1、一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.圖1是李晨在一次課外活動中所做的問題研究：他用硬紙片做了兩個三角形，分別為ABC和DEF,其中ZB=90,ZA=45,BC=6VZ,ZF=90,ZEDF=30,EF=2.將DEF的斜邊DE與厶ABC的斜邊AC重合在一起，并將DEF沿AC方向移動.在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）.（1）請回答李晨的問題：若CD=10,則AD=_；（2）如圖2,李晨同學連接FC,編制了如下問題，請你回答：ZFCD的最人度數為_；當FCIIAB時，AD=_；當以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊

2、時，AD=_;厶FCD的面積s的取值范圍是C32【答案】（1）2；（2）60。：9-g耳2/3蘭6/3.【解析】試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質，求出AC的長，即可得到AD的長.（2）當點E與點C重合時，ZFCD的角度最大，據此求解即可.過點F作FH丄AC于點H,應用等腰直角三角形的判定和性質，含30度角直角三角形的性質求解即可.過點F作FH丄AC于點H,AD=x,應用含30度角直角三角形的性質把FC用x來表示，根據勾股定理列式求解.設AD=x,把厶FCD的面積s表示為x的函數，根據x的取值范|制來確定s的取值范料試題解析：（1）ZB=90,ZA=45,BC=S7,/.AC=12.VC

3、D=10,/.AD=2.（2）TZF=90,ZEDF=30,/.ZDEF=60.當點E與點C重合時,ZFCD的角度最大，.ZFCD的最大度數=ZDEF=,60.如圖，過點F作FH丄AC于點H,ZEDF=30,EF=2,/.DF=2a/./.DH=3,FCIIAB,ZA=45,/.ZFCH=45.”/.HC=3./.DC=DH+HC=3+V3.AC=12,AD=9-g如圖，過點F作FH丄AC于點H,設AD=x,由知DH=3,FH=g則HC2-（%+3）=9-叫在RtACFH中，根據勾股定理，得FC2=FH2+hc2=（、Q）2+（9y）22_18x+84以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角

4、形是直角三角形，且FC為斜邊，2.FC2=AD2+BC29即/一18x+84=x2+（6它2）解得“3設AD=x,易知S312-4,gp0 x8s1=一DCFH=21-(12-x).V*3=X-(12-x)FCD的面枳s的取值范圍是2Y?三S6護.考點：1面動平移問題；2等腰直角三角形的判定和性質；3平行的性質；4含30度角直角三角形的性質：5勾股定理；6由實際問題列函數關系式；7求函數值.2.將m看作己知量，分別寫出當0 xm時，F與X之間的函數關系式:3.己知關于x的一元二次方程疋伽+2）x+加=0（m為常數）（1）求證：不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程有一個根是2,

5、求m的值及方程的另一個根.【答案】見解析；即m的值為0,方程的另一個根為0.【解析】【分析】（1）可用根的判別式，計算判別式得到=口+2）2-4“仆m2+40,則方程有兩個不相等實數解，于是可判斷不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）設方程的另一個根為t,利用根與系數的關系得到2+t=一，2t=m,最終解出關于t和m的方程組即可.【詳解】證明：=（m+2）2-4xl-m=m2+4,無論m為何值時m20,/.m2+440,即厶0,所以無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根.（2）設方程的另一個根為t,x2-（w?+2）x+/w=0根據題意得2+t=,2t=m,解得t=0,所以m=0.

6、即m的值為0,方程的另一個根為0.【點睛】本題考查根的判別式和根于系數關系，對于問題（1）可用根的判別式進行判斷，在判斷過程中注意對的分析，在分析時可借助平方的非負性；問題（2）可先設另一個根為t,用根于系數關系列出方程組，在求解.4.已知關于x的一元二次方程妒+（加+1）兀+滬一2=0.（1）若此方程有兩個實數根，求m的最小整數值；（2）若此方程的兩個實數根為兒，兀，且滿足彳+用+怎吃=18-占F，求m的值.【答案】（1）加的最小整數值為-4：（2）m=3【解析】【分析】（1）根據方程有兩個實數根得（）,列式即可求解，（2）利用韋達定理即可解題.【詳解】解：=（?+1）一4xlxi/r?2-

7、2j=rn2+2m+l-rn2+S=2?+9V方程有兩個實數根/.A0,即2m+902加的最小整數值為-4(2)由根與系數的關系得：不+七=一(加+1),兀耳=扌加一2由x+X/+=lS-m2得：_(加+1)丁_F_2)=18士/.“=3,m2=-5、9/tn2m=3【點睛】本題考查了根的判別式和韋達定理，中等難度,熟悉韋達定理是解題關鍵.已知關于X的方程x2-2x+m-2=0有兩個不相等的實數根.求m的取值范圍；(2)如果m為正整數，且該方程的根都是整數，求m的值.【答案】(l)m0,代入求出即可；求出或2,代入后求出方程的解，即可得出答案.【詳解】-方程有兩個不相等的實數根./.=4-4(

8、m-2)0.m3；Vm3且m為正整數，m=l或2.當m=l時，原方程為x2-2x-l=0.它的根不是整數，不符合題意，舍去；當m=2時，原方程為x2-2x=0./.x(x-2)=0.Xi=0,X2=2.符合題意.綜上所述，m=2.【點睛】本題考查了根的判別式和解一元二次方程，能根據題意求出m的值和m的范I韋I是解此題的關鍵.關于x的一元二次方程(/c-2)x2-4x+2=0有兩個不相等的實數根.求k的取值范圍；(2)如果k是符合條件的最人整數，且一元二次方程x24x+k=0與x2+mx-l=O有一個相同的根，求此時m的值.8【答案】(1)kV4且32.(2)磚0或磚一一.3【解析】分析：由題意

9、，根據一元二次方程的定義和一元二次方程根的判別式列出關于k的不等式組，解不等式組即可求得對應的k的取值范圍；由(1)得到符合條件的k的值，代入原方程，解方程求得x的值，然后把所得x的值分別代入方程x2+mx-l=O即可求得對應的m的值.詳解：T一元二次方S(k-2)x2-4x+2=0有兩個不相等的實數根，k-2)=32-8k0且k-2#0.解得：kV4且kH2.(2)由可知，符合條件的：k=3,將k=3代入原方程得：方程x2-4x+3=0,解此方程得：xi=l,x2=3.把x=l時，代入方程x2+mx-l=0,有l+m-l=O,解得m=0.8把x=3時，代入方程x2+mx-l=0,有9+3m-

10、l=0,解得m=-./.m=0或m=-.3點睛：(1)知道在一元二次方程ax2+bx+c=0ci0)中，當=夕一4仇0時，方程有兩個不相等的實數根：當4ac=0時，方程有兩個相等的實數根：4血0時，方程沒有實數根是正確解答第1小題的關鍵；(2)解第2小題時，需注意相同的根存在兩種情況，解題時不要忽略了其中任何一種情況.7.已知關于x的方程x2-(k+3)x+3k=0.若該方程的一個根為1，求k的值；(2)求證：不論k取何實數，該方程總有兩個實數根.【答案】(1)=1；(2)證明見解析.【解析】【分析】把x=l代入方程，即可求得k的值；求岀根的判別式是非負數即可.【詳解】把x=l代入方程x2-(

11、k+3)x+3k=0得1伙3)+3k=0,1-k-3+3k=0解得k=l；證明：ct=l,b=一伙+3）,c=3kA=Z?2-4ac:.=（k+3F43k=（k3）20,所以不論k取何實數，該方程總有兩個實數根.【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根的判別式，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.&元旦期間，某超市銷售兩種不同品牌的蘋果，已知1千克甲種蘋果和1T克乙種蘋果的進價之和為18元.當銷售1T克甲種蘋呆和1千克乙種蘋果利潤分別為4元和2元時，陳老師購買3千克甲種蘋果和4千克乙種蘋果共用82元.（1）求甲、乙兩種蘋果的進價分別是每下克多少元？（2）在（1）的情況下，超市平均每天可售出甲種蘋果1

12、00T克和乙種蘋果140T克，若將這兩種蘋果的售價各提高1元，則超市每天這兩種蘋果均少售出10T克，超市決定把這兩種蘋果的售價提高x元，在不考慮其他因素的條件下，使超市銷售這兩種蘋果共獲利960元，求x的值.【答案】（1）甲、乙兩種蘋果的進價分別為10元/千克,8元/千克；（2）X的值為2或7.【解析】【分析】（1）根據題意列二元一次方程組即可求解，（2）根據題意列一元二次方程即可求解.【詳解】（1）解：設甲、乙兩種蘋果的進價分別為d元/F克元/下克.（a+b=18由題得：（3（o+4）+4（b+2）=82（a=10解之得：Lob=S答：甲、乙兩種蘋果的進價分別為10元/T克,8元/T克（2）

13、由題意得：（4+x）（10010 x）+（2+x）（14010 x）=960解之得：X=2,x2=1經檢驗，V=2,x2=7均符合題意答：x的值為2或7.【點睛】本題考查了二元一次方程組和一元二次方程的實際應用，中等難度,列方程是解題關鍵.9.已知:如圖，在RtAABC中，ZC=90,AC=8cm,BC=6cm.直線PE從B點出發，以2cm/s的速度向點A方向運動，并始終與平行，與線段4C交于點E.同時，點尸從C點出發，以lcm/s的速度沿向點B運動，設運動時間為Hs）（0/.x=l；當y=4時，W=4,/.x=2；原方程有四個根：Xl=l,X2=-1,X3=2,X4=-2.在由原方程得到方程的過程中，利用法達到的目的，體現了數學的轉化思想.解方程(x2+x)2-4(x2+x)-