1、專題11 數列解答題 1（2021重慶八中高三月考）已知是等差數列的前項和，若， .（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的首項為，公差為，由題意得：即.（2）由（1）知，.2（2021山東省淄博實驗中學高三月考）已知數列滿足，設.（1）證明：為等差數列；（2）求數列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1），為等差數列；（2），得：，3（2021山東濟南市歷城二中高三月考）已知首項為的數列的前項和為，且（1）求證：數列為等差數列；（2）記數列的前項和為，求【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）依題意，則，兩

2、邊都加1可得，故，則，故數列是首項為，公差為的等差數列；（2）由（1）可知，故，則，故.4（2021河北滄州高三月考）設為數列的前項和，已知.（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前項和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因為數列的前項和，且，則當時，又，滿足上式，于是得，所以的通項公式為；(2)由(1)知，顯然，而，因此，數列是以為首項，為公比的等比數列，則有，所以數列的前項和.5（2021河北石家莊實驗中學高三質檢）已知數列的前項和為，且對任意正整數，成立（1），求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中令得因為對任意正整數，成立，所以，兩式相減

3、得，所以，又，所以為等比數列，所以，所以（2）當為偶數時，當為奇數時，所以6（2021河北武強中學高三月考）已知數列中，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足：，求的前n項和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，所以數列是首項為1，公差為3的等差數列，所以，所以；（2），前n項和，兩式相減可得，所以7（2021湖北黃石高三月考）已知數列前n項和為，若，且成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1），當時，.又，成等比數列.，或.又，.（2），.8（2021湖南湘潭高三一模）已知為數列的前項和，且，(，為常數)

4、，若，求：(1)數列的通項公式；(2)的最值【答案】(1)或；(2)當時，的最小值為3，無最大值；當時，的最大值為12，無最小值【解析】(1)在數列中，(，為常數)，則數列是等差數列，公差為，由得：，又，即，于是有，或，由得：，此時，由得：，此時，所以數列的通項公式是或；(2)當時，顯然是關于正整數的增函數，所以為的最小值，無最大值；當時，而為正整數，則當或時，有最大值，無最小值，所以是的最大值，無最小值.9（2021湖南長郡中學高三月考）已知在數列中，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】，左右兩邊同時相加得，=，當時也符合上式，所以（2）由得所以，=

5、 =10（2021江蘇海安高級中學高三期中）已知數列an的前n項和Sn，滿足Snn(n6)，數列bn滿足b23，bn13bn(nN*)（1）求數列an，bn的通項公式；（2）記數列cn滿足cn求數列cn的前n項和Tn.【答案】（1） an2n7，bn3n1；（2） 【解析】（1）當n1時，a1S15，當n 2時，anSnSn1n26n(n1)26(n1)2n7，n1也適合上式，an2n7bn13bn(nN*)，且b20，3，bn為等比數列，bn3n1，（2）由（1）得，cn當n為偶數時，Tnc1c2cn.當n為奇數時，Tnc1c2cn.綜上所述：Tn11（2021江蘇蘇州高三月考）分形幾何號稱

6、“大自然的幾何”，是研究和處理自然與工程中不規則圖形的強有力的理論工具，其應用已涉及自然科學社會科學美學等眾多領域.圖1展示了“科赫雪花曲線”的分形過程.其生成方法是：（i）將正三角形（圖）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖；（ii）將圖的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖；（）再按上述方法繼續做下去，就得到了“科赫雪花曲線”.設圖的等邊三角形的邊長為1，并且分別將圖中的圖形依次記作請解決如下問題：（1）設中的邊數為，中每條邊的長度為，寫出數列和的遞推公式與通項公式；（2）設的周長為，求數列的通項公式.【答案】（1）且，且，；（2）.【解析】

7、（1）由題意，可得數列的遞推關系為且，所以數列構成首項為，公比為4的等比數列，所以;又由每個圖形的邊長都相等，且長度變為原來的，所以邊長滿足遞推關系式且，即數列構成首項為1，公比為的等比數列，所以;（2）由周長等于邊長乘以邊數可得，所以數列構成首項為3，公比為的等比數列，12（2021江蘇省前黃高級中學高三月考）已知正項等差數列中，且成等比數列，數列的前項和為，（1）求數列和的通項公式；（2）若，求數列的前項和的取值范圍【答案】（1），；（2）.【解析】（1）設正項等差數列的公差為d，則， ，且成等比數列，解得，由得，即是等比數列，又，；（2） ，.13（2021廣東珠海高三月考）已知數列為等

8、差數列，且，數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）求【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為數列是等差數列，（2），數列的下標為偶數的項為以為首項，為末項，項數為的等差數列；下標為奇數的項為以4為首項，公比為64的等比數列，項數為n；14（2021廣東深圳市七中高三月考）已知等比數列中，且是和的等差中項.等差數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設數列的公比為，數列的公差為，由題意可得：，即，聯立，可得，則數列的通項公式為；由題意可得：，即，則數列的通項公式為.（2）則15（2021廣東廣雅中學高三月考）已知數列的前n項和為，滿足.（1

9、）證明數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前n項和.【答案】（1）證明見解析，； （2）.【解析】（1）因為，可得，即，可得，即，又由，可得，所以數列表示首項為，公差為的等差數列，所以，所以.（2）由，則數列的前n項和： ，即.16（2021廣東茂名高三月考）已知等比數列的前項和（1）求的值；（2）若且，問取何值時，取得最小值，并求此最小值【答案】（1）；（2）或5時，取得最小值，最小值為【解析】（1）當時，（*）則當時，因為為等比數列，所以由（*）式可知，解得；（2）時，即，于是，所以或5時，取得最小值，最小值為17（2021福建上杭一中高三月考）公差為2的等差數列

10、中，成等比數列（1）求的通項公式；（2）若數列滿足：，求，的前20項和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，公差為2的等差數列中，成等比數列，所以，即，解得，故數列的通項公式（2）由數列滿足，所以，所以18（2021福建龍巖高三月考）等差數列中，（1）求的通項公式；（2） 設，求數列的前10項和，其中表示不超過的最大整數，如，【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設數列的公差為，因為，所以，解得，所以的通項公式為；（2）由（1）知：，所以當時，此時；當時，此時；當時，此時；當時，此時，所以數列的前10項和為.19（2021重慶西南大學附中高三月考）已知數列的前n項和為，且，(1)證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；(2)設，求數列前項和【答案】(1)證明見解析；(2) .【解析】(1)因為，所以，又因為，所以數列是以首項為，公比為的等比數列，從而，故.(2)由(1)中結論可知， ，所以 ，由得， 化簡整理得，所以，故，所以，故.20（2021遼寧實驗中學高三月考）已知等比數列的各項均為正數，成等差數列，且滿足，數列的前項