1、7 多維隨機(jī)變量及其分布測(cè)某一群人的身高H和體重W 。 即由某一群人構(gòu)成的樣本空間S=e將產(chǎn)生具有一定關(guān)系的二組隨機(jī)變量: H(e) , W(e)。定義：設(shè)E為一隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為S=e,設(shè)X=X(e)，Y=Y(e)是定義在S 上的隨機(jī)變量，其構(gòu)成的一向量（X,Y）稱為二維隨機(jī)向量（或變量）。研究(X，Y)的性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān)，而且還依賴于X，Y的相互關(guān)系 。（一）分布函數(shù) F(x，y)的定義： 設(shè)(X，Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y的二元函數(shù) F(x，y)=P Xx，Yy 稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)， 或聯(lián)合分布函數(shù)。F(x，y)性質(zhì): 1 F( x, y)是 x 或

2、 y 的非減函數(shù) （1）給定 y，當(dāng) x2 x1，則 F(x2，y)F(x1，y) （2）給定x，當(dāng) y2 y1， 則F(x，y2 )F(x，y1 )2 0F(x，y) 1，且 （1）給定 y，F(xiàn)( -，y)=0 （2）給定 x，F(xiàn)(x, -)=0 （3）F(-, -)=0 （4）F(+,+ )=13 F(x，y)=F( x+0，y)， F(x，y)=F( x，y+0)。 即F(x，y) 關(guān)于x 或 y 均為右連續(xù)。4 對(duì)于任意(x1，y1 )，(x2，y2 )， 若 x1 x2，y1 y2，則 F( x2，y2 )-F( x2，y1 )-F( x1 ，y2 )+F( x1，y1 ) 0（二）

3、概率密度函數(shù)與質(zhì)量函數(shù) 定義：對(duì)于二維隨機(jī)變量( X, Y )的分布函數(shù)F(x，y)，若存在非負(fù)函數(shù) f (x，y) 使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y 有 則稱(X，Y)為連續(xù)型二維隨機(jī)變量，f(x，y)為(X,Y)的概率密度函數(shù)。性質(zhì)： 1. f(x,y) 0 ; 2. ; 3. 若 f(x,y) 在點(diǎn)（x, y）處連續(xù)，則有 ; 4. 點(diǎn)(X, Y)落x0y平面上某一區(qū)域G內(nèi)的概率為 。例：設(shè) 求: i) 分布函數(shù)F ( x, y)； ii) 求(X,Y)落在G內(nèi)的概率。 解：i) ii) 定義：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取值為(xi， yj ), i, j=1, 2, 。若 ，且滿足：

4、 則稱 為二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的概率 質(zhì)量函數(shù)，或稱聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)。 其分布函數(shù)為： n維隨機(jī)變量的定義：若E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本 空 間有S=e，設(shè)X1= X1(e), X2= X2(e)， Xn= Xn(e) 是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)n維向量 （ X1，X2 ，Xn）稱作n維隨機(jī)向量（或變量）。 對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù) x1 , x2，xn , n元函數(shù) 稱為n維隨機(jī)變量（ X1, X2，Xn）的分布函數(shù)或聯(lián)合 分布函數(shù)。 其所有性質(zhì)均可由二維性質(zhì)推得。（三）邊緣分布 對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y），其作為一個(gè)整體我們有：分布函數(shù)： 連續(xù)型的概率密度函數(shù)： 離散型的概率密度

5、函數(shù)：而對(duì)隨機(jī)變量X，Y自身也有其分布函數(shù)，分別記為： Fx(x) , Fy(y)。它們分別稱為二維隨機(jī)變量（X,Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，且均可由F(x,y)確定。 即， 連續(xù)型 離散型 同理， 連續(xù)型 離散型由 關(guān)系可得對(duì)應(yīng)邊緣分布函數(shù) 的邊緣概率密度函數(shù)和邊緣概率質(zhì)量函數(shù)（分布律）： 它們分別稱為（X, Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)和邊緣概率質(zhì)量函數(shù)。問題：如何求解 已發(fā)生的條件下 發(fā)生的概率。即（四）條件分布 由二事件的條件概率公式： 可得：由上式條件概率可見其滿足概率質(zhì)量函數(shù)的條件： 1. 2.定義：設(shè)（X,Y）是二維離散隨機(jī)變量，對(duì)于固定的 j， 若 ，則稱 為在

6、條件下隨機(jī)變量X的條件概率質(zhì)量函數(shù)。同樣可定義： 定義：若（X,Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于 P X=x =0 和P Y=y =0，故不能直接用條件概率公式，但若 ， 則 ，于是 有 即在條件 下X的條件分布函數(shù)。 若上式當(dāng) 極限存在，則稱其極限為在條件Y= y 下 X的條件分布函數(shù)， 記為 或 。設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度為f(x,y)，若 f(x,y) 在點(diǎn) (x, y) 處連續(xù)，而邊緣概率密度 連續(xù)，且 ， 則有 若記 為在條件Y= y下X的條件概率密度函數(shù)，則由 可得： 。由X，Y的對(duì)稱性，同樣可定義： 和 。（五）獨(dú)立性 定義：設(shè) 分別為二維隨機(jī)變量 (X,Y)

7、的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于所有的x，y 有 即， 則稱X和Y是相互獨(dú)立的。若(X,Y)為連續(xù)型或離散型隨機(jī)變量，X和Y相互獨(dú)立的條件分別等價(jià)于： 8 隨機(jī)變量函數(shù)的分布g()為一標(biāo)量函數(shù)，其將xSX映射到y(tǒng)=g(x)SY 。 ，則有 且 P(A)=P(B)=P(C)定理：I. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其概率質(zhì)量函數(shù)為 令 ，則隨機(jī)變量Y的概率質(zhì)量函數(shù) 為 ： 其中，求和是對(duì)所有映射到 的 。 若X到Y(jié)的映射是一對(duì)一映射，則m=n; 若為多對(duì)一映射，則mn。II. 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x)，- x 0（或恒有g(shù)(x)0（或g(x)0 , Y的分布函數(shù)為： 1. 時(shí) ； 時(shí) 。 2

8、. 時(shí)， （2） 故， 設(shè) g(x)0 , 同上有故 , (3) 合并（2）、（3）二式，則可證得： 若f(x)在有限區(qū)間a,b之外為0，則 對(duì)于多維情況，若 以及 ，且令 (4)若 對(duì)應(yīng)的反函數(shù)為 ，且將其代入 則 上式與（4）式比較，可得：其中，計(jì)算中注意： 1. XY為單值關(guān)系時(shí)，使用 較方便，即 2. XY為非單值關(guān)系時(shí)，使用 較方便。隨機(jī)變量函數(shù)的分布例題例1. 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。解： =例 2 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 fX(x)，- x 0時(shí)有， 只要知道 的具體函數(shù)形式，就可將分別代入上式即可求得 。例3. 設(shè)隨機(jī)變量（X, Y）的概率

9、密度為 （1）問X和Y 是否相互獨(dú)立？ （2）求Z=X+Y的概率密度。解： 同理可得： 由于 ，所以X和Y 不是相互獨(dú)立的。 令隨機(jī)變量W=X，則有 例4. 設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布：試求隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)。 解： 設(shè) ，則由 可得 。故有 令 ，則 9 隨機(jī)變量的數(shù)字特征分布函數(shù)能完整的描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但有時(shí)分布函數(shù)不易求得。其次，有時(shí)不一定要求全面考察隨機(jī)變量的變化情況，只需知道其某些特征。糧食產(chǎn)量的平均水平；一批產(chǎn)品的平均質(zhì)量。例如，燈泡壽命的平均時(shí)間、各體偏離平均值的程度。即，平均壽命長、偏離平均值的程度小，則說明產(chǎn)品質(zhì)量高。 (一) 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(均值)定義:

10、(1) 設(shè)離散隨機(jī)變量X的概率質(zhì)函數(shù)為 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱此級(jí)數(shù) 為X的數(shù)學(xué)期望。記為， (2) 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x),若 絕對(duì)收斂，則稱此積分為X的數(shù)學(xué)期望。記為例1.甲乙兩人打靶問題,設(shè) 0 1 2 0 1 2 0 0.2 0.8 0.6 0.3 0.1 試評(píng)定他們的成績好壞。 解: 即，意味著甲乙進(jìn)行很多次射擊后，甲的平均成績接近1.8，乙接近 0.5，故甲遠(yuǎn)比乙的成績好。定理: 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，Y=g(X), (1) 若X為離散隨機(jī)變量，且 若 絕對(duì)收斂，則有 (2) 若X為連續(xù)隨機(jī)變量，且 f(x)。若 絕對(duì)收斂，則有 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì): 1. 設(shè)c為常

11、數(shù)，則有 E(c)=c； 2. 設(shè)X是一隨機(jī)變量，c為常數(shù)，則有 E(c X)=c E(X)； 3. 設(shè)X，Y是任意二個(gè)隨機(jī)變量，則有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 4. 設(shè)X,Y是二個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 E(XY)=E(X)E(Y)。證: 設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為 則有：(二) 隨機(jī)變量的方差作用：描述隨機(jī)變量與其均值的偏離程度。 由于 計(jì)算不方便。故使用定義: 設(shè)X為一隨機(jī)變量，若 存在， 則稱 為X的方差。記為， 另將 稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。方差的計(jì)算：1. 離散型: 其中， ；2. 連續(xù)型: 其中， 為X 的概率密度。 方差的性質(zhì)1. 設(shè)c為常數(shù)，則 ；2. 設(shè)X為隨機(jī)變

12、量，c為常數(shù)，則 ；3. 設(shè)X，Y為兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 ；4. Var(X)=0的充要條件為X依概率1取常數(shù)c，即契比雪夫不等式定理：設(shè)隨機(jī)變量 X 具有 ，則對(duì)于 ，不等式 成立。 證: 設(shè)X的概率密度為f(x) 同理，有契比雪夫不等式的作用：不等式可在隨機(jī)變量X分布未知的情況下對(duì)事件 ，即X偏離均值的概率，給出一個(gè)統(tǒng)計(jì)估計(jì)。例:分別取： 。由不等式可得： (三) 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對(duì)二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了了解其數(shù)學(xué)期望與方差外,它們二者之間的關(guān)系也是必須考慮的問題。 例，若X與Y相互獨(dú)立，則 。 但若 ，則說明X與Y不是相互獨(dú)立的，但二者的關(guān)系究竟如何? 定義: 量 稱為隨機(jī)變量X

13、 與Y的互協(xié)方差，記為Cov(X,Y)。而 (無量綱) 則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。協(xié)方差的性質(zhì)兩個(gè)重要定理定理一: 隨機(jī)變量V，W，若 ， 則 成立。 上式稱為柯西-許瓦茲不等式。證：令t 為實(shí)變量，則 定理二: 設(shè) 為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)，則有:當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)Cov(X,Y)=0，即 。故 當(dāng) 時(shí)，稱X和Y不相關(guān)。 因此可知：若X和Y相互獨(dú)立，則他們必定不相關(guān)。 即相互獨(dú)立不相關(guān)。但反之，則不一定成立。 只有當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時(shí)， 相互獨(dú)立不相關(guān) f(x,y)= f(x) f(y) X，Y相互獨(dú)立； E(XY)=E(X)E(Y) X，Y互不相關(guān)； E(XY)=0

14、X，Y正交。（四） 矩、協(xié)方差矩陣 定義：設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若 存在， 則稱 為X的 k 階原點(diǎn)矩。若 存在，則稱其為X的 k 階中心矩。若 存在，則稱其為X和Y的 k+l 階混合矩。若 存在，則稱其為X和Y的 k+l 階中心混合矩。二維隨機(jī)變量，其二階中心矩為 ； ；若將其排成矩陣形式 ，則稱該矩陣為 的協(xié)方差矩陣，因?yàn)?，故協(xié)方差矩陣為對(duì)稱陣。n維情況：設(shè) 的二階中心矩 ， 都存在，則稱 為n維隨機(jī)變量的協(xié) 方差矩陣。因?yàn)?，故C為對(duì)稱陣。10 特征函數(shù)定義: 隨機(jī)變量X的特征函數(shù)定義為二維情況:性質(zhì): 補(bǔ)充： 。 設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量故，即 的分布為：同理可求， 的分布 推論:

15、10 大數(shù)定律和中心極限定律(一) 大數(shù)定律問題：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸趨于某常數(shù)。大量測(cè)量值的算術(shù)平均值，隨測(cè)量次數(shù)的增加是否也具有穩(wěn)定性？定理1 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn，.相互獨(dú)立，且具有相同的 和 ，k1, 2, 則 有物理意義：具有相同 和 ，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1, X2, ,Xn, ., 其算術(shù)平均值 構(gòu)成的隨機(jī)變量Y1, Y2, , Yn, 依概率1收斂于 。證: 令 故， 由契比雪夫不等式 可知 。# 定理 2 設(shè) 是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A中發(fā)生的次數(shù)，p是A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則 有物理意義：事件發(fā)生的頻率 依概率1收斂于事件 的概率p。同理：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)

16、很大時(shí)，可用事件發(fā)生的頻率代替事 件的概率。證：設(shè)隨機(jī)變量 故有:由于 只依賴于第 k次試驗(yàn)，且各次試驗(yàn)是獨(dú)立的，所以X1, X2, , Xn是相互獨(dú)立的；由設(shè)可知 具有(0-1)分布。即由定理1，有 # (二)中心極限定理問題: 實(shí)際中，有這樣一種隨機(jī)事件，它是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的總體影響形成的，且其中每一個(gè)個(gè)別因素對(duì)總體影響的作用都是微小的，這種隨機(jī)事件所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)?定理3. ( 同分布的中心極限定理 ）設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, , Xn, 相互獨(dú)立，服從同一分布，且 ，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 滿足 定理4:定理5: 證：由所設(shè)條件可知： ， 因此可將 看成是由n個(gè)相互獨(dú)立，且服從同一(0-1)分布 的隨機(jī)變量 之和，即 其中，Xk 的概率質(zhì)量函數(shù)為 由此可得：故由定理3，可知：于是對(duì)于任意區(qū)間（a，b 有 # 例1 .一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓V，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布，記為： ，求 PV10