1、3.3最優化設計最優化設計方法是指采用最優化準則來設計的方法。在FIR DF的最優化設 計中，最優化準則有均方誤差最小化準則和等波紋切比雪夫逼近(也稱最大誤差 最小化)準則兩種。實際設計中，只有采用窗函數法中的矩形窗才能滿足前一種 最優化準則，但由于吉布斯(Gibbs )效應的存在，使其根本不能滿足設計的要求。 為了滿足設計的要求，可以采用其它的窗函數來消除吉布斯效應，但此時的設計 已經不能滿足該最優化準則了。因此，要完成FIR DF的最優化設計，只能采用 后一種優化準則來實現。3.3.1等波紋切比雪夫逼近準則在濾波器的設計中，通常情況下通帶和阻帶的誤差要求是不一樣的。等波紋 切比雪夫逼近準則

2、就是通過對通帶和阻帶使用不同的加權函數，實現在不同頻 段(通常指的是通帶和阻帶)的加權誤差最大值相同，從而實現其最大誤差在滿足 性能指標的條件下達到最小值。盡管窗函數法與頻率采樣法在FIR數濾波器的設計中有著廣泛的應用，但 兩者不是最優化的設計。通常線性相位濾波在不同的頻帶內逼近的最大容許誤 差要求不同。等波紋切比雪夫逼近準則就是通過通帶和阻帶使用不同的加權函數, 實現在不同頻段(通常指的是通帶和阻帶)的加權誤差最大值相同，從而實現其 最大誤差在滿足性能指標的條件下達到最小值，即使得氣(皿)和Hew)之間 的最大絕對誤差最小。等波紋切比雪夫逼近是采用加權逼近誤差Eew)，它可以表示為：E( &

3、項)=W ( ef) (H (e)H (ej wd(3-4)其中，W(ejw)為逼近誤差加權函數在誤差要求高的頻段上，可以取較大的 加權值，否則，應當取較小的加權值。盡管按照FIR數字濾波器單位取樣響應h(n)的對稱性和N的奇、偶性，FIR數字濾波器可以分為4種類型，但濾波器的頻率響應可以寫成統一的形式:H (ejw) = e j (N 1w)2 ej (兀 2)kH (w)(3-5)其中，keQ ,1 , H ( 3)為幅度函數，且是一個純實數，表達式也可以寫成統一的形式:七(ejw )= Q 0 P) o()(3-6)其中，Q()為3的固定函數，P(o)為M個余弦函數的線性組合。3.3.2

4、仿真函數利用數字信號處理工具箱中的remezord和remez函數可以實現FIRDF的 最優化設計。在此先介紹這兩個函數: n ,fo ,ao ,weights =remezord f ,a ,dev功能:利用remezord函數可以通過估算得到濾波器的近似階數n，歸一化頻 率帶邊界fo,頻帶內幅值ao及各個頻帶內的加權系數weights。輸入參數f為頻 帶邊緣頻率,a為各個頻帶所期望的幅度值,dev是各個頻帶允許的最大波動。(2)h =remez(n ,fo ,ao ,weights，ftype)功能:利用remez函數可以得到最優化設計的FIR DF的h(n)系數，輸入參 數n是濾波器的階

5、數,fo ,ao ,weights參數含義說明同(1)。ftype是所設計的濾 波器類型，它除了可以設計普通的濾波器外，它還可以設計數字希爾鈔特變換器 以及數字微分器。實際設計中，由于remezord函數可跑高估或低估濾波器的階 數n ,因此在得到濾波器的系數后，必須檢查其阻帶最小衰減是否滿足設計要 求。如果此時的技術指標不能滿足設計要求，則必須提高濾波器的階數到n +1 ,n +2等。故等波紋切比雪夫逼近法設計FIR數字濾波器的步驟是：給出所需的頻率響應Hd(ejw)，加權函數W(ejw)和濾波器的單位取樣響應 h(n)的長度N。由中給定的參數來形成所需的W(o)、氣(o )和P(o)的表達

6、式。根據Remez算法，求解逼近問題。利用傅立葉逆變換計算出單位取樣響應h(n)。用最優化設計法設計一個濾波器：例1: 設計一個最小階數的低通濾波器，采樣頻率fs=2000 Hz，通帶截止 頻率為500Hz，阻帶的截至頻率為600Hz，阻帶最小衰減為40dB，通帶的最大衰減 為 3dB。在設計之前應先確定用說明方法設計，本例可選擇等波紋的最優化設計法。 程序如下：fs=2000;%采樣頻率rp=3;%通帶波紋rs=40;%阻帶波紋f=500 600;%截止頻率a=1 0;%期望的幅度dev=(10”(rp/20)T)/(10”(rp/20)+1) 10”(-rs/20);n,fo,ao,w=r

7、emezord(f,a,dev,fs);b=remez(n,fo,ao,w);%調用最優設計法中remez函數freqz(b,1,1024,fs)100200300400500600Frequency (Hz)7008009001000程序運行后，計算機輸出該濾波器的幅頻及相頻響應特性，如圖1所示。View Insert Tools Hesktop Window Help辱I玲更|口四|旬口亶smc沼w20。-20-40-60-80100y _ _ _ 一 o o o o o o o o 2 4 6 8JLI oL o on 21002003004005006007008009001000Fr

8、equency (Hz)圖1 濾波器輸出的幅頻及相頻響應特性上圖中幅頻特性曲線從500Hz開始向下折，這是因為題設中通帶截止頻率為 500Hz，同樣圖中幅頻曲線在600Hz降為最低，是因為題設中阻帶的截至頻率為 600Hz。最優化設計Figure 1Eile Edit Jli ew Ins er t lools desktop Window Help 分口昌H甌0即甸 bTs 600巧Cl-100 0100200300400500600700800900 1000mp)-gn-FbEWFrequency (Hz)圖5濾波器輸出的幅頻及相頻響應特性(salll6-g)IlsITiLICL結果分析

9、：在設計中，如果該濾波器的特性不滿足要求，那么，原有參數必須作適當調 整。這在程序中很容易實現，只需對參數進行重新設定，就可以得到新條件下濾 波器的特性。采用最優化設計方法時大大減小了濾波器的階數，從而減小了濾波 器的體積，并最終降低了濾波器的成本。這樣使得設計出來的濾波器更為簡單經 濟。因而在實際的濾波器設計中，這種最優化方法是完全可行的。在實際應用中, 如果需要對某一信號源進行特定的濾波，并要檢驗濾波效果，應用傳統方法實施 起來比較繁瑣。在Matlab環境下，可先用軟件模擬產生信號源，再設計濾波器對其 進行濾波。同樣是設計一個FIR低通數字濾波器，綜合分析可以看出：（1）窗函數法在階數較低

10、時，阻帶特性不滿足設計要求，只有當濾波器階數 較高時，使用海明窗和凱塞窗基本可以達到阻帶衰耗要求；（2）頻率采樣法偏離設計指標最明顯，阻帶衰減最小，而且設計比采用窗函 數法復雜。只有適當選取過渡帶樣點值，才會取得較好的衰耗特性；（3）利用等波紋切比雪夫逼近法則的設計可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特 性，具有通帶和阻帶平坦，過渡帶窄等優點。最優化設計實現程序fs =2000;rp =3;rs =40;f = 500 600;a = 1 0;綜上所述，FIR濾波器很容易實現具有嚴格線性相位的系統，使信號經過 處理后不產生相位失真，舍入誤差小，而且穩定，因此越來越受到廣泛的重視。 MATLAB軟件的誕生，使數字信號處理系統的分析與設計得簡單，它已經成為電 子工程師必備的一個工具軟件。%采樣頻率%通帶波紋%阻帶波紋%截止頻