1、名師精編 優秀教案2.3 冪函數（一）實例觀看,引入新課 1 假如張紅購買了每千克1 元的蔬菜w 千克 , 那么她需要支付P = W 元 P是 W的函數（y=x）2 假如正方形的邊長為 a, 那么正方形的面積S=a 2 S是 a 的函數3 假如立方體的邊長為（y=x2）V =a3 S是 a 的函數a, 那么立方體的體積（y=x3）14 如 果 一 個 正 方 形 場 地 的 面 積 為S, 那 么 正 方 形 的 邊 長a=S2a 是S 的 函 數1（y=x2）是 t的函數5 假如某人 t s內騎車行進1 km, 那么他騎車的平均速度v=t-1 V（y=x-1）. 問題一：以上問題中的函數具有

2、什么共同特點. 同學反應：底數都是自變量,指數都是常數. 【設計意圖】引導同學從詳細的實例中進行總結,從而自然引出冪函數的一般特點（二）類比聯想,探究新知1. 冪函數的定義一般地,函數 y=x 叫做冪函數 power function ,其中 x 為自變量, 為常數；留意 : 冪函數的解析式必需是 y = a 的形式,其特點可歸納為“ 系數為,只有項” （讓同學判定 y=2x 2 y= （x+1）2 y=x2+1 是否為冪函數）【設計意圖】加深同學對冪函數定義和出現形式的懂得 . 2. 冪函數的圖像與簡潔性質同前面的指數函數和對數函數一樣,先畫出函數的圖像,再由圖像來討論冪函數的相關性質（定義

3、域,值域,單調性,奇偶性,定點）不妨也找出典型的函數作為代表：1y=x y=x2 y=x3 y=x2 y=x-1讓同學自主動手,在同一坐標系中畫出這5 個函數的圖像-2,4-2-1,14y=x3 名師精編2,4 優秀教案 y=x2y=xy=x16321,1224,2y=x-114-1-1,-1-2-3問題三：全部圖像都過第幾象限,全部圖像都不過第幾象限,為什么？同學反應：都過第一象限,而都不過第四象限,由于當x0 時全部冪函數都有意義, 且函數值都為正 . 問題四 : 第一象限內函數圖像的變化趨勢與指數有什么關系 , 為什么？同學反應 : 當指數為正時是增函數 , 指數為負時是減函數 . 為什

4、么卻講不清晰 . 老師講解： 指數為正分為正分數和正整數,正無理數我們高中不做討論,當是正整數時很顯然遞增,當是正分數時,可以化成根式,很明顯當被開方數為正時,被開方數越大,整個根式值越大；而負指數可以化為正指數的倒數,分母遞增,整個函數遞減 . 問題五：全部圖像都過哪些點,為什么？同學反應：都過點（1,1 ）,由于 1 的任何指數冪都為1. 問題六 : 對于原點,什么樣的冪函數過,什么樣的冪函數不過,為什么？同學反應：指數為正過,為負就不過,由于負指數冪可以化成分數形式,分母不能為零,所以在原點沒有意義 . 問題七：圖像在第一象限的位置關系是什么樣子的,為什么？同學反應：當 0 x1 時,指

5、數大的圖像在上方,對于緣由大部分同學不能很快反應過來 . 老師活動：在 0 x1 內任取個 x 值,例如 a,確定有 oa1 時,指數大的函數值就大 . 【總結】冪函數不同于指數函數和對數函數擁有共同的定義域,所以冪函數的性質不行能全部總結清晰, 但我們在探干脆質的過程中知道了討論方法：指數是分數就化為根式,指數為負數就化為分式,這樣對于定義域、值域、單調性、奇偶性都可以很簡潔看出來,不過要嚴格判名師精編 優秀教案斷單調性和奇偶性仍要用定義進行證明 , 接下來不看圖像很快得出 5 個冪函數的相關性質：2 3-1函 y=x y=x 1 y=x性 數 y=x y= x 2質定義域 R R R 0

6、, + x x 0 值域 R 0 ,+ R 0 , + y y 0 單調性 增 - ,0 增 增 增 - ,0 減0 ,+ 減（0+ 減奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇公共點（1,1 ）【設計意圖】 通過創設問題情境,激發同學的思維,并在新知探究的過程中自然形成一般方法的出現,使同學易于領會和接受 . （三）新知應用【性質證明】證明冪函數 y= x 在0 ,+ 上是增函數證明：任取 x x 1 2 0, , 且 x 1 x 2 , 就 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2f x 1 f x 2 x 1 x 2x 1 x 2 x 1 x 2由于 0 x 1 x 2 , 所以 x 1 x

7、 2 0, x 1 x 2 0, 所以 f x 1 f x 2 即冪函數 f x x 在 0, 上的增函數 .老師活動：強調教材中此例題的位置和作用：（1）復習定義證明單調性的過程 .2 冪函數的單調性很簡潔觀看,強調嚴格判定的時候要用單調性進行證明；（3）冪函數的單調性很容易觀看,以至于在證明中直接用到了單調性,如直接判定x1x20【例】比較以下各組數種兩個值的大小（1）5.20.20.1 5.20.9 （ 2）0.9 3.73.20.9（ 3）1.72.53.5 1.8x 是增函數 , 解： :1 y= 5.20.10.2 5.2 0.1 5.22 y=x 0.9 在0,+ 內是增函數0.2 3.23.7 3.20.9 3.7（3） 1.72.51.82.51.83.5 【 練 習 】名師精編f優秀教案m2m1xm22m3已 知 一 個 函 數 是冪函數,且在區間（0, +）內是減函數,求滿意條件的實數 m的集合；2解：依題意 , 得 m m 1 1 解方程 , 得 m=2 或 m=-1 3檢驗 : 當 m=2 時, 函數為 f x x 符合題意 . 當 m=-1 時,不合題意 , 舍去 . 所以 m=2 【設計意圖】增強同學對新知的應用才能,從而達到才能的轉型和對學問