1、第一節空間幾何體 三視圖的辨析考向聚焦高考的常考點,主要考查:(1)不同視圖之間的關系;(2)由實物圖畫三視圖.常以選擇題形式出現,難度不大,所占分值5分備考指津(1)熟記三視圖的繪圖法則;(2)會由直觀圖畫三視圖;(3)能補全三視圖,注意空間想象能力的訓練1.(2012年湖南卷,理3,5分)某幾何體的正視圖和側視圖均如圖(1)所示,則該幾何體的俯視圖不可能是()解析:若該幾何體的俯視圖為D,則正視圖與側視圖不是同一個圖形,且正視圖中豎長方形中應有虛線,故選D.答案:D.2.(2012年福建卷,理4,5分)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等,那么這個幾何體不可以是()(A)球(B)三棱錐

2、(C)正方體(D)圓柱解析:本小題主要考查空間幾何體的三視圖,圓柱的三視圖中,正視圖與側視圖都是長方形,而俯視圖是圓,即其形狀不可能都相同.故選D.答案:D.3.(2011年全國新課標卷,理6)在一個幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應的側視圖可以為()解析:該幾何體由正視圖和俯視圖可知:其為前面為三棱錐,后連一個與三棱錐等高的半圓錐,故側視圖為D選項.故選D.答案:D.4.(2011年山東卷,理11)右圖是長和寬分別相等的兩個矩形.給定下列三個命題:存在三棱柱,其正(主)視圖、俯視圖如圖;存在四棱柱,其正(主)視圖、俯視圖如圖;存在圓柱,其正(主)視圖、俯視圖如圖.其中真命題的個

3、數是()(A)3(B)2(C)1(D)0解析:底面是等腰直角三角形的三棱柱,當它的一個矩形側面放置在水平面上時,它的主視圖和俯視圖可以是全等的矩形,因此正確;若長方體的高和寬相等,則存在滿足題意的兩個矩形,因此正確;當圓柱側放時(即左視圖為圓時),它的主視圖和俯視圖可以是全等的矩形,因此正確,故選A.答案:A.5.(2011年北京卷,理7)某四面體的三視圖如圖所示,該四面體四個面的面積中最大的是()(A)8(B)6 QUOTE (C)10(D)8 QUOTE 解析:由三視圖可知,幾何體為一條側棱垂直于底面的三棱錐,如圖所示,SA平面ABC,ABBC,且SA=4,AB=4,BC=3,面積最大的為

4、SAC,S= QUOTE |AC|SA|=10,故選C.答案:C.6.(2010年廣東卷,理6)如圖,ABC為正三角形,AABBCC,CC平面ABC且3AA= QUOTE BB=CC=AB,則多面體ABCABC的正視圖(也稱主視圖)是()解析:正視圖是從空間幾何體的前面通過正投影得到的平面圖形.故選D.答案:D.7.(2010年北京卷,理3)一個長方體去掉一個小長方體,所得幾何體的正(主)視圖與側(左)視圖分別如圖所示,則該幾何體的俯視圖為()解析:根據題意,由幾何體的正(主)、側(左)視圖可得幾何體的直觀圖,如圖所示,故該幾何體的俯視圖為C.答案:C.8.(2011年遼寧卷,理15)一個正三

5、棱柱的側棱長和底面邊長相等,體積為2 QUOTE ,它的三視圖中的俯視圖如圖所示,左視圖是一個矩形,則這個矩形的面積是.解析:設各棱長為a,則體積2 QUOTE = QUOTE a2 QUOTE a,a3=8,a=2,則在左視圖矩形中一邊長為2,一邊長為 QUOTE ,其面積為2 QUOTE .答案:2 QUOTE 9.(2010年湖南卷,理13)圖中的三個直角三角形是一個體積為20 cm3的幾何體的三視圖,則h=cm.解析:由三視圖做出幾何體的直觀圖如圖,其中SA平面ABC,BAAC.則 QUOTE QUOTE 56h=20,h=4.答案:410.(2010年遼寧卷,理15)如圖,網格紙的小

6、正方形的邊長是1,在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖,則這個多面體最長的一條棱的長為.解析:根據三視圖還原出的直觀圖為:由圖形可知棱SB最長,SB= QUOTE = QUOTE = QUOTE =2 QUOTE .答案:2 QUOTE 與三視圖相關的空間幾何體的表面積、體積考向聚焦高考的高頻考點,主要考查:(1)通過三視圖獲取空間幾何體特征的能力;(2)通過三視圖求空間幾何體的表面積、體積,從而考查學生的空間想象能力和計算能力.主要以選擇題、填空題形式出現,難度中檔,所占分值45分備考指津訓練題型:由三視圖(或三視圖中的兩種視圖)求空間幾何體的表面積、體積,加強識圖能力的訓練11.(2012年

7、新課標全國卷,理7,5分)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()(A)6(B)9(C)12(D)18解析:由三視圖知,幾何體為三棱錐,底面積S= QUOTE 63=9,高h=3,V= QUOTE Sh= QUOTE 93=9,選B.答案:B.12.(2012年廣東卷,理6,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為()(A)12(B)45(C)57(D)81解析:由三視圖知原幾何體是一個圓錐、圓柱的組合體,V= QUOTE 432+532=12+45=57.答案:C.13.(2012年北京卷,理7,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積

8、是()(A)28+6 QUOTE (B)30+6 QUOTE (C)56+12 QUOTE (D)60+12 QUOTE 解析:由三視圖知此三棱錐的直觀圖如圖所示,ACB=90,AC=5,BC=4,PD平面ABC于D,且D在AC上,AD=2,DC=3,PD=4.從而可得PCBC,PC=5,AP=2 QUOTE ,PB=AB= QUOTE .SABC=SAPC=SPBC= QUOTE 54=10.SAPB= QUOTE 2 QUOTE QUOTE =6 QUOTE ,此三棱錐的表面積為S=30+6 QUOTE .答案:B. 本題考查了三視圖得幾何體的線面關系及數量關系,注意棱錐頂點的位置.14.

9、(2012年湖北卷,理4,5分)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()(A) QUOTE (B)3(C) QUOTE (D)6解析:根據三視圖知該幾何體的下面是一個圓柱,上面是圓柱的一半,所以V=2+ QUOTE 2=3.答案:B.15.(2011年陜西卷,理5)某幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積是()(A)8- QUOTE (B)8- QUOTE (C)8-2(D) QUOTE 解析:如圖,該幾何體為棱長為2的正方體挖去一個半徑為1,高為2的倒立圓錐得到,則V=23- QUOTE 122=8- QUOTE .答案:A.16.(2011年湖南卷,理3)如圖是某幾何體的三視圖,則

10、該幾何體的體積為()(A) QUOTE +12(B) QUOTE +18(C)9+42(D)36+18解析:由三視圖知該幾何體是由一個長方體和一個球組成的組合體,V= QUOTE ( QUOTE )3+332= QUOTE +18,選B.答案:B.17.(2011年安徽卷,理6)一個空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()(A)48(B)32+8 QUOTE (C)48+8 QUOTE (D)80解析:由三視圖知幾何體的直觀圖為以ABCD為底面的直四棱柱,如圖,且AB= QUOTE ,AD=4,BC=2,則其側面積為(2+4+2 QUOTE )4=24+8 QUOTE ,兩底面面積

11、為2 QUOTE =24,故幾何體的表面積為48+8 QUOTE .答案:C.18.(2011年廣東卷,理7)如圖所示,某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形,側視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形,則該幾何體的體積為()(A)6 QUOTE (B)9 QUOTE (C)12 QUOTE (D)18 QUOTE 解析:由三視圖可推知該幾何體為平行六面體,即四棱柱,其中AD=3,AA=2,AB=3,AE=1,AEAB于點E.(E為俯視圖中矩形內實線與矩形的邊的交點),故 QUOTE =SABCDh=33AE=33 QUOTE =9 QUOTE .故選B.答案:B.19.(2012年安徽卷,理12,5分

12、)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是.解析:本題考查三視圖的識別以及把三視圖還原為原幾何體,考查多面體的表面積.三視圖對應的幾何體為底面是直角梯形,高為4的直四棱柱,幾何體的表面積是S=2 QUOTE (2+5)4+(2+5+4+ QUOTE )4=92.答案:92 解決三視圖問題的關鍵是根據三視圖得到對應的幾何體,畫出幾何體的直觀圖,根據三視圖中的數據標出直觀圖中對應的數據,根據三視圖中的垂直、平行關系得出幾何圖形中的垂直、平行關系,然后利用表面積公式求幾何體的表面積.20.(2012年浙江卷,理11,4分)已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積等于 cm3.

13、解析:由三視圖可知該幾何體為底面是直角三角形,高為2 的三棱錐,V= QUOTE QUOTE 312=1.答案:121.(2012年上海數學,理8,4分)若一個圓錐的側面展開圖是面積為2的半圓面,則該圓錐的體積為.解析:設圓錐的底面半徑為r,母線長為l,依題意知, QUOTE l2=2,所以l=2,又2r=2,所以r=1,圓錐的高h= QUOTE ,因此圓錐的體積為V= QUOTE 12 QUOTE = QUOTE .答案: QUOTE 22.(2012年天津卷,理10,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為 m3.解析:本小題考查三視圖及幾何體體積的求法及識圖能力,

14、難度較小.由三視圖知此幾何體是由一個長方體和2個球組成的組合體,故V=361+2 QUOTE ( QUOTE )3=18+9.答案:18+923.(2012年遼寧卷,理13,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為.解析:該幾何體是長方體中去掉一個圓柱而成.其表面積應為長方體的表面積中去掉圓柱的兩底面面積加上圓柱的側面積.S表=S長方體-S圓柱底+S圓柱側=2(14+13+34)-212+12=38.答案:3824.(2011年天津卷,理10)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.解析:該幾何體為一長方體上有一個圓錐,又V長方體=321=6,V圓錐= Q

15、UOTE 123=,該幾何體的體積為6+.答案:6+25.(2010年福建卷,理12)若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于.解析:由正視圖知三棱柱底面邊長a=2,高h=1,S側=321=6,S底=2 QUOTE 22=2 QUOTE ,其表面積為6+2 QUOTE .答案:6+2 QUOTE 26.(2010年浙江卷,理12)若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是 cm3.解析:由三視圖可知,該幾何體由一個長方體和一個四棱臺組成,且長方體的長、寬、高分別為4,4,2,棱臺的上底面為邊長為4的正方形,下底面為邊長是8的正方形,高為3,所以該幾何體的體

16、積為V=442+ QUOTE 3(16+ QUOTE +64)=144(cm3).答案:144空間幾何體的有關計算考向聚焦高考常考點,高考中主要考查:(1)求幾何體的面積和體積;(2)計算幾何體中有關線段長;(3)各幾何體的外接球、內切球的有關計算問題,在客觀題與主觀題中均有體現,難度中檔,所占分值46分27.(2012年全國大綱卷,理4,5分)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,CC1=2 QUOTE ,E為CC1的中點,則直線AC1與平面BED的距離為()(A)2(B) QUOTE (C) QUOTE (D)1解析:AC1平面BDE,點A到平面BDE的距離就是直線AC1與平面

17、BDE的距離.如圖, QUOTE = QUOTE QUOTE QUOTE = QUOTE .SBED= QUOTE QUOTE QUOTE =2 QUOTE .設點A到平面BDE的距離為h,則 QUOTE = QUOTE SBEDh= QUOTE h,由等積變換得 QUOTE = QUOTE , QUOTE h= QUOTE ,h=1.答案:D.28.(2012年新課標全國卷,理11,5分)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上,ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為()(A) QUOTE (B) QUOTE (C) QUOTE (D) QUOTE 解

18、析:設ABC中心為O1,即為ABC所在截面圓的圓心,則OO1平面ABC且點S到面ABC的距離h=2OO1,連結O1C,在RtO1OC中,OC=1,O1C= QUOTE QUOTE = QUOTE ,OO1= QUOTE ,h= QUOTE ,V= QUOTE ( QUOTE 1 QUOTE ) QUOTE = QUOTE .答案:A. 球與三棱錐的組合體是立體幾何中的難點,突破的關鍵是準確把握二者的結合點,及各幾何體間量的關系,如OO1面ABC及高h=2OO1等.29.(2012年重慶卷,理9,5分)設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1, QUOTE 和a,且長為a的棱與長為 QUOTE

19、的棱異面,則a的取值范圍是()(A)(0, QUOTE )(B)(0, QUOTE )(C)(1, QUOTE )(D)(1, QUOTE )解析:設四面體ABCD中,AC=a,則BD= QUOTE ,AB=AD=BC=CD=1,取BD中點P,連結AP、CP,則APBD,CPBD,由勾股定理得AP=CP= QUOTE .在ACP中,AC2=a2=AP2+CP2-2APCPcosAPC=1-cosAPC,APC(0,),cosAPC(-1,1),a(0, QUOTE ).答案:A. 本題考查四面體中的幾何關系及解三角形.三角函數的值域問題,解題的關鍵是明確a的解析式,此題把立體幾何、正余弦定理及

20、最值問題進行了有機結合,在今后的復習中應注意知識、方法交匯點處的復習,屬于難題.30.(2012年湖北卷,理10,5分)我國古代數學名著九章算術中“開立圓術”曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個近似公式d QUOTE .人們還用過一些類似的近似公式,根據=3.14159判斷,下列近似公式中最精確的一個是()(A)d QUOTE (B)d QUOTE (C)d QUOTE (D)d QUOTE 解析:設球的直徑為d,則球的體積為V= QUOTE ( QUOTE )3,所以d= QUOTE QUOTE ,其中對于A,d

21、 QUOTE QUOTE ;對于C,d QUOTE QUOTE ;對于D,d QUOTE QUOTE ;比較各選項的被開方數大小可知,選項D中的d與d= QUOTE QUOTE 最接近,故選D.答案:D.31.(2011年遼寧卷,理12)已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB= QUOTE ,ASC=BSC=30,則棱錐SABC的體積為()(A)3 QUOTE (B)2 QUOTE (C) QUOTE (D)1解析:如圖,由SC為直徑,A、B為球面上兩點,可知SAC=SBC=90,由SC=4,ASC=BSC=30得,AC=BC=2,SA=SB=2 QUOTE ,又AB= QUOT

22、E ,過點A作ADSC,連接BD,由SACSBC知BDSC,BDAD=D,SC平面ABD,且求得AD=AB=BD= QUOTE ,故 QUOTE = QUOTE SABDSC= QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE 4= QUOTE .故選C.答案:C.32.(2010年全國新課標卷,理10)設三棱柱的側棱垂直于底面,所有棱的長都為a,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為()(A)a2(B) QUOTE a2(C) QUOTE a2(D)5a2解析:如圖三棱柱A1B1C1ABC,由題意可知側棱垂直于底面,即AA1平面ABC.又因為棱長都是a,因此上下底面是等邊三角形,設A

23、1B1C1的中心為O1,O為球心,球半徑為R,因為所有頂點都在球面上,因此有OO1 QUOTE AA1= QUOTE ,C1O=R,C1O1= QUOTE QUOTE a= QUOTE a.易知C1O1O為直角三角形,因此C1O2=R2=( QUOTE )2+( QUOTE a)2= QUOTE a2,所以S球=4R2=4 QUOTE a2= QUOTE a2,故選B.答案:B.33.(2010年北京卷,理8)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,動點E,F在棱A1B1上,動點P,Q分別在棱AD,CD上.若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),則四面體PEFQ

24、的體積()(A)與x,y,z都有關(B)與x有關,與y,z無關(C)與y有關,與x,z無關(D)與z有關,與x,y無關解析:四面體PEFQ的體積可以以P為頂點,以EFQ為底面來計算,因為DCEF,且EF=1,故EFQ的面積為定值,體積取決于動點P到截面A1B1CD的距離,所以四面體PEFQ的體積與z有關,與x,y無關,故選D.答案:D.34.(2012年山東卷,理14,4分)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1.E,F分別為線段AA1,B1C上的點,則三棱錐D1EDF的體積為.解析:本小題主要考查三棱錐的體積公式. QUOTE = QUOTE = QUOTE QUOTE 111= QUOTE .答案: QUOTE 35.(2012年江蘇數學,7,5分)如圖,在長方體ABC