1、2019-2020年高三數學 基本不等式復習【2015年高考會這樣考】1考查應用基本不等式求最值、證明不等式的問題2考查應用基本不等式解決實際問題【復習指導】1突出對基本不等式取等號的條件及運算能力的強化訓練2訓練過程中注意對等價轉化、分類討論及邏輯推理能力的培養基礎梳理1基本不等式：- (1)基本不等式成立的條件：-(2)等號成立的條件：當且僅當-時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同號)；(3)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，bR)；(4)eq f(a2b2,2)eq blc(r

2、c)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，bR)3算術平均數與幾何平均數設a0，b0，則a，b的算術平均數為eq f(ab,2)，幾何平均數為eq r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數大于或等于它的幾何平均數4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2eq r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是eq f(p2,4).(簡記：和定積最大) 一個技巧運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是abeq f(a2b2,2)；eq

3、f(ab,2)eq r(ab)(a，b0)逆用就是abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，b0)等還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等 兩個變形(1)eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2ab(a，bR，當且僅當ab時取等號)；(2) eq r(f(a2b2,2)eq f(ab,2)eq r(ab)eq f(2,f(1,a)f(1,b)(a0，b0，當且僅當ab時取等號)這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們 三個注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等

4、式求最值，這三個條件缺一不可(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致雙基自測1函數yxeq f(1,x)(x0)的值域為()A(，22，) B(0，)C2，) D(2，)2下列不等式：a212a；eq f(ab,r(ab)2；x2eq f(1,x21)1，其中正確的個數是()A0 B1 C2 D33若a0，b0，且a2b20，則ab的最大值為()A.eq f(1,2) B1 C2 D44若函數f(x)xeq f(1,x2)(x2)在xa處取最小值，則

5、a()A1eq r(2) B1eq r(3) C3 D45已知t0，則函數yeq f(t24t1,t)的最小值為_考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2xy1，則eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值為_；(2)當x0時，則f(x)eq f(2x,x21)的最大值為_ 利用基本不等式求函數最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”常用的方法為：拆、湊、代換、平方【訓練1】 (1)已知x1，則f(x)xeq f(1,x1)的最小值為_(2)已知0 xeq f(2,5)，則y2x5x2的最大值為_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，則xy的最小值為_

6、考向二利用基本不等式解決恒成立問題【例3】若對任意x0，eq f(x,x23x1)a恒成立，則a的取值范圍是_ 當不等式一邊的函數(或代數式)的最值較易求出時，可直接求出這個最值(最值可能含有參數)，然后建立關于參數的不等式求解【訓練3】已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實數m的最大值是_考向三利用基本不等式解實際問題【例3】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過5 m房屋正面的造價為400元/m2，房屋側面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費用當側面的長

7、度為多少時，總造價最低？審題視點 用長度x表示出造價，利用基本不等式求最值即可還應注意定義域0 x5；函數取最小值時的x是否在定義域內，若不在定義域內，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調性 解實際應用題要注意以下幾點：(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數；(2)根據實際問題抽象出函數的解析式后，只需利用基本不等式求得函數的最值；(3)在求函數的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解【訓練3】東海水晶制品廠去年的年產量為10萬件，每件水晶產品的銷售價格為100元，固定成本為80元從今年起，工廠投入100萬元科技成本并計劃以后每年比上一年多投入100

8、萬元科技成本預計產量每年遞增1萬件，每件水晶產品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數n的關系是g(n)eq f(80,r(n1).若水晶產品的銷售價格不變，第n次投入后的年利潤為f(n)萬元(1)求出f(n)的表達式；(2)求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？閱卷報告8忽視基本不等式成立的條件致誤【問題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點，其中使用的條件是“一正、二定、三相等”，在使用時一定要注意這個條件，而有的考生對基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時出現多次使用不等式時等號成立的條件相矛盾.,【防范措施】 盡量不要連續兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時應保證兩次等號成

9、立的條件同時相等.【示例】已知a0，b0，且ab1，求eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值錯因兩次基本不等式成立的條件不一致實錄a0，b0，且ab1，abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2eq f(1,4).又eq f(1,a)eq f(2,b)2 eq r(f(2,ab)，而abeq f(1,4)，eq f(1,ab)4，eq f(1,a)eq f(2,b)2eq r(8)4eq r(2)，故eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值為4eq r(2).正解a0，b0，且ab1，eq f(1,a)eq f(2,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(2,b)(ab)12eq f(b,a)eq f(2a,b)32 eq r(f(b,a)f(2a,b)32eq r(2).當且僅當eq blcrc (avs4alco1(ab1，,f(b,a)f(2a,b)，)即eq blcrc (avs4alco1(ar(2)1，,b2r(2)時，eq f(1,a)eq f(2,b)的最小值為32eq r(2).【試一試】設ab0，則a2eq f(1,ab)eq f(1,aab)的最小值是()A1 B2 C3 D4嘗試解答a2eq f(1