1、2021-2022學(xué)年福建省三明市高一下學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1平面平面，則直線和的位置關(guān)系（）A平行B平行或異面C平行或相交D平行或相交或異面B利用平面平面，可得平面與平面沒有公共點，根據(jù)，可得直線，沒有公共點，即可得到結(jié)論【詳解】平面平面，平面與平面沒有公共點，直線，沒有公共點直線，的位置關(guān)系是平行或異面，故選：B.2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A1BCDB【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)模的運算即可求解.【詳解】解析因為，所以，.故選：B3下列命題中，正確的是（）A三點確定一個平面B垂直于同一直線的兩條直線平行C若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則D若a、b、c是三條直線，且與c都相交，

2、則直線a、b、c在同一平面上D【分析】利用空間點、線、面位置關(guān)系直接判斷.【詳解】A.不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；B.由墻角模型，顯然B錯誤；C.根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不一定垂直，故C錯誤；D.因為，所以確定唯一一個平面，又與都相交，故直線共面，故D正確；故選：D.4甲、乙兩個氣象站同時作氣象預(yù)報，如果甲站、乙站預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為和，那么在一次預(yù)報中兩站恰有一次準(zhǔn)確預(yù)報的概率為（）ABCDD利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式運算即可得解.【詳解】因為甲、乙兩個氣象站同時

3、作氣象預(yù)報，甲站、乙站預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為和，所以在一次預(yù)報中兩站恰有一次準(zhǔn)確預(yù)報的概率為：.故選：D5已知三棱錐的高為1，底面為等邊三角形，且P，A，B，C都在體積為的球O的表面上，則該三棱錐的底面的邊長為（）ABC3DC【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，畫出圖形，設(shè)點為的外心，則平面求解通過求解三角形推出即可【詳解】設(shè)球的半徑為，由球的體積為可得，解得因為三棱錐的高為1，所以球心在三棱錐外如圖，設(shè)點為的外心，則平面在中，由，且，得因為為等邊三角形，所以，所以故選：6新冠肺炎疫情的發(fā)生，我國的三大產(chǎn)業(yè)均受到不同程度的影響，其中第三產(chǎn)業(yè)中的各個行業(yè)都面臨著很大的營收壓力.2020年7月國家統(tǒng)

4、計局發(fā)布了我國上半年國內(nèi)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，如圖所示：圖1為國內(nèi)三大產(chǎn)業(yè)比重，圖2為第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重.以下關(guān)于我國上半年經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值與第三產(chǎn)業(yè)中“租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平B第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值超過第三產(chǎn)業(yè)中“房地產(chǎn)業(yè)”的生產(chǎn)總值C若“住宿餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，則“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為32500億元D若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，則第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為億元D【分析】利用扇形統(tǒng)計圖和第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】對于A，57%6%=3.42%6%，錯誤； 對于C，（億），錯誤；對于D，根據(jù)題意，第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為億元，正確.故

5、選：D.7在銳角中，角，的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（）ABCDD【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍【詳解】解：中，由余弦定理得，且的面積為，由，得，化簡得；又，所以，化簡得，解得或（不合題意，舍去）；因為所以，所以，由，且，解得，所以，所以，所以；設(shè)，其中，所以，又，所以時，取得最大值為，時，時，且，所以，即的取值范圍是故選：8已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，滿足，為球O的直徑且，則點P到底面的距離為（）ABCDD【分析】球心O是的中點，球半徑，取AB的中點D，可知，求得,利用勾股定理證得，利用線面垂直的判定

6、定理證得平面，進(jìn)而求得點P到底面的距離【詳解】三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，為球O的直徑且，球心O是的中點，球半徑，取AB的中點D，連接OD，OB，則，且滿足，又，平面，平面所以點P到底面的距離為,故選：D.關(guān)鍵點點睛：本題考查點到平面的距離的求法，關(guān)鍵是分析出球心O到平面ABC的距離，利用線面垂直的判定定理證得平面，求出OD即可求出點到底面的距離.二、多選題9某市12月17日至21日期間空氣質(zhì)量呈現(xiàn)重度及以上污染水平,經(jīng)市政府批準(zhǔn),該市啟動了空氣重污染紅色預(yù)警,期間實行機(jī)動車“單雙號”限行等措施.某報社會調(diào)查中心聯(lián)合問卷網(wǎng),對2400人進(jìn)行問卷調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如下餅圖則下列結(jié)論正

7、確的是（）A“不支持”部分所占的比例大約是整體的;B“一般”部分所占的人數(shù)估計是800人;C餅圖中如果圓的半徑為2,則“非常支持”部分扇形的面積是;D“支持”部分所占的人數(shù)估計是1100人ACD根據(jù)支持是，約占總體的一半，所以圓的面積是，依次進(jìn)行判斷即可。【詳解】A選項：“不支持”部分所占，所以比例大約是整體的，正確。B選項：“一般”部分所占比例為，所以占的人數(shù)估計是人，不正確；C選項：“非常支持”部分占比例，所以面積是，正確； D選項：“支持”部分所占比例，共有，正確.故選：ACD此題考查餅圖在實際問題的應(yīng)用，注意各部分所占比重，屬于簡單題目。10在中,內(nèi)角的對邊分別為若,則角的大小是ABC

8、DBD由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.【詳解】由正弦定理可得, ,而, , ,故或.故選:BD.本題考查了根據(jù)正弦定理求解三角形內(nèi)角,解題關(guān)鍵是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判斷,考查了分析能力和計算能力,屬于中等題.11如圖，已知正方體，分別為和的中點，則下列四種說法中正確的是（）ABC與所成的角為D與為異面直線BCD【分析】由異面直線定義可知AD正誤；證得平面后，利用線面垂直性質(zhì)可知B正確；由可知所求角為，由長度關(guān)系可得，知C正確.【詳解】對于A，平面，平面，與是異面直線，A錯誤；對于B，平面，平面，又平面，B正確；對于C，即為異面直線與所成的角，為等邊三角形，C正確；對于

9、D，平面，平面，與為異面直線，D正確.故選：BCD.12已知正方體的棱長為1，E為線段的中點，其中，則下列選項正確的是（）A時，B時，的最小值為C時，三棱錐的體積為定值D時，直線與面的交點軌跡長度為ABC【分析】取為的中點，當(dāng)時，得到點在線段上運動，證得和，證得平面，可判定A正確；取得，連接，得到當(dāng)時，得到點在上運動，沿將平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，可判定B正確；取的中點，當(dāng)時，得到點在線段上運動，結(jié)合，可判定C正確；連接，交于點和點，當(dāng)時，得到點在線段上運動，證得平面，得到平面平面，求得的長度，可判定D不正確.【詳解】由題意，正方體的棱長為1，E為線段的中點，且，其中，對于A中，取分別為的中點，當(dāng)

10、時，可得點在線段上運動，如圖（1）所示，在正方形中，因為的中點，可得，又由平面，平面，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以，所以A正確.對于B中，在上分別取點和點，使得，連接，當(dāng)當(dāng)時，可得點在線段上運動，在直角中，可得，如圖（2）所示，沿將平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，得到平面， 連接，則，即的最小值為，所以B正確.對于C中，如圖（3）所示，取的中點，分別連接，當(dāng)時，可得點在線段上運動，由且平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，又由的面積為定值，所以（定值），所以C正確.對于D中，如圖（4）所示，連接，交于點和點，當(dāng)時，可得點在線段上運動，因為且平面，所以平面，又因為平面平面

11、，所以，由與相似，且相似比為，所以，即直線與面的交點軌跡長度為，所以D不正確.綜上可得，選項正確的是ABC.故ABC.三、填空題13張衡（78年139年）是中國東漢時期杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、發(fā)明家、地理學(xué)家、文學(xué)家，他的數(shù)學(xué)著作有算罔論.張衡給立方體定名為質(zhì)，給球體定名為渾.他研究過球的外切立方體體積和內(nèi)接立方體體積，研究過球的體積，其中還定圓周率值為10的開平方，直到五百多年后，印度和阿拉伯的數(shù)學(xué)家才得出這個數(shù)值.現(xiàn)有棱長為的正方體，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的內(nèi)切球的體積為_.3600設(shè)正方體的棱長為a，內(nèi)切球的半徑為r，由a=2r，求得半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)正方體的棱

12、長為a，內(nèi)切球的半徑為r，則a=2r，因為a=，所以，又，所以球的體積為，故360014已知，、的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為_【分析】直接按照投影的概念進(jìn)行計算即可.【詳解】由已知得，在方向上的數(shù)量投影為 因為，、的夾角為，所以所以在方向上的數(shù)量投影為故215若，且，則_.400【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化，可求得，同理轉(zhuǎn)化即可求值.【詳解】，又，而，則.故16四面體中，且異面直線和所成的角為，若四面體的外接球半徑為，則四面體的體積的最大值為_.過B作，由題設(shè)知四邊形為矩形且面，根據(jù)外接圓圓心與四面體外接球球心以及的關(guān)系即可求外接圓半徑，利用余弦定理求，并得到()，而四面體的體積，結(jié)合基本不等式即可求

13、體積最大值.【詳解】四面體中，異面直線和所成的角為，可得如下示意圖：過B點作且，連接， 則有且面，如下圖，若為外接圓圓心，則可找到外接球圓心，為BC的中點，即，外接球半徑為，四邊形為矩形，在平面中有，可得，令，則四面體的體積，而由余弦定理知：，即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故答案為.思路點睛：1、由已知線線垂直關(guān)系，可知線面垂直：面，以及面面垂直：面面；2、由上述垂直關(guān)系，結(jié)合外接圓圓心，即可根據(jù)在四面體外接球半徑求得外接圓半徑；3、在中利用余弦定理得到，以及另兩邊a，b與的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用體積公式用a，b表示四面體的體積，結(jié)合基本不等式求最值.四、解答題17已知復(fù)數(shù)，求【分析】化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)

14、的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，因此，.182020年“雙十一”購物節(jié)之后，某網(wǎng)站對購物超過1000元的20000名購物者進(jìn)行年齡調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表：分組編號年齡分組購物人數(shù)15500245003430005（1）從這20000名購物者中隨機(jī)抽取1人，求該購物者的年齡不低于50歲的概率；（2）從年齡在的購物者中用分層抽樣的方法抽取7人進(jìn)一步做調(diào)查問卷，再從這7人中隨機(jī)抽取2人中獎，求中獎的2人中年齡在，內(nèi)各有一人的概率.（1）；（2）.（1）根據(jù)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)確定的值，進(jìn)而求得購物者的年齡不低于50歲的概率；（2）年齡在的購物者中用分層抽樣的方法抽取7人，則年齡在的應(yīng)抽取4人，年齡在的

15、應(yīng)抽取3人，利用古典概型，確定中獎的2人中年齡在，內(nèi)各有一人的概率.【詳解】（1）因為參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為20000人，由表中數(shù)據(jù)可得，解得，所以從這20000名購物者中隨機(jī)抽取1人，該購物者的年齡不低于50歲的概率為.（2）由（1）知，這20000名購物者中，年齡在的有3000人，年齡在的有4000人，從年齡在的購物者中用分層抽樣的方法抽取7人，則年齡在的應(yīng)抽取4人，用，表示，年齡在的應(yīng)抽取3人，用，表示.在這7人中隨機(jī)取出2人中獎的所有可能情況有：，共21種情況，其中中獎的2人中在，內(nèi)各有一人有：，共12種情況，所以所求的概率為.有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包

16、含的基本事件數(shù)(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.19在銳角ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且(1)求角C的大小；(2)若，且ab3，求ABC的面積(1)60；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，進(jìn)而可求得，即可解出C；（2）由余弦定理可得ab1，結(jié)合三角形面積公式代入計算即可.【詳解】(1)因為，所以由正弦定理得，因為，則，又因為C是銳角，故.(2)由余弦定理，得，所以，又因為ab3，所以ab1，則20的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c已知（1）求角C的

17、大小；（2）若，求的值(1) ；(2)【分析】(1)將等式化簡，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；(2)利用正弦定理求出，再根據(jù)，可知，進(jìn)而可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求出，再利用兩角差的余弦公式可求得答案.【詳解】(1)由化簡， 得，由正弦定理，得，由余弦定理得，又，所以.(2)因為，所以由正弦定理，得，因為，所以，所以，所以所以易錯點睛：本題在利用同角三角函數(shù)求時，需要注意利用大邊對大角確定角的范圍.21如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，E是的中點，且(1)證明：平面(2)若，且，求四棱錐的體積(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）因為是菱形，則，設(shè)與交于點，再證即可證明結(jié)論；（2）可證明，根據(jù)勾股定理可得的邊長，結(jié)合錐體體積公式即可求解【詳解】(1)設(shè)與交于點，因為是菱形，則又因為，則，且平面，平面