1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 高階線性微分方程解的結構 第七節二、線性齊次方程解的結構 三、線性非齊次方程解的結構 *四、常數變易法 一、二階線性微分方程舉例 第十二章 第1頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院一、二階線性微分方程舉例 當重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態, 例1. 質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設時刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動情況.彈性恢復力物體所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反

2、.建立位移滿足的微分方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院據牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2) 強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則得強迫振動方程:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院求電容器兩兩極板間電壓 例2. 聯組成的電路, 其中R , L , C 為常數 ,所滿足的微分方程 .提示: 設電路中電流為 i(t),上的電量為 q(t) ,自感電動勢為由電學知根據回路電壓定律:設有一個電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串極板機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在

3、閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0第4頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院串聯電路的振蕩方程:如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 則得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 化為關于的方程:故有 第5頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院n 階線性微分方程的一般形式為方程的共性 為二階線性微分方程. 例1例2 可歸結為同一形式:時, 稱為非齊次方程 ; 時, 稱為齊次方程.復習: 一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院證畢二、線性齊次方程解的結構是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方

4、程的解.證:代入方程左邊, 得(疊加原理) 定理1.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第7頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解 并不是通解但是則為解決通解的判別問題, 下面引入函數的線性相關與 線性無關概念. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院定義:是定義在區間 I 上的 n 個函數,使得則稱這 n個函數在 I 上線性相關, 否則稱為線性無關.例如， 在( , )上都有故它們在任何區間 I 上都線性相關;又如，若在某區間 I 上則根據二次多項式至多只有兩個零點

5、,必需全為 0 ,可見在任何區間 I 上都 線性無關.若存在不全為 0 的常數機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院兩個函數在區間 I 上線性相關與線性無關的充要條件:線性相關存在不全為 0 的使( 無妨設線性無關常數思考:中有一個恒為 0, 則必線性相關(證明略)線性無關機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第10頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院定理 2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解, 則數) 是該方程的通解.例如, 方程有特解且常數,故方程的通解為(自證) 推論. 是 n 階齊次方程 的 n 個線性無關解, 則方程的通解為機動 目

6、錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院三、線性非齊次方程解的結構 是二階非齊次方程的一個特解, Y (x) 是相應齊次方程的通解,定理 3.則是非齊次方程的通解 .證: 將代入方程左端, 得復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院是非齊次方程的解,又Y 中含有兩個獨立任意常數,例如, 方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而 也是通解 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第13頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院定理 4.分別是方程的特解,是方程的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3

7、, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院定理 5.是對應齊次方程的 n 個線性無關特解, 給定 n 階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第15頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院常數, 則該方程的通解是 ( ).設線性無關函數都是二階非齊次線性方程的解, 是任意例3.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關 . (反證法可證)(89 考研 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第16頁，共24頁。8/4/2022阜師

8、院數科院例4. 已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解 .解:是對應齊次方程的解,且常數因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第17頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院*四、常數變易法復習: 常數變易法: 對應齊次方程的通解: 設非齊次方程的解為 代入原方程確定 對二階非齊次方程 情形1. 已知對應齊次方程通解: 設的解為 由于有兩個待定函數, 所以要建立兩個方程:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院令于是將以上結果代入方程 : 得故, 的系數行列式是對應齊次方程的解P10 目錄

9、上頁 下頁 返回 結束 第19頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院積分得: 代入 即得非齊次方程的通解: 于是得 說明: 將的解設為 只有一個必須滿足的條件即方程, 因此必需再附加一 個條件, 方程的引入是為了簡化計算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第20頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院情形2.僅知的齊次方程的一個非零特解 代入 化簡得設其通解為 積分得(一階線性方程)由此得原方程的通解: 代入 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第21頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院例5.的通解為 的通解.解: 將所給方程化為:已知齊次方程求利用,建立方程組: 積分得故所求通解為, 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁，共24頁。8/4/2022阜師院數科院例6.的通解.解:對應齊次方程為由觀察可知它有特解:令代入非齊次方程后化簡得此題不需再作變換.特征根:設的特解為于是得的通解: 故原方程通解為