1、流體力學的應力和變形速度之間的關系2022/8/15Donghua University2一、切應力與角應變速度的關系 本構方程本構方程是確立應力和應變率之間關系的方程式。斯托克斯通過將牛頓內摩擦定律推廣到了粘性流體的任意流動中，建立了牛頓流體的本構方程： 上式也稱為廣義牛頓摩擦定律 應力和變形速度之間的關系2022/8/15Donghua University3如果流體是在有勢的質量力作用下，流場是正壓性的，則： 此時存在一壓強函數: （718） 將壓強函數對坐標的偏導數有: 將上述關系代入式（7-16），得: （7-19） 寫成矢量形關系式 （7-20） 理想正壓性流體在有勢的質量力作用下

2、的運動微分關系2022/8/15Donghua University4 當理想正壓性流體在有勢的質量力作用下作定常無旋流動時，式（7-19）右端為零。若在流場中任取一有向微元線段 ，其在三個坐標軸的投影分別為dx、dy、dz，將它們分別依次乘式（7-19）并相加，得: 上式為歐拉積分的結果，表明理想正壓性流體在有勢的質量力作用下作定常無旋流動時，單位質量流體的總機械能在流場中保持不變。 積分 （7-21） 2022/8/15Donghua University5 當理想正壓性流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動時，式（7-19）右端第一項等于零。由流線的特性知，此時流線與跡線重合，在流場中沿

3、流線取一有向微元線段 ，其在三個坐標軸上的投影分別為dx=vxdt，dy=vydt，dz=vzdt，將它們的左、右端分別依次乘式（7-19）的左、右端，相加有 積分有 （7-22） 該積分為伯努里積分。表明理想正壓性流體在有勢的質量力作用下作定常有旋流動時，單位質量流體的總機械能沿流線保持不變。通常沿不同流線積分常數值有所不同。 2022/8/15Donghua University6法向應力和線變形速度的關系2022/8/15Donghua University7作用在微元體上的表面力 微元體表面應力分析2022/8/15Donghua University8作用于微元體個面上的Y、Z軸方向

4、的應力 同理，表面力在y方向的分量為：表面力在z方向的分量為： 2022/8/15Donghua University9作用在微元體上的表面力 如果用 , 和 表示單位體積的表面力，則： （ 88） 2022/8/15Donghua University10作用在微元體上的表面力 將上式推導變形則得： 這就是微分形式的運動方程。 2022/8/15Donghua University11由上節公式，可推導出： （ 811） 上式稱納維斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流體運動微分方程的又一種形式。2022/8/15Donghua University12 并考慮到拉普拉斯算子： 不可壓縮粘性流體的運動方程還可寫為： （813） 2022/8/15Donghua University13如果質量力只有重力作用，用 代表重力加速度，不可壓縮粘性流體的運動方程的矢量形式為： (8-14)2022/8/15