1、第2章 質點動力學2.1 牛頓運動定律及其應用2.2 慣性系 力學相對性原理2.3 功和能2.4 功能原理與機械能守恒定律2.5 動量定理與動量守恒定律質點動力學主要研究引起物體運動狀態變化的原因和由此引發的效果。2.1.1牛頓運動定律 任何物體都要保持其靜止或勻速直線運動狀態，直到外力迫使它改變運動狀態為止。注意：牛頓第一定律提出兩個力學基本概念：慣性和力1.牛頓第一定律 第一定律指出，任何物體都有保持其運動狀態不變的性質，這個性質叫做慣性（其大小用質量量度）。所以第一定律也成為慣性定律。 第一定律還表明，正是由于物體具有慣性，所以要使物體運動狀態發生變化，一定要有其它物體對它作用，這種作用

2、稱之為力。另一表述：自由物體的運動狀態永不改變2.1 牛頓運動定律及其應用2.牛頓第二定律： 理解：A.牛頓第二定律是實驗定律 B.給出了質量是慣性的量度以及力的量度 C.牛頓第二定律的瞬時性、矢量性、獨立性。 瞬時性：力和加速度同時存在，同時消失。 獨立性：每個力對物體產生的加速度，與是否存在別的力無關或：多個力對同一物體產生的加速度，等于每一個力單獨對物體產生的加速度的矢量和。 矢量性：牛頓第二定律滿足矢量的合成與分解。 直角坐標系：自然坐標系：3.牛頓第三運動定律：兩物體間的相互作用力總是等值反向，且在同一直線上。F12F21又稱為：作用力與反作用力定律2.1.2常見的幾種力1.萬有引力

3、、重力：質量為m1和m2的兩個質點相距為r，則這兩個質點之間存在相互吸引力，大小為： 稱為萬有引力由于萬有引力常數的數量級很小，所以一般物體間的萬有引力極其微弱其中稱為萬有引力常數例如，地球上相距一米的兩個人之間的引力不足所以地球表面物體主要是受地球的吸引力，也就是重力（）：所以重力加速度為：式中，分別是物體和地球的質量，為地球半徑2.彈性力： 當兩個物體相互接觸發生形變時，物體因形變而產生的恢復力稱為彈性力。 彈性力產生的先決條件是彈性形變，彈性力的大小取決于形變的程度。 彈性力的表現形式有很多種，常見的彈性力有： 彈簧被拉伸或壓縮時產生的彈簧彈性力； 繩索被拉緊時產生的張力； 重物放在支承

4、面上產生的正壓力（作用于支承面） 和支持力（作用于物體上）等均為彈性力。3.摩擦力： 兩個相互接觸的物體在沿接觸面有相對滑動時，或者有相對滑動的趨勢時，在接觸面之間會產生一對阻止相對運動的力，叫做摩擦力。 (1)相互接觸的兩個物體在外力作用下，有相對滑動的趨勢但尚未產生相對滑動，這時的摩擦力叫靜摩擦力。 靜摩擦力沿接觸面作用并與相對運動趨勢相反。 靜摩擦力的大小視外力大小而定，介于零和最大靜摩擦力之fS間，實驗證明，最大靜摩擦力正比于正壓力N，即 (2) 當外力超過最大靜摩擦力時，物體間產生相對滑動，這時的摩擦力叫做滑動摩擦力。 滑動摩擦力的方向總是與物體相對運動的方向相反，實驗證明，滑動摩擦

5、力也與正壓力N成正比，即*在相對速度不太大時，為計算簡單起見，可認為滑動摩擦系數略小于靜摩擦系數,在一般計算時，除非特別指明，可認為它們是相等的。 叫做靜摩擦系數，它與接觸面的材料和表面狀況有關。叫做滑動摩擦系數，它也與接觸面的材料和表面狀況有關，還與兩接觸物體的相對速度有關。2.1.3牛頓定律應用牛頓運動定律解決動力學問題一般可分為兩類：一類是已知運動求力，另一類是已知力求運動，即微分法和積分法的應用。這些式子既體現了力的疊加原理，也體現了運動的疊加原理。 式（2-2）是牛頓第二定律的矢量式。實際應用常用到分量式。如：或者：應用牛頓第二定律常用的分析方法與步驟：定對象 查受力 看運動 列方程

6、例2-1 一滑輪組如圖2-1，A為定滑輪，B為動滑輪，繩子不能伸長 ， 。滑輪組及繩的質量、軸的摩擦均可忽略。求：(1)重物的加速度;(2)繩中的張力 (3)定滑輪軸承的支反力圖2-1的受力如圖，設的加速度為， 繩子的張力為， 則的加速度為 對有：對有：解：解得：定滑輪軸承的支撐反力 例2-2 質量為m的小船在平靜的水面上以速度v0航行。以小船關閉發動機為計時起點，設水的阻力和小船的速度之間的關系是求： 1.發動機關閉后小船的速率與時間的關系以及小船的運行時間； 2.發動機關閉后小船的速率和通過的路程之間的關系, 以及小船到停止時行駛的全部路程； 3.在小船的速率減少到初速的1/n時間內的平均

7、速率。（其中r 是常量）解：（1）小船共受到三個力的作用：阻力、重力和浮力，重力和浮力為一對平衡力，不改變小船的運動狀態，故只有阻力對小船的運動狀態產生影響。分離變量并兩邊積分，注意兩邊積分的上下限對應，可得： 當v = 0時的時刻 即為航行時間實際上當t遠大于時，V趨于0。（2）由 此步驟為關鍵，因為求速率與路程的關系，所以讓式子中出現ds ，并消去dt分離變量，并兩邊積分，注意到 時，； 時，故得： v = 0時的S即為全部路程，則全部路程為： 因為（3）設時所經歷的時間為 t ，則有： 0t 時間內船行駛的路程： 解：對小球進行受力分析例2-3已知小球質量為 水對小球的浮力為B，水對小球

8、運動的粘滯阻力為 ，式中的 是與水的粘滯性、小球的半徑有關的常數，計算小球在水中豎直沉降的速度。取向下為正方向，由牛頓第二定律：設 時，小球初速度為零，此時加速度有最大值當小球速度 逐漸增加時，加速度逐漸減小，當 增加到足夠大時， 趨近于零此時 趨近于一個極限速度，稱為收尾速度，用 表示，令于是有對上式積分得小球沉降速度 隨 變化的函數關系分析：當 時， ；而當 時， 時，就可以認為 ，小球即以收尾速度勻速下降解： ，小球位于最低點，速率為 ，在時刻 ，小球位于 點輕繩與鉛直線成 此時小球受力為：重力 、繩拉力 ，根據牛頓第二定律有：法向加速度切向加速度例2-3 長為 的輕繩，一端系質量為 的

9、小球，另一端系于定點 ，開始時小球處于最低位置。若使小球獲得如圖所示的速度 ，小球將在鉛直平面內做圓周運動，求小球在任一位置時的速率及繩的張力。選取自然坐標系，過點 與速度同向的切線方向為 軸，過點 指向圓心的法線方向為 軸，則分量式為：由角速度定義 以及角速度與線速度之間關系 ，得到：于是得到：將上式積分代入初始條件： 小球在從最低點向上升的過程中，繩對小球的張力隨角度增大而減小， 到達最高點張力最小 小球在從最低點向下降的過程中，張力逐漸增大，到達最低點張力最大分析：小球速率與位置有關，在 之間，速率隨角度增大而減小； 在 之間速率隨角度增大而增大。做變速率圓周運動。例2-5 在半徑為R的

10、固定于桌面上的光滑半球面頂點A處放一質量為m的小物 體。物體由靜止開始沿球面滑下。如圖2-4（a）所示。求物體開始離開 球面的角位置圖2-4 物體在球面上下滑解：研究對象是質量為m的小 物體。取它下滑過程中， 在離開球面C處之前的任 意一個位置B，分析其受 力情況。 小物體可視為質點、 空氣 阻力忽略，球面光滑，沒 有摩擦。在B點它只受到 兩個力的作用： 重力mg和支承力N，它們的方向如圖2-4（b）所示。這兩個力的合力使它在AC圓弧上作變速圓周運動。根據牛頓第二運動定律在法向與切向的分量式得：可以列出法向、切向運動方程分別為 小物體離開球面時候，。則有 由于未知數多于方程數不可解，為此先設法

11、消去，由（2-13）得： 從而只剩下變量v、，分離變量并兩邊積分得：代入（2-12）得：簡化得：所以動力學兩類問題v(r求已知或及0t時的r0和v0F(va(v例如牛頓運動定律將質點運動規律進一步與力聯系起來，屬動力學問題。質點動力學中也有兩類基本問題已知求質量為 的質點運動學方程mr()tr所受合外力F()am第一類質量為 的m質點受力情況及初始條件質點的運動規律v()r等()tr,v()t或第二類求導2addtr2一般方法積分按具體情況分離變量求積mdtdvF(vmF(vdvtd0tv0v求得v(tv(ttd0tr0rdr續練習一已知平面上運動運動規律質點質量mXYyxBtAwsincos

12、twABw為常數練習一在三、常用的分析方法與步驟定對象 查受力 看運動 列方程四、隨堂練習xa2ddtx22ddt2()tAwsinAtwsinw2ya2ddt22ddt2()ytwcosBtww2BcosmxamAtwsinw2yFxFmamtww2yBcos求作用于質點的力F(r解法提要)xFFxyFij+(mw2twsinAi+twcosBjmw2(i+yj)mw2rrFF 恒與 r 反向勻角速橢圓運動XYOBAmwFFxi+結果圖示yFj)(mw2A+twcosBjtwsinixmw2(i+yj)mw2r隨堂練習二練習二mvX0已知停機時船速0，阻力kFrv問船還能走多遠？xddtmv

13、Frkvkddtxdmdvk得xdx0v0dvmk0止mkv0 x止x止v0v0Xxvmkv0 xv停機后船沿X正向運動，阻力與船速方向相反。關鍵是要找到船速 與位置 的關系，vx即從vv00 x從0時x止解法提要隨堂練習三需要將速度是時間的函數轉換成速度是坐標的函數去求解d ( 0. 5 v )2dxdvdtdxdtdvdxvdvdxd (2. 5 + 0. 5 v )2dx即()+v01255202d (2. 5 + 0. 5 v )2dx()+v01255202d (2. 5 + 0. 5 v )2dxx02510積分得x 102ln(2.5+0.5v2)2510179 (m)解法提要m

14、dvdt設 列車質量為FF總則總阻力dvdtFF單位質量受總阻力FF總()+v01255202mmt0v = 25 m/s ；關電門時x = 0，00v = 10 m/s 時x = ？，行進中的電氣列車，每千克受阻力 與車速 的關系為FFXXv已知FF()+v01255202N當車速達 25 m/s 時運行多遠，車速減至 10 m/s求關電門F練習三隨堂練習四xvddttdxvd0 xdx0Fm2tt20tdtx0F6mtt3ddtF由mv有tt0Fmddtvdvtt0Fmdt0dvt0Fmdtv0ttv0Fm2tt2解法提要0F0tFttt0Fm2t0 x6vtt0Fm2t0XX某電車啟動過程某電車啟動過程牽引力牽引力ttFFtt0F0Fm0Ft啟動時間及均為常數t0時vx00求v()txt(),練習四練習五：質量為m=10Kg，長l=40cm的鏈條，放在光滑的水平桌面上，其一端系一細繩，通過滑輪懸掛著質量為m1=10Kg的物體，開始時l1=l2=20cml3，速度為零。設繩不伸長，輪、