1、第七章振動振動（機械振動）：物體在平衡位置附近往返運動。波是振動的傳播。振動和波動是橫跨物理學不同領域的一種非常普遍而重要的運動形式。簡諧振動的動力學特征我們結合具體例子談簡諧振動的動力學特征即、（1）在怎樣的力（或力矩）的作用下物體做簡諧振動。（2）根據力（或力矩）和運動的關系，求出簡諧振動的動力學方程。1、簡諧振動概念：質點在線性回復力作用下圍繞平衡位置的運動叫簡諧振動。平衡位置：質點在某位置所受的力（或沿運動方向受的力）等于零時，此位置稱平衡位置。線性回復力：若作用于質點的力總與質點相對于平衡位置的位移（線位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則此力稱線性回復力。fx=入x（入為正常數）

2、（1）我們以彈簧振子這種典型簡諧振動例子來研究問題。裝置如圖所示，在理想情況下，x很小時，力fx與x之間成線性關系。即fx=kxk是彈簧勁度系數以m表滑塊質量，根據牛頓第二質量m*d2x/dt2=-kx令k/m=32上式可寫作d2x/dt2=-32X0或d2x/dt2+302x=0間諧振動的動力學方程：d2x/dt2+302x=0（2）我們再來看另一典型例子單擺裝置如圖,不可伸長輕線懸掛一小球，將小球視作質點；相對于懸線鉛垂位置的角位移0很小。小球切向力ft=mgsin0sin0=0-03/3!+05/5!sin0心0則ft=mg0ft是線性回復力，所以單擺做簡諧振動：由牛頓第二定律：m*d2

3、（l0）/dt2=mg0d20/dt2=-g/l*0令g/l=32有d20/dt2+320=0即單擺做簡諧振動對扭擺也可得出運動力學方程d2屮/dt2+302屮=0簡諧振動的一般定義：任何物理量x（例如長度、角度、電流、電壓以至化學反應中某種化學組分的濃度等）的變化規律滿足方程d2x/dt2+32x=0，0且常數30決定于系統規律本身的性質，則該物理量做簡諧振動。簡諧振動的運動學一)、簡諧振動的運動學方程根據常微分方程理論，微分方程：d2x/dt2+3嚴=0,的解可寫作，X=Acos(30t+a)(9.2.1)式中A和a是待定系數，需根據初始條件來決定，上式即是簡諧振動的運動學方程。現對(9.

4、2.1)式各量的物理意義作進一步討論。(1)周期、頻率和圓頻率周期：物體做簡諧振動周而復始完全振動一次所需的時間叫簡諧振動的周期。T表周期，則.Acos(wot+a)=Acos3。(t+T)+a余弦函數周期為2n，故3T=2n0/.T=2n/30討論：對彈簧振子302=k/mT=2n對于單擺302=g/lT=2n對于扭擺302=c/IT=2n頻率：單位時間內系統所作完全振動的次數。V表頻率V=1/T國際單位制：“赫茲”符號Hz3=2n/T=2nv03。僅與頻率V相差一常數因子2n，已知3。與已知V是等效的，故3。叫圓頻率固有頻率和固有圓頻率：簡諧振動的圓頻率、頻率和周期都是由振動系統本身最本質

5、的因素決定的。(2)振幅振幅：物體離開平衡位置的最大位移(或角位移)的絕對值叫振幅。振幅由初始條件決定X=Acos(30t+a)Vx=dx/dt=-3。人*3衣+a)將初始條件t=。x=x。Vx=V。x代入得xo=AcosaVx=-A3sina得(3)相位和初相位相位：簡諧振動的運動學方程X=Acos(3t+a)中，我們把時間t的線性函數。e=3t+a叫簡諧振動的相位。相位差：兩振動相位的差(e-e)稱作相位差。12討論：當相位差e-e2=n2n時，稱作同相位e-e2=(2n+1)n時相位相反若ne-e0貝ye超前e1212若2ne-en則e落后相位e1212初相位：t=0時的相位稱為初相位，

6、其由初初始條件決定的。cosa=X0/Asina=-V兩式相除，得：tga=-V0 x/wox0選上面三式中任意兩式都可以決定初相位。現在對簡諧振動小結：首先，簡諧振動是周期性運動；第二、簡諧振動各瞬時的運動狀態有振幅A和圓頻率W0及初相位a決定，也可以說，由振幅和相位兩因素決定；第三、簡諧振動的頻率是由振動系統本身固有性質決定的，而振幅和初相位不僅決定于系統本身性質且取決于初始條件。、簡諧振動的x-t圖線和相軌跡簡諧振動的x-t圖線類似于余弦曲線，振幅大小決定曲線的“高低”，頻率影響曲線的“密度和疏散”，初相位決定曲線在橫軸上的位置。另一種描述運動狀態的方法是利用相平面。三)、簡諧振動的矢量

7、表示方法可以用一旋轉矢量描述簡諧振動：旋轉矢量的長度等于振幅，矢量A叫振幅矢量，簡諧振動的圓頻率等于矢量轉動的角速度，間諧振動的相位等于旋轉矢量與X軸間的夾角；用旋轉矢量在坐標軸上的投影描述簡諧振動的方法叫簡諧振動的矢量表示法或幾何表示法。簡諧振動的能量轉化因為彈簧振子或扭擺等振動系統中線性回復力為彈性力(或力矩)，它們是保守力(或力矩)，所以簡諧振動系統的總機械能守恒，現以彈簧振子為例討論振動系統的動能和勢能隨時間的變化規律并計算總機械能。對于彈簧振子，應用質點動能公式Ek=1/2*mv2得Ek=1/2*mw02A2sin2(w0t+a)因w02=k/m所以Ek=1/2*kA2sin2(w0

8、t+a)至于勢能，EP=1/2*kx2將簡諧振動運動學方程代入，得EP=1/2*kA2cos2(w0t+a)結論：、彈簧振子的動能和勢能按余弦或正弦的平方隨時間變化；動能最大時，勢能最小,動能最小時，勢能最大，振動過程是動能和勢能相互轉化的過程。、簡諧振動總能為：E=1/2*kA2即彈簧振子的總能取決于勁度系數和振幅。簡諧振動的合成、同方向同頻率簡諧振動的合成設質點參與同方向同頻率的兩個簡諧振動X二Acos(3t+a)1101X二Acos(wt+a)2202式中XX2AA2以及a1a2分別表示兩個振動的位移、振幅和初相位，表示共同頻率，因兩分振動在同方向上進行，故質點合位移等于分位移的代數和，

9、X=X+X=Acos(wt+a)+Acos(wt+a)20202將余弦函數展開再重新并項，得：X=(Acosa+Acosa)coswt(Asina+Asina)sinwt220220式中coswt和sinwt的系數由AAa和a決定的常數，將它們記作Acosa0022和Asina，得：Acosa=Acosa+Acosa22Asina=Asina+Asina22于是X=AcosacoswtAsinasinwt00=Acos(wt+a)0可見，同方向同頻率的兩個簡諧振動合成后仍為一簡諧振動，其頻率與分振動頻率相同。合振動的振幅與初相位A、a，由分振動的振幅和初相位A1A2a1a2決定A=cosa=A

10、cosa+Acosa/A22sina=Asina+Asina/A22用旋轉矢量同樣可得上述結果。討論：合振動振幅與分振動的振幅的及相位差的關系：相位差aa=2nn，n=0.1.2.3，cos(aa)=122A=A+A2，相位相同，互相加強，合振幅最大。：相位差aa=(2n+1)n，n=0.1.2.3，cos(aa)=12121A=|A1-A2|，相位相反，互相消弱，合振動振幅最小。：一般情況下，合振動振幅在A1+A2與|A1-A21之間:同方向不同頻率簡諧振動合成X=Acoswt110X=Acoswt220合振動的位移為：X=X+X=AcoswtAcoswt121020合振動不是一簡諧振動，但

11、是一周期性運動，合振動周期稱“主周期”，主周期有兩特點：主周期是分振動周期的整數倍主周期是分振動周期的最小公倍數當3+w|3wI時20102010合振動X=2Acos(ww)/2*t*cos(w+w)/2*t20102010固子2Acos(ww)/2*t的周期比另一固子cos(w+w)/2*t的周期長的多，于是我們20102010可以稱之為“準簡諧振動”。3.振動方向相同，頻率之和遠大于頻率之差的兩個簡諧振動合成時，合振動振幅周期變化的現象叫拍單位時間內拍出現的次數叫拍頻。（三）：互相垂直的相同頻率簡諧振動的合成二互相垂直同頻率簡諧振動運動學方程如下：X=Acos（3t+a）y=Acos（3t

12、+a）101202消t得合振動軌跡方程X2/A2+y2/A22-2xy/AA2*cos（a-a）=sin2（a-a）i2i22i2i討論（1）分振動相位相同或相位相反，合振動軌跡退化為指線A.若a2-ai=0或2n的整數倍Y=A/A*x21B.若a-a=(2k+1)n2iY=-A/A*x2i(2)相位差為z/2時表示合振動軌跡為以x.y為軸的橢圓。7.5阻尼振動阻尼振動：振動系統因受阻力作振幅減小的運動。f阻x二-丫Vx=-丫*dx/dt丫為阻力系數，它與物體形狀以及周圍媒質的性質有關。由牛頓第二定律，振子受：m*d2x/dt2二-kx-丫*dx/dtd2x/dt2二-k/mx-丫/m*dx/

13、dt令：w2=k/mB二丫/2m0d2x/dt2工2B*dx/dt+w2x=00討論：由上動力學方程可解出三種可能運動狀態欠阻尼狀態阻力很小：以致Bw0摩擦阻力1.X=Ae$tcos(wit+a)2.w1=阻尼振動周期Ti=2n/wi=2n/過阻尼狀態如阻力較大，以致$w0X=Cei臨界阻尼狀態阻力影響界于前面兩者之間，且$=w0時X=（C+C2t）e-$ti2E=EK+EP=i/2*mv2+i/2*kx2=i/2*mA02W02sin2(Wt+Q)+W2cos2(Wt+Q)7.6受迫振動定義:受迫振動，振動系統在連續的周期性外力作用下進行的振動叫受迫振動。：受迫振動的動力學方程設質點受三種力

14、：彈性力-kx,阻尼力-丫*dx/dt,周期性外力：F(t)=Fcoswt0由牛頓第三定律,得動力學方程式為：m*d2x/dt2二kx丫*dx/dt+Fcoswt0令WQ2=k/m,2p二丫/m,f0=F/m,得d2x/dt2+2p*dx/dt+w2x=f0cosWt上式為受迫振動動力學方程常見形式，其中B,f和w0稱參量。受迫振動的運動特征動力學方程的解為X=AeBtcos(wit+a)+A0*cos(wt+0)我們來定性分析其運動特征：上式有兩項之和構成，表明質點運動包含分運動。第一項為阻尼振動，隨時間的推移而趨于消失，它反映受迫振動的暫態行為，與驅動力無關。第二項表示與驅動力頻率相同且振

15、幅為A0的周期振幅。位移共振位移共振：當驅動力頻率取某值時，振幅獲得極大值，振動系統受迫振動時，其振幅達到極大值的現象叫位移共振。共振時驅動力的圓頻率為(又稱位移共振頻率)Wr=(位移共振條件).受迫振動的能量轉換驅動力Fx=F0cosWt速度VX=wAcos(wt+Q+n/2)受迫振動的總能不是常數，其表達式為第八章波動和聲8.1波的基本概念（一）波是振動狀態的傳播（1）.波的分類：彈性波、非彈性波、位移波、壓強波、矢量波、標量波（2）.波的實質：波既是動量傳播的過程又是能量傳播的過程。（二）多種多樣的波按媒質內質原振動方向與波傳播方向的關系分類波分：橫波：若媒質中各體原振動的方向與波傳播的

16、方向垂直。縱波：媒質中各體原振動的方向和波傳播的方向平行。（三）平面波與球面波（1）波面：波傳播時，離波源較遠的體元比近的體元相繼有一定的相位落后，同相位各點所組成的免交波面。（2）波前:離波源最遠亦即“最前方”的波面叫波前。（3）波射線：與波面垂直且表明波傳播方向的線叫波射線。（4）按波前的形狀對波進行另一種分類平面波：波前為平面的波。球面波：波前為球面的波。8.2平面簡諧波方程平面簡諧波：平面波傳播時，若媒質中體元均按余弦（或正弦）規律運動，叫平面簡諧波。（一）、平面簡諧波方程設一列平面簡諧波沿x軸正向傳播，為簡單起見，選坐標原點x=0處體元相位為零的時刻為計時起點，即該體元初相位為零，于

17、是，x=0處體元的運動學方程Y=AcoswtX=0處體元的振動狀態，經時間At=x/v傳到位于x處的體元，在時刻t,位于x處的體元的振動狀態應與（t-x/v）時刻x=0處體元的振動狀態一樣，所以，x處體元的運動學方程Y=Acosw（t-x/v）平面簡諧波方程，考慮平面簡諧波逆x軸傳播的情況，故：Y=Acosw（t-/+x/v）討論：當固定x=x0時，上式描述位于x0處的體元隨時間做周期運動，體現了平面簡諧波具有對時間的周期性。（2）.取定t=t0,上式描述特定時刻t0各不同體元的位移，各體元位移的分布具有空間周期性。波動中幾個基本量及其關系：（1）.波速v:振動狀態傳播的速度。（2）波長入：沿

18、波傳播方向相鄰同相位兩點之間的距離。（3）.周期T：傳播一個波長所用的時間。V二入*丫（二）.平面簡諧波方程的多種形式利用波長、頻率、周期等物理量之間的關系，可將平面簡諧波方程表示為其他形式如：x二Acos（Wt-kx）利用w=2nY和k=2n/Y得：Y=Acos(wtkx)=Acos2n(Yt-x/入)再利用V二入*YY=Acos2nY(t-x/v)Y=Acosk(vt-x)8.3波動方程與波速（一）波動方程在媒質中取出體元，分析受力情況和應用動力學規律，推導出彈性媒質中橫波的波動方程為：a2y/a12=N/p*a2y/ax同理可得固體內彈性平面縱波的波動方程為：a2y/at2=Y/p*a2

19、y/ax2其中p表示媒質密度，Y為楊式模量。張緊柔軟線繩上傳播橫波的波動方程為：a2y/at2=T/p*a2y/ax2線T為線繩所受張力，p線為單位長度線繩的質量，成為線密度。二）.波速、色散現象平面簡諧波方程為波動方程一特殊解。對y=Acosk（vt-x）作偏導運算a2y/at2=Ak2V2cosk（vt-x）a2y/aX2-Ak2cosk（vt-x）代入波動方程中.得V=橫=同理得圓體中彈性縱波波速V=縱=張緊軟繩中橫波波速為流體中縱波的波速為V=流=8.4平均能流密度聲強與聲壓.媒質中波的能量分布根據平面簡諧波方程可以求出其振動速度U=ay/at=wAsinw(t-x/v)設媒質密度為p

20、，并用dv表示體元體積，則該體元動能等于dEk=l/2*pdvu2=l/2*pdvw2A2sinw(t-x/v)同理形變勢能為dE=1/2*Ndv(ay/at)2p=1/2*Ndv*W2A2/V2sin2w(t-x/v)對于橫波.V橫=所以dEp=1/2*pdv*w2A2sin2w(t-x/v)體元總能等于兩者之和，即dE=pdv*w2A2sin2w(t-x/v)能量密度：單位體積媒質所具有的能量；用表示，=dE/dv=Pw2A2sin2w(t-x/v)平均能量密度：能量密度在一周期內的平均值。/=1/T*T0Pw2A2sin2w(t-x/v)/dt因正弦函數平方一周期內的平均值為1/2，故：

21、/=1/2*pw2A2.平均能流密度平均能流密度：平均能流密度為一矢量，其大小等于單位時間內通過與波傳播方向垂直的單位面積的能量，其方向沿波傳播方向，用I表示平均能流密度。I=/*v=1/2*pw2A2v單位：瓦/米2，國際代號為：w/m2.量綱為MT-3.聲強與聲強級聲強：聲波平均能流密度的大小叫聲強。聲功率：聲強對面積積分，則為單位時間內通過一定面積的聲波能量。聲強級：取10-12w/m2的聲強為標準聲強，記作I0，聲強I與標準聲強I0之比的對數稱作聲強I的聲強級。四）、聲強.聲強與聲壓的關系聲壓：由聲波傳播的空間，處該瞬時的聲壓。某一點在某一瞬時的壓強p與沒有聲波時壓強p0的差，叫做該點

22、dp=p-p0經過推導，得出聲強和聲壓的關系式I=p2max/2z其中z=pv稱為波阻或聲阻。五）.聲波的衰減、超聲波的優勢聲波傳播時，能流密度和聲壓幅將衰減。I=Ie-addI表示入射初始聲強，Id為深入媒質d距離處的聲強，為衰減系數，與波的頻率以及媒質性質有關。若用I】和nd表示開始入射和深入媒質d距離處的聲波級，則有：Il=Il-add0超聲波的優勢，在水中超聲波的衰減系數比在空氣中小得多，更兼超聲波波長短，直進性強，遇障礙物時易成形反射，可用于在水中探測或搜索魚群，探測海深以至搜索水雷和潛艇等軍事目標，還可用于探測體內病變。六）.波的反射和透射.半波損失反射波與入射波在同一媒質中傳播，

23、因頻率波速不變，故波長相同；透射波與入射波雖然頻率相同，但波速不同，故波長不同。半波損失：波自波疏媒質射向波密媒質，則反射波在邊界處引起的分振動比入射波在此引起的分振動在相位上落后n；波傳播中相距半個波長的體元的振動相位才差n,故稱之為半波損失。8.4波的疊加和干涉.駐波一）、波的疊加.群速波的疊加原理：兩列波互相獨立的傳播，在兩列波相遇處體元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和。二）、波的干涉（1）、波的干涉的條件：一、兩列波具有相同的振動方向；二、兩列波具有相同的頻率；三、兩列波在空間每一點引起的分振動都具有固定的相位差，同頻率同方向正弦或余弦振動的合運動仍為正弦或余弦振動，

24、合振動的振幅由分振動振幅以及相位決定。(2)、現對相干條件再作一些討論，設兩列平面簡諧波相遇，波方程分別為：yi=AiCos(3it-kix+a1)y2=A2COS(W2t-k2X1+a2)兩波相遇處發生振動的合成，二波在任意一點分振動的相位差等于=3It一kix+a1-(32t-k2x1+a2)=31-32)t-(kix-k2x1)+ai-a2欲使保持一定，必須31=32；而相干條件中不僅提到頻率相同，同時強調固定位相差,是針對不連續而言的。(二)駐波駐波：振幅相同，而傳播方向相反的兩列簡諧相干波疊加得到的振動稱為駐波。例：yi=Acos(31-kx)y=Acos(3t+kx)合振動：y=A

25、cos(3t-kx)+Acos(3t+kx)=(2Acoskx)*cos3t為討論方便；代入k=2n卜y=(2Acos2n/入*x)*cos3t(駐波方程)下面討論駐波振動特點：、由于固子2Acos2n/入*x1表示各體元的振幅不同，且隨x作周期性變化；即：x=+-i/2*(i=0.1.2.3)的各體元，其振幅等于2Acos2n卜*x|=2A，稱為波腹。、波節，而對于x=+-(2i+1)*入/4(i=0.1.2.3)的各體元，其振幅等于2Acos2n卜*x|_0，即振幅最小，稱為駐波的波節。、相鄰兩面波腹或相鄰兩波節間的距離均為半波長。、相鄰波節間各體元具有相同的相位；相鄰兩波腹的相位是相反的。、弦與空氣柱的本征振動：波在周圍存在界面的媒質中傳播時，往往形成駐波。做駐