1、第三章 不等式3.4.1 基本不等式 第一課時 一、教學目標1.核心素養 通過學習基本不等式,提升同學的直觀想象、數學運算與規律推理的才能 . 2.學習目標（1） 探究基本不等式的證明過程；（2） 會用基本不等式解決簡潔的最大小值問題 . 3.學習重點應用數形結合的思想懂得基本不等式,過程 . 4.學習難點 用基本不等式求的最大小值 . 二、教學設計一課前設計1.預習任務并從不同角度探究基本不等式的證明1.預習課本 97 頁內容 ,感性熟悉 a 2+b 22ab 這個重要不等式和等號成立的條件. 2.能嘗試從兩方面證明基本不等式嗎：aba+b 21代數法2幾何法2.預習自測1.設 a0,b0,

2、就b a+a答案： 2填 或,并指出 “”成立的條件 . 2.已知 aR,設 P4+a 24+1 a 2,Q24,就 P 與 Q 的大小關系是 . 答案： PQ3.設 a0,b0,ab,P=a+b 2 ,Q=2ab,M=a 2+b2 2,就 P、Q、M 按由小到大的次序排列是答案： QMP二課堂設計1.問題探究問題探究一什么是基本不等式aba2b？活動一 重要不等式a2b22 ab ？觀看與摸索： 如圖是在北京召開的第24 界國際數學家大會的會標,會標是依據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱忱好客 .你仍記得是什么嗎？ 1設直角三角形的長為a、 b,

3、那么正方形的邊長為_;面積為_,4 個直角三角形的面積和是 _. 2依據 4 個直角三角形的面積和與正方形面積的大小關系,我們在中學的時候從這個圖案中找出過一個相等關系 理 . _,化簡后得到勾股定3依據 4 個直角三角形的面積和與正方形面積的大小關系,我們可得到一個 怎樣的不等式 _. 44 個直角三角形的面積和與正方形的面積有相等的情形嗎？何時相等？圖形怎樣變化？5你能給出它的證明嗎？歸納小結：重要不等式 ,對于任意的實數 _. 活動二 什么是基本不等式aba2b？a,b,都有 _;當且僅當1既然對于任意的實數 a、 ,都有 a 2b 22 ab ,假如 a 0, b 0,用 a , b

4、分別代替 a 2b 22 ab中的 a、 可以得到 . 2對于不等式 ab a b a 0, b 0,你能給出證明嗎？2歸納小結：假設 a 0, b 0 那么 _,我們把這個不等式叫做基本不等式又叫均值不等式. 3如以下圖, AB 是圓 O 的直徑,點 Q 是 AB 上任一點, AQ a , BQ b ,過點 Q 作 PQ 垂直 AB 于 Q ,連接 AP 、 PB .你能利用這個圖形得出基本不等式aba2b幾何說明嗎？基本不等式解讀：基本不等式的幾何意義：平均數說明：基本不等式成立的條件是_；結論是 _. 問題探究二基本不等式有那些推論與重要變形？重點學問,運用技巧 1.平方平均、算術平均、

5、幾何平均與調和平均的關系：假設a0,b0,就有a22b2a2bab121,當且僅當取ab等. 2. 基本不等式的幾個重要變形：1 a、bR,a2b2 _a222 b ,當且僅當取等；取等；取等；重點、難點學問 2 a、bR,ab_a2b2,當且僅當3假設ab0, 就b a+a2,當且僅當b問題探究三利用基本不等式能解決哪些問題？活動一 運用基本不等式比較大小例 1 1已知 a、b0,1,且 ab,那么在 ab,2 ab,a2b2,2ab中的最大者為 _. 【學問點：基本不等式及取等條件】詳解：方法一a、b0,1且 ab,ab2 ab,a2b22ab. 又當 a、b0,1時, aa2,bb2,a

6、ba2b2.最大者為 ab. 方法二 特值法 ,取 a1 2,b1 3,代入即得：最大者為 ab. 2設 a0,b0,試比較ab 2,ab,a 2b2 2,a1 2 的大小,并說明理由 . 【學問點：算數平均數,幾何平均數,調和平均數,均方根引出的重要結論】詳解：方法一a0,b0,1 a1 b 2 ab,即 ab2 當且僅當 ab 時取等號 . a1又ab 2 2a 22abb2 4a 2b2a2b2 4a 2b2 2,ab 2 a2b22 當且僅當 ab 時等號成立 而 abab 2,故 a 2b22ab 2 ab2 a1 當且僅當 ab 時等號成立 . 方法二特值法取 a1,b4 代入即得

7、結論 . 點撥： 1利用均值不等式及函數單調性是比較大小的常用方法；2代入特殊值,通過運算先估算大小關系,后比較大小更具有目標性活動二 利用基本不等式求最值例 2 1已知 a0,b0,且 ab2,就當 ab_時, ab 有最小值_. 2已知 a0,b0,且 ab2.就當 ab_時,ab 有最大值 _. 【學問點：基本不等式】詳解： 1ab2 ab,當 ab2時, ab 有最小值 2 2. ab 2ab 2 2,當 ab1 時, ab 有最大值 1. 點撥 ：利用基本不等式求最值,必需同時滿意以下三個條件：各項均為正數；其和或積為常數；等號必需成立 .即“一正,二定,三相等 ” .簡記：積定和最

8、小,和定積最大 . 活動三 利用基本不等式求最值例 3 1已知 x1,求 fxx1 x1的最小值 . 2已知 x0、y0,且 5x7y20.求 xy 的最大值 . 【學問點：基本不等式；數學思想：配湊,基本不等式推論】詳解： 1x1, x10. fxxx1x11x112 1 x1 1 x111. 1當且僅當 x1x1,即 x0 時取“” .fxmin1. 2x0,y0,xy1 355x7y 1 355x7y 21 3520 2 220 7 . 當且僅當 5x7y10,即 x2,y10 7時,取 “” .xymax20 7 . 點撥 ：在應用基本不等式求最值時,要把握定理成立的三個條件,就是“一

9、正各項都是正數 ,二定 積或和是定值 ,三相等 等號能否成立 ” .求最值時,假設忽視了某個條件,就會顯現錯誤.導致解題的失敗 .如：此題 1已知中將 x1改為 x2,就值域將變為 7 3, .2.課堂總結1. 基礎學問思維導圖重要不等式：a b、R,a2b22ab均值不等式：a b、R,a+bab均值不等式的應用2均值不等式的重要變形2.重點難點突破利用均值不等式求最值時,應留意的問題1各項均為正數,特殊是顯現對數式、三角數式等形式時,要仔細考慮 . 2求和的最小值需積為定值,求積的最大值需和為定值 . 3確保等號成立 . 以上三個條件缺一不行,可概括“一正、二定、三相等 ” .3.基本不等

10、式推廣：假設a b cR , 就abc3abc 當且僅當 abc 時,3取等號 . 一般地,對于n個正數a 1,a2,a ,就a 1a 2nanna a 2an當且僅當a 1a2a 時,取等號 . 3.隨堂檢測1.設 0ab,就以下不等式中正確的選項是 A.ab abab 2 B.a abab 2 bC.a abbab 2 D. abaab 2 b【學問點：基本不等式比較大小； 】解： 0ab,aaab.a ab. 由基本不等式知 abab 2 ab,又 0ab,abbb,ab 2 b. a abab 2 0,就 a1 a有最_值 2,此時 a_. 假設 a0,就 a1 a有最_值2,此時 a

11、_. 2假設 0a1的最小值為 A.3B.3 C.4 D.4 【學問點：基本不等式,對數函數】解： x1 x15x11 x162 x1 1 x16268,1當且僅當 x1x1即 x2 時取 “”號,ylog2xx15 log 1 283. 應選 B. 4.設 a1,b1 且 abab1,那么 A.ab 有最小值 2 21 B.ab 有最大值 21 2C.ab 有最大值21 D.ab 有最小值 2 21 【學問點：基本不等式變形的應用】解： A5.假設 x,yR,且 x2y5,就 3 x9y的最小值 A.10 B.6 3 C.4 6 D.18 3 【學問點：基本不等式,指數式】解： D6.已知

12、ab1,Plgalgb,Q1 2lgalgb,Rlgab 2,比較 P、Q、R 的大小 . 【學問點：基本不等式,函數的單調性】解： ab1,lgalgb0. 1 2lgalgblgalgb,故 QP. 又由ab 2 ab,得 lgab 2lg ab. 即 lgab 21 2lgalgb,故 RQ. 從而 PQR. 四課后作業基礎型 自主突破1. 不等式 a 212a 中等號成立的條件是 A.a1 B.a1 C.a1 D.a0 【學問點：取等條件】解： B2. 設 x0,就 y33x1 x的最大值是 A.3 B.32 2 C.32 3 D.1 【學問點：基本不等式】解： C3. 假設 a0,b

13、0,且 a2b20,就 ab 的最大值為 A.1 2 B.1 C.2 D.4 【學問點：基本不等式】解： A4. 以下函數中,最小值為 4 的函數是 A.yx4 x B.ysinx4 sinx C.ye x4ex D.ylog3xlogx81 【學問點：基本不等式,取等條件】解： C5. 已知 a0,b0,就1 a1 b2 ab的最小值是 A.2 B.2 2 C.4 D.5 【學問點：基本不等式】解： D6.已知 x0,y0,且滿意x 3y 41,就 xy 的最大值為 _ _ 【學問點：基本不等式】解： 3 7.已知 x0,y0,lgxlgy1,求2 x5 y的最小值【學問點：基本不等式,函數

14、的單調性】解： 2 才能型 師生共研8. 以下不等式 a 212a；a 244a； |b aa b| 2； 2a 2b2ab.其中恒成立 2b 2的是 A. B. C. D.【學問點：基本不等式】解：b a與a b同號, |b aa b|b a|a b| 2.9.2022 福建以下不等式肯定成立的是 A.lg x 21 4lgxx0 B.sinx1 sinx2xk,kZ C.x 212|x|xR D.1 x211xR 【學問點：基本不等式,取等條件】解： x212|x|. x22|x|10,當 x0時, x22|x| 1x22x1x120成立；當 x1,求 yx5x2 x1 的最小值；2求函數

15、 yx 43x23x21 的最小值 . 【學問點：基本不等式及應用】解： 1x1, x10.設 x1t0,就 xt1. t4 t59,于是有 yt4t1 tt25t4 tt4 t52當且僅當 t4 t,即 t2 時取等號,此時 x1. 當 x1 時,函數 yx5x2 x1 取得最小值為 9. 2令 tx21,就 t1,且 x2t1. yx 43x23x 21t1 23t13tt 2t1tt1 t1. t1, t1 t2t1 t2,當且僅當 t1 t,即 t1 時,等號成立,當 x0 時,函數取得最小值3. 1,就2 mm2n21的最小值為13. 已知實數m n ,假設m0,n0,且mnnD.

16、1 3A.1 4B.4 15C.1 8【學問點：基本不等式及應用】解：m22n212 m44n2n11m2m42n1n1m21mnm2111mn3m42n11m422n1mn1m2n14m2n1144n141411m2m2n1m2n144n11524n1m29m22n21的最小值為1 44n142 m2n21921,即2 mmn44mn自助餐1. 假如 log3mlog3n4,那么 mn 的最小值是 A.4 B.18 C.4 3 D.9 【學問點：基本不等式】解： B2. 2022 福建 假設 2 x2y1,就 xy 的取值范疇是 A.0 ,2 B.2,0 C.2, D., 2 【學問點：基本

17、不等式】解： D3. 假設 a,bR,且 ab0,就以下不等式中,恒成立的是 A.a2b22abB.ab2 abC.1 a1 b 2 abD.b aa b2【學問點：基本不等式】解： D4. 已知正項等差數列 an的前 20 項和為 100,就 a5a16的最大值為 A.100 B.75 C.50 D.25 【學問點：基本不等式】解： D5. 假設正數 x y、滿意4x29y23xy30,就 xy 的最大值是 C.2 A.4 3B.5 3D.5 4【學問點：基本不等式】解： C6.襄陽市一般高中2022 屆高三統一調研已知x 0,y 0,且1 x21,假y設2xyt22 t 恒成立,就實數 t

18、 的取值范疇是 A.4,2 B.4,2 C.0,2 D.0,4 【學問點：基本不等式,恒成立】解： B7. 當 0 x2 時,不等式 x2x a 恒成立,就實數 a 的取值范疇是 _. 【學問點：基本不等式,恒成立】解： 1, 8. 假設a0,b0,就ab21的最小值是 _；ab【學問點：基本不等式】解： 32 213設常數 a0.假設9xa2a1對一切正實數 x 成9. 2022 上海高考文科x立,就 a 的取值范疇為. 【學問點：基本不等式,恒成立】解： 1 5, . 考查均值不等式的應用,1. 由題意知,當x0 時 ,f x 9xa22 9xa26 aa1axx510. 已知x y zR ,就x2xyy2yzz2的最大值是 _ 【學問點：基本不等式,配湊思想】解：2點拔: 即x2xyy2yzxyyzy22,2z2x