可近似看作正態分布。圖中可見，P beta 組合分布的集中度顯著高于 N beta。兩個組合月度收

33、益的分布特征與組合回測指標中的夏普比率互相印證。圖 16：N beta 組合月度收益 VS 基金池月度收益中位數 資料來源：、Tushare圖 16 左側子圖為 N beta 基金組合月度收益率與全體主動管理股票型基金月度收益率中位數的對比。當月上漲時，N beta 組合漲幅大概率跑贏基金池收益率中位數。圖 16 右側子圖為 N beta 優選組合與基金池中位數收益率密度曲線。可見，N beta 組合在正收益率上的密度高于基金池中位數，負收益率密度低于中位數。因此，無論是從獲取收益，或者控制回撤的角度，N beta 組合都優于基金池中位數基金。圖 17：P beta 組合月度收益 VS 基金池月度收益中位數 資料來源：、Tushare圖 17 左側子圖為 P beta 基金組合月度收益率與全體主動管理股票型基金收益率中位數的對比。P beta 組合月度收益率的波動小于基金池收益率中位數。圖 17 右側子圖為 P beta 優選組合與基金池中位數收益率密度曲線。可見，P beta 組合收益率的集中度高于基金池中位數組合，且負收益率密度低于基金池中