1、綜合試題解析與反思歐陽尚昭nn【題1】已知數列 Qn 滿足an 0,且對一切n w N *,有 a； = S；,其中Sn = a, .i 1i 12(1)求證：對一切nwN ，有an書一 an書=2Sn;(2)求數列 &的通項公式；n k求證：工會 0,an -4_ an1( n - 2),由工aiSn 可彳If ai1 ,a2 2i W由此可得 an由an =1(n 21) , an =n.n(3) Z1 n二,i1、 k=1 k3k 21(k -1)k(k 1)n=1 Jk=2?(k -1)(k 1) . (k 1) (k -1)n二1 、k=2.k 1 -、k -1.(k -1)(k 1

2、)又得到了數字n1 ；二是 Zk=21(k -1)k(k 1)nzk =22.(k -1)(k 1) (、k 1. k-1)2. (k -1)(k 1) ( A 1- k -1)n /11、-211、 c ,2 c二1 八(-)=1 (1)：二 2 :二 3.k =2. k -1. k 12、n n 12【反思】1.本題的第一問和第二問屬于常規基礎題，第三問采用的裂項法證明不等式，其n 1 n 1關鍵之處有兩個地方： 一是Z 1= 0時，對任意正整數 n都有f in!x2 .n,1【解析】(1) f(x)=e-* =f(x),，f(x)為R上的偶函數. (-x)21 TOC o 1-5 h z

3、 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document _ .1 _.1(2)當 x - 3_121(-10)2f(x)+0-f(x)極大值 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark108 o Current Document 1_2由表可知，當x= - 時，f(x)的極大值為4e .22 7一(3)當x0時，f(一)=xe ，考慮到x a 0時有： xf () n!x u x e n!x u x 0) , x a 0 時，g (x) = ex -1 0 ,，g (x)是增函數，故有 g(x) g(0) =1 a0n ex x(x 0)

4、,當n =1時，不等式都成立.(ii)假設n=k(kw N*)時，不等式都成立，即xk k!ex.當門=10),有 h(x) =(k+1)(k!exxk) 0,故 h(x) =(k+1)!ex xk7*(x0)為增函數，h(x) h(0) = (k+1)! 0即xk* (k +1)!ex.這就是說，n = k +1時不等式都成立.根據(i)、( ii)不等式對一切正整數n都成立.【反思】1 .如何運用數學歸納法證題，應該說對大多數學生都不陌生，然而，本題的數學歸納法卻是別有洞天，因為，它在“傳統”證法的基礎上，有多了一個條件xw(0,y)且x. 、 、 . . *在其定義域內不斷地變化，因而使

5、得本題的證明過程豐富多彩，因為在抓住nw N的證明時，我們看到，無論是證門=1還是門=卜+1時，都需要證g(x) a 0及h(x) a 0在xw (0,+g)上恒成立，于是聯想函數的單調性，進而利用導數這個有用的工具去解決所待證的問題；.要注意進行編織知識網絡，幫助同學掌握知識之間的聯系，同時要注意用數學思維方法帶動知識和技能的復習，使同學們經過系統復習， 能夠居高臨下，能夠把握知識之間的先后聯系，能夠做一道題目會一片，這樣能力上才有可能提高，才能發現解題規律.要避免題海戰術，老師要深入題海，精選例題，精選深入思想方法，深入基礎知識、數學營養比較高的 題目，給同學們認真的解剖挖掘，通過對一個題

6、目的審題，發現條件和結論之間的聯系，打 開解題思路，然后制定解題計劃，把題目有條有理的解答出來.解題之后，還要注意總結、 拓寬、延伸，努力做到以例積類，這樣的話，學生、老師做的題目不算太多，但是營養價值 高，思維價值高，學生收益大，就可以提高復習的效力，靠以精取勝，以學生能夠把握知識系統來取勝，把握解題規律來取勝，這樣學生通過復習，例題的知識網絡構建起來了，解題的規律總結出來了，就會變得比較聰明，就會變得比較智慧.2、.【題 3】已知函數 f (x) = ln(x -)一, g(x) = ln x.2 x(1)求函數f(x)的單調區間；1(2)如果關于x的萬程g(x) = -x+m有實數根，求

7、實數 m的取值集合；2(3)是否存在正數k ,使得關于x的方程f (x) = kg(x)有兩個不相等的實數根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在，說明理由.【解析】(1)函數f(x)的定義域為 _g,0)J(0產)又fx)=(x + 1)(x-3)I 2 J_2/ +3、，x (x 一)2,3， 一一 一由 f (x) A0= - x3;由 f(x)0= -1 x 0 或 0MxM 3.23因此f(x)的單倜增區間為(3，_1), (3,)；單調減區間為(_1,0),(0,3). TOC o 1-5 h z 1.1.1(2) . g(x)=_x+m= inx = _+mu m = inx x

8、,222 HYPERLINK l bookmark122 o Current Document 111.，實數m的取值范圍就是函數 甲(x) = inxx的值域.于是，邛(x)=,令(x) = 0, 2x 2得 x = 2 ,并且當 x A2 時，中(x) 0；當 0cx 0, x2 0 ,3、 一又由(1)知，當 x A0時，f(x)min = f (3) =in(3+ ) 0 ,2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 32-32f (x1) = in(x1 ) - 0 , f (x2) = in(x2 一) 0 ,

9、2x12x2再由 k 0可彳g g(x1) = in x1 0,g(x2) = in x2 A 0,二 x1A1,x2 a 1,由于 x1 x2, HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 3232in(x1 -) in(x2 )2x12x2.，不妨設 1cxi x2,由(*)、 ( * )可得： =,由比 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document in x1in x232in(x2 一) 一 - in x22x2in x2x2，由于inx是區間(1,十元)上的恒正增函32in(x1 一) - 一 1nxi例

10、的性質得：2x1in x1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 323in(x1/)7in(x227)即axxL:當_ HYPERLINK l bookmark51 o Current Document in x1in x2數，且 1 X1 X2 ,21,ln x2又由于ln 132+ i+-2x x是區間（1,十無）上的恒正減函數,一 3 ln(x1口2x1且1cxi 1 ，3、2 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document ln(x1) HYPERLINK l bookmark28 o Current Document ln x12x1x1 0, X2 0 ,在聯系到 k 0 ,2.本題的第（3）問也是常見的存在性問題，但處理起來卻顯得有些與平常不同，在這里,要注意以下幾點：細節問題：如由對數函數的定義域知進而彳#到x1A1, x2 1 ,又X1# x2 ,于是不妨設1cxix2 ；還有函數y = ln x及函數33、2八、一.、皿 、L_y=ln 1+ 十分別是區間（1,收）上的恒正增函數和恒正減函數等細節問題，這些細、2x； x節處理得好，對我們正確地解決問題將起到積極的作用；轉化問題：由比例性質將3ln(X1萬)ln