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1、能級與波函數 能級與波函數 考慮波函數標準條件:單值,有界,連續 要求波函數在阱內外要連續。所以現在因而，有兩種情形的解： 所以，（1）A和B不能同時為零,否則波函數為零是一個真空解. (2) 所以，兩種情況可合并n=1,2,3,.二者合起來可寫為：波函數的歸一化是：所以，（與n無關）最后得到能級和波函數是： 考慮對應 m = 2 n對應 m = 2n+1綜合 I 、II 結果，最后得：合并為：例：設粒子處于無限深方勢阱中，粒子波函數為 ，A為歸一化常數。(a) 求A；(b)求測得粒子處于能量本征態 的概率Pn,特別是P1 。 解: (a) 根據歸一化條件(b) 用 展開, -a 0 a1 -

2、a 0 a|1|2 -a 0 a2 -a 0 a|2|2 -a 0 a3 -a 0 a|3 |2一維無限深勢阱的能量本征函數和粒子位置概率密度分布除端點（x=-a , a）外，基態波函數無節點，第一激發態有一個節點，第二激發態有二個節點，第n激發態（量子數等于n+1）有n個節點.節點定理對于一維束縛態而言,在基本區域內(不算邊界點)基態無節點(即波函數的零點),第n激發態有n個節點解: 無零點,也即沒有節點,它對應的 是基態,因而能量最低。而 在一定條件下有兩個節點：例 今有兩個波函數都對應于能量本征態,則它們對應的能級哪個高?是否相鄰能級? 由于 為能量本征態，有兩個節點，故 描寫的是第二激發態， 描寫的態不是相鄰能級的態，它們之間還有一個能量本征態，具有一個節點。3) 不難驗證，波函數在全空間連續，但一階導數在x= -a, a處不連續4) 波函數的宇稱本征函數所具有的這種確定的宇稱是由勢能對原點的對稱性決定的 5) 即波函數是實函數。6）可以證明：（課后練習）克朗內克（L. Kronecker） 函數波函數的正交性總結. 定態薛定諤方程的解:在勢阱內，薛定諤方程為: 顯然E0，

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