1、第十章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重 積 分 第一節(jié) 二重積分第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用第五節(jié) 三重積分（一）第六節(jié) 三重積分（二）第七節(jié) 含參變量的積分第十章 重積分（1）化整為零，（2）以不變代變，（3）做乘求和取極限.1.定積分的引入：幾何，曲邊梯形的面積 ； 變速直線運(yùn)動位移等.2.定積分的定義：3.定積分的性質(zhì)：定積分的概念和性質(zhì)第一節(jié) 二重積分定積分的概念和性質(zhì)第一節(jié) 二重積分xys(x)定積分的概念和性質(zhì)4.平面圖形的面積5.平行截面面積已知的立體體積：xyy第一節(jié) 二重積分引例1

2、.曲頂柱體的體積 曲頂柱體:底： xOy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面.求體積:“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” 第一節(jié) 二重積分1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體第一節(jié) 二重積分4)“取極限”令2. 平面薄片的質(zhì)量 設(shè)D 的面積為 ,則若非常數(shù) ,仍可用“大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 1)“大化小”分D 為 n 個小區(qū)域第一節(jié) 二重積分2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”第一節(jié) 二重積分二重積分的定義及

3、可積性定義 將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第一節(jié) 二重積分二重積分存在定理若函數(shù)定理 (證明略)定理 在D上可積.限個點(diǎn)或有限個光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在D :上二重積分存在 ;在D 上 二重積分不存在 . 第一節(jié) 二重積分來劃分區(qū)域D 時, 引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:注：如果 在D上可積,也常二重積分記作因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線記作第一節(jié) 二重積分二

4、重積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)) 為D 的面積, 則 第一節(jié) 二重積分特別, 由于則(5) 若在D上(6) 設(shè)D 的面積為 ,則有(7)(二重積分的中值定理)在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則連續(xù),第一節(jié) 二重積分直角坐標(biāo)系下化為二次積分設(shè)則表示以曲面為頂?shù)那斨w體積.如圖所示.設(shè)曲頂柱的底為任取平面截柱體的截面積為第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算故曲頂柱體體積為若則其體積可按如下兩次積分計算第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算(1) 若D為 X - 型區(qū)域 則(2) 若D為Y -型區(qū)域則說明:即先對y后對x積分即先對x后對y積分第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算為計算方便,可選擇積分序, 必要時

5、還可以交換積分序.則有(4) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域 , 則 (3) 若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y -型區(qū)域第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算例 計算其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法1 將D看作X-型區(qū)域, 則解法2 將D看作Y-型區(qū)域, 則第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算例 計算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,及直線則 第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算例 計算其中D 是直線 因此取D 為X - 型域 :所圍成的閉區(qū)域.解 由被積函數(shù)可知,先對 x 積分不行, 說明: 有些二次積分為了積分

6、方便, 還需交換積分順序.第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算例 交換下列積分順序解 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域 , 則第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算01(1,1)例 （交換積分次序）第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算1.設(shè)D關(guān)于y對稱則：2.設(shè)D關(guān)于x軸對稱則：第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算利用對稱性計算二重積分3.設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對稱則：第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算4.設(shè)D關(guān)于直線y=x對稱（輪換對稱），則：答案為-11第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算例 求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積.解 設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求

7、體積為第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算例 （輪換對稱）第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算例 第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算特殊函數(shù)(分段)二重積分例原式第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算D2為x2-y2+20D1, D3為x2-y2+20例 原式第二節(jié) 直角坐標(biāo)系中二重積分的計算對應(yīng)有極坐標(biāo)系下計算二重積分在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線 =常數(shù),劃分區(qū)域D 為第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算即設(shè)則第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算（1）若則(2)(3)第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算例

8、 計算其中解 在極坐標(biāo)系下原式故利用極坐標(biāo)計算適用的范圍：(1)圓形,環(huán)形,扇形；第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算例 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解 設(shè)由對稱性可知第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算利用極坐標(biāo)計算劃分D：X-型：(1,1)Y-型：型：第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算變域積分,變限積分例 第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算利用一般曲線坐標(biāo)計算二重積分第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算第三節(jié) 極坐標(biāo)系及一般曲線坐標(biāo)系中二重積分的計算曲面的

9、面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 xOy面上的投影為 d ,(稱為面積元素)則第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即D為曲面片在xOy面上的投影第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用若光滑曲面方程為 則有例 計算雙曲拋物面被柱面所截解 曲面在 xOy 面上投影為則出的面積 A .第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用求曲面面積分兩步：找函數(shù)，找投影（1）求第一個曲面含在第二個曲面內(nèi)的面積；（2）或者第一個曲面被第二個曲面所割下的面積.被積函數(shù)是第一個曲面的函數(shù).投影是兩個曲面的交線的投影所圍的部分.（3）求第一個曲面被第二個曲面所圍部分的面積投影

10、的求法：如在xOy面上，解方程組消去z.第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用zxy02第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用物理應(yīng)用第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用例 求位于兩圓和的質(zhì)心. 解 利用對稱性可知而第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用例 求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑解 建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.第四節(jié) 二重積分的應(yīng)用引例 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的可得“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”類似二重積分解決問題的思想, 采用解決方法:質(zhì)量 M .物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的密度函數(shù)為第五節(jié) 三重積分

11、（一）三重積分的概念定義 設(shè)存在,稱為體積元素, 若對 作任意分割: 任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì) 例如 下列“乘積和式” 極限記作第五節(jié) 三重積分（一） 利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法1 投影法 (“先一后二” ) 如圖，第五節(jié) 三重積分（一）劃分：記作第五節(jié) 三重積分（一）化為三次積分區(qū)域方法2 截面法 (“先二后一”)第五節(jié) 三重積分（一）記作于是 注：方法一和方法二的可看作由上下兩個曲面所圍成.即平行于z軸且穿過內(nèi)部的直線與的邊界曲面相交不多于兩點(diǎn).第五節(jié) 三重積分（一）其中 為三個坐標(biāo)例 計算三重積分解 所圍成的閉區(qū)域

12、.面及平面第五節(jié) 三重積分（一）例 計算三重積分（用“先二后一 ” ） 解 第五節(jié) 三重積分（一）第五節(jié) 三重積分（一） 利用對稱性計算三重積分第五節(jié) 三重積分（一）利用柱坐標(biāo)計算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面第六節(jié) 三重積分（二）如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單 ;2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.第六節(jié) 三重積分（二）其中為由例 計算三重積分所圍解 在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.第六節(jié) 三重積分（二）zyx1例 設(shè)三重積分解 （1）直角坐標(biāo)系（2）截面法（3

13、）柱面第六節(jié) 三重積分（二）利用球面坐標(biāo)計算三重積分 就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面第六節(jié) 三重積分（二）如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.第六節(jié) 三重積分（二）例 計算三重積分解 在球面坐標(biāo)系下所圍.其中 與球面第六節(jié) 三重積分（二）注: 在球面坐標(biāo)系下的劃分：(1) 用過原點(diǎn)的射線把夾住,得的范圍.(2) 把向xOy面上投影，在xOy面上用過原點(diǎn)的 射線將投影夾住，得的范圍.(3) 也可以在表示邊界曲面的函數(shù)中代入從而分別得出、r的范圍第六節(jié)

14、 三重積分（二）例 求半徑為的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解 設(shè)球面與錐面分別為于是第六節(jié) 三重積分（二）總結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系說明:三重積分類似于二重積分也可以利用對稱性計算.變量可分離.圍成 ;第六節(jié) 三重積分（二）例 求解 原式第六節(jié) 三重積分（二）幾種的圖形第六節(jié) 三重積分（二）三重積分的應(yīng)用1.物體的質(zhì)心設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù)則 設(shè)空間有n個質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別分別位于由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為為公式 ,即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心 第六節(jié)

15、三重積分（二）則得形心坐標(biāo)：V為的體積）第六節(jié) 三重積分（二）2.物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x , y , z) 處的元素 因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 第六節(jié) 三重積分（二）類似可得:對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量第六節(jié) 三重積分（二） G 為引力常數(shù)3.物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,質(zhì)點(diǎn)的引力在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為第六節(jié) 三重積分（二）對 xOy 面上的平面薄片D ,它對原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為第六節(jié) 三重積分（二）第七節(jié) 含參變量的積分第七節(jié) 含參變量的積分第七節(jié) 含參變量的積分（2，1）1.利用二重積分的性質(zhì)：比較大小估計值，求極限.例