1、基本不等式一、教學設計理念：注重學生自主、合作、探究學習，用新課程理念打造新的教學模式二、教學設計思路：這節課的目標定位分為三個層面：第一層面：知識與技能層面，了解兩個正數的算術平均數和幾何平 均數的概念；要創設幾何和代數兩個方面的背景，從數形結合的高 度讓學生了解基本不等式；引導學生從不同角度去證明基本不等 式；用基本不等式來證明一些簡單不等式.第二層面：過程與方法，通過掌握公式的結構特點，適當運用公式的變形，能夠提高學生分析問題和解決問題的能力，加強學生的實踐能力，滲透數學的思想方法.第三層面：情感、態度與價值觀，通過具體問題的解決，讓學生去 感受日常生活中存在大量的不等關系，鼓勵學生用數

2、學觀點進行歸納，抽象，使學生感受到數學美，走進數學，培養學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維方式；通過問題的解決，激發學生探究精神和 科學態度，同時去感受數學的運用性，體會數學的奧妙，數學的簡潔美，激發學生學習數學的興趣.本節課我設計了五個環節：第一個環節：創設情境，引入新課. 我設計了兩個情境：一個是天平測量的問題，另一個是讓學生動手操作折紙試驗，從不同的角度體驗和理解基本不等式，讓學生能夠體會數學與生活緊密聯系，激發學生學習興趣，為后面學習作鋪墊.第二個環節：探究交流，發現規律. 我在問題的情境中，讓學生帶著不同的數據去比較幾何平均數和算術平均數的大小，并通過小組折紙試驗，通過這樣合作交流的

3、方式讓學生初步感受到幾何平均數和算術平均數之間的大小關系 .第三個環節：啟發引導、形成結論. 本節課的重要任務就是對基本不等式進行嚴格的證明，包括了比較法，綜合法和分析法，而學生對作差比較法是比較熟悉的，綜合法和分析法的過程要加強引導，并組織學生去探究這兩種方法之間的關系，并規范證明過程，為今后學習證明方法打下基礎.第四個環節：訓練小結，鞏固深化 . 學習基本不等式最終的目的體現在它的運用上，首先在例題選擇上，注重讓學生充分認識 和 間的關系，給出一般的結論，在練習中我選擇了題組形式，目的是與讓學生強化對基本不等式成立條件包括等號成立的條件.第五個環節：研究拓展，提高能力 . 我設計了一道關于

4、例題的變式題，目的是讓學生感受到，通過適當的變形將其化為例題中出現的形式，體現化歸的思想，最后設計三道思考題，兩道進一步鞏固化歸思想及應用基本不等式的條件，一道需要分類討論，讓學有余力的學生提供更好展示自己能力的機會，得到進一步提高 .最后我通過問題式的小結，讓學生自行歸納我們這節課當中學到的知識，特別是最后一問中，讓學生去總結在使用基本不等式的時候要注意哪些條件. 雖然我沒有點出“一正二定三相等”這樣的結論，但已潛移默化為我們下一節課使用基本不等式求最值問題作了鋪墊，起到承前啟后的作用 .三、本節課重點重點：應用數形結合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并從不同的角度探索不等式的證明過程

5、.難點：靈活使用化歸思想把問題轉化為運用基本不等式，以及基本不等式成立條件中包括等號成立的條件.在這一節中的主要任務就是讓學生從不同的角度去探索基本不等式的證明過程，包括它的成立條件，在這一節課中我的總體想法是通過互動，發現規律，直接猜想，指定驗證，得出結論，最后靈活運用這個結論來解決問題 .四、本節課亮點：積極引導學生自主探究問題，解決問題 .靈活運用轉化與化歸的思想實現課堂三大轉變： 變教學生學會知識為指導學生會學知識；變重視結論的記憶為重視學生獲取結論的體驗和感悟；變模仿式學習為探究式學習 .課堂小結采取問題式小結給學生留下滿口香.導入新課探究：上圖是在北京召開的第 24 屆國際數學家大

6、會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？ ?（教師用投影儀給出第 24 屆國際數學家大會的會標，并介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情） ?推進新課師 同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？ ?【三維目標】：一、知識與技能. 能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.進一步掌握用基本不等式求函數的最值問題；.審清題意，綜合

7、運用函數關系、不等式知識解決一些實際問題. 能綜合運用函數關系，不等式知識解決一些實際問題二、過程與方法本節課是基本不等式應用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數量關系進行求解這個中心。三、情感、態度與價值觀. 引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德。.進一步培養學生學習數學、應用數學的意識以及思維的創新性和深刻性【三維目標】：一、知識與技能. 探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并

8、掌握定理中的不等號”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解釋； 二、過程與方法.通過實例探究抽象基本不等式；.本節學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步 的理論依據，培養學生良好的數學品質三、情感、態度與價值觀.通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣.培養學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形結合的

9、想 象力、知識結構解讀.教材對基本不等式 的推導給出了三種證法，即作差法、分析法和綜合法，同時引導同 學們探討基本不等式的幾何解釋.基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式.應用基本不等式時一定要注 意其成立的條件.基本不等式的應用過程蘊涵了函數思想、方程思想、數形結合思想、分 類討論思想及化歸與轉化等數學思想.二、重點、難點解讀本節的重點內容是掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數；掌握兩個正數的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值”的結論.難點是正確理解和使用基本不等式求某些函數的最值或證明不等式.三、知識點精析.基本不等式的定義（詳見課本）基本不等式可表述為：兩個正

10、實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數.注意：不等式成立的條件是.基本不等式的幾何證明已知在 中，如右圖所示， 為斜邊 上的高，為的外接圓的圓心， 的延長線交 于點.，證明： .一、教學目標.知識與技能探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式.過程與方法通過對基本不等式的不同角度的探究，滲透數形結合及轉化的數學思想.3 .情感、態度與價值觀：通過本節學習，激發學生學習和應用數學知識的興趣，形成積極探索的學習風氣二、教學重點 用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程教學難點 對基本不等式 的探究三、教學資源 普通高中數學課程標準（實驗） 人教 A 版教材必修5中

11、學數學周刊 _第 10 期 百度四、教學方法與手段啟發學生探究，多媒體輔助教學五、教學過程（一）創設情境：如圖 1 是在北京召開的第24 屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表著中國人民的熱情好客你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？設計意圖：創設問題情境，為問題的引出做鋪墊（二）新知探究： 圖 1將風車抽象成圖 2設直角三角形的兩條邊長為 a、 b, 那么正方形 的邊長為 . 這樣 ,4 個直角三角形的面積和為 2ab, 正方形面積為. 由于 4 個直角三角形的面積和小于正方形ABCD的 面積，我們就得到了一個不等式當直角

12、三角形變為等腰直角三角形,圖2即時,正方形EFGH縮為一個點，這時有此時， a 、 b 代表正方形的邊長，顯然是正數，如果我們推廣到一般情況，對于任意的實數知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“那等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；2過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣【教學重點】應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；【教學難點】基本不等式 等號成立條件【教學過程】課題導入基本不等式 的幾何背景： 如圖是在北京召開的第 24 界國際數學家大會的

13、會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系講授新課1探究圖形中的不等關系將圖中的 “風車 ”抽象成如圖，在正方形ABCD 中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為 a,b 那么正方形的邊長為 。這樣， 4 個直角三角形的面積的和是2ab ，正方形的面積為 。由于 4 個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。當直角三角形變為等腰直角三角形，即 a=b 時，正方形EFGH 縮為一個點，這時有。2得到結論：一般的，

14、如果3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為當所以， ，即1 ）從幾何圖形的面積關系認識基本不等式特別的，如果a0,b0, 我們用分別代替 a 、 b ，可得 ，通常我們把上式寫作：2）從不等式的性質推導基本不等式用分析法證明：要證只要證要證（2 ），只要證要證（3 ），只要證(1)a+ba+b- 0( -)顯然，（ 4 ）是成立的。當且僅當 a=b 時，（4）4）中的等號成立。3）理解基本不等式 的幾何意義探究：課本第110 頁的基本不等式說課稿一、 教材分析1、本節課的地位、作用和意義基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書 （北京師范大學出版社出版） 必修 5 ，第

15、3 章第 3 節內容。學生在初中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節學習了比較大小、一元 二次不等式等，這些給本節課提供了堅實的基礎；基本不等式是后面基本不等 式與最大(小)值的基礎，在高中數學中有著比較重要的地位，在工業生產等 有比較廣的實際應用。2、本節課的教學重點和難點我通過解讀新課標和分析教材，認為：重點：通過對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重 要，但數學學習過程更重要，它有利于培養學生的數學思維和探究能力，所以 均值不等式的推導是本節課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應用， 需重點掌握，而掌握均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理

16、解，因 止匕，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。突出重點的方法：我將采用 用分組討論，多媒體展示、引導啟發法來突 出均值不等式的推導；用重復法(在課堂的每一環節，以各種方式進行強調均 值不等式和其成立的條件)，變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常 出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節課的難點。突破難點的方法：我將采用用重復法(在課堂的每一環節，以各種方式進 行強調均值不等式和其成立的條件)，變式教學等等來突破均值不等式成立的 條件這個難點。二、教學目標分析1、知識與技能目標(1)學會推導基本不等式：。(2)理解 的幾

17、何意義。(3)能3分鐘內寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準確率為95%2、過程方法與能力目標(1)探索并了解均值不等式的證明過程。(2)體會均值不等式的證明方法。3、情感、態度、價值觀目標(1)通過探索均值不等式的證明過程，培養探索、研究精神。(2)通過對均值不等式成立的條件的分析，養成嚴謹的科學態度，勇于 提出問題、分析問題的習慣。探究”基本不等式的證明(1)【三維目標】：一、知識與技能.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中 的不等號“那等號的條件是

18、：當且僅當這兩個數相等；.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解 釋；二、過程與方法.通過實例探究抽象基本不等式；.本節學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深 入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的 理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫 助學生分析每一步的理論依據，培養學生良好的數學品質三、情感、態度與價值觀.通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣.培養學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形 結合的想象力教教學重點與難點】：重

19、點：應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程;難點：理解基本不等式 等號成立條件及 當且僅當 時取等號”的數學內涵【學法與教學用具】：.學法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從 生活中實際問題還原出數學本質，可積極調動地學生的學習熱情。定理的證明要留給 學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案.教學用具：直角板、圓規、投影儀（多媒體教室）【授課類型】：新授課【課時安排】：1課時【教學思路】：一、創設情景，揭示課題.提問：與哪個大？.基本不等式 的幾何背景：如圖是在北京召開的第 24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家 趙

20、爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你 能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找 相等關系或不等關系）。二、研探新知重要不等式：一般地，對于任意實數 、，我們有，當且僅當時，等號成立。證明：所以課題：基本不等式的應用說課稿杜曉軍一、 教材分析、本節課在教材中的地位、作用基本不等式選自高中數學人教A 版必修 5 第 3 章第 4 節第二課時。 “基本不等式 ”在不等式的證明和求最值過程中都有著廣泛的應用。并且求最值問題一直是高考的熱點。它作為一個工具，在電學、力學、機械設計與制造等方面都有著廣泛的應用。2、教學目標1 ）鞏固基本

21、不等式的簡單應用。2 ）能靈活構造基本不等式求最值成立的三個條件。（ 3 ）通過對基本不等式成立的條件的分析，養成嚴謹的科學態度，勇于提出問題、分析問題的習慣。3、本節課的教學重點和難點重點：利用基本不等式求最值時必須滿足三個條件: 一正二定三相等.突出重點的方法：我將采用學案教學，難度梯次遞增。強調基本不等式應用的條件；突出基本不等式成立的條件重要性。難點：如何構造定值利用基本不等式求最值.突破難點的方法：教學中通過條件的變換體現構造定值的具體過程，配備適量的習題讓學生親身去體驗，從而突破構造定值這個難點。二、教法分析思維是一個不斷深入不斷發展的過程，在學習、探索以及解題過程中都是這樣的。培養學生的思維能力，一直都是數學教學的基本要求。知識的傳授固然重要，但學生掌握知識的思維過程更重要。所以在教學過程中，注重引導學生發現知識的形成過程，恰當的編排習題降低思 維的梯度引導學生去接受?？傊?，時刻注意教師是作為引導者的身份出現在課堂。三、教學程序(一)、復習引入：1、重要不等式2、基本不等式3、簡單推論設計意圖：在復習舊知識的基礎上為新課教學做好必要的鋪墊。(二)、例題講解：“正數”】1.41 , 一一若x 1,求y (x 1)的最值。x 192.求f x