1、全國高中數學聯賽試題與答案2017年全國高中數學聯賽試題與答案第一試一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共 64分.設f X是定義在R上的函數，對任意實數x有f x 3 f x 41 .又當 0 x 7時，f x log2 9 x ,貝I f 100 的值為.答案：3 2解：由條件知，f x 14f x,所以f x 7.若實數x, y滿足x2 2cosy 1 ,則x cosy的取值范圍 是.答案：1, 3 1 .解：由于x2 1 2cosy 1,3 ,故x 6底. 2,2,由 cosy /可知， x cosy x ,：x 12 1.因此當x 1 時，x cosy有最小值（這時y可以取.）；

2、當x 3時， x cosy有最大值吏1 （這時y可以?。?由于-2 x 1 2 1 的值域是1,6 1 ,從而x cosy的取值范圍是1J3 1 .223.在平面直角坐標xoy中，橢圓C的萬程為 1, 7910,F為C的上焦點，A為C的右頂點，P是C上位于第一象限內的動點，則四邊形OAPF的面積的最大值為.5.2叱,則3石.2解：易知A 3,0牛0,1 .設P的坐標是3cos訴sin ,其中 arctan亞.當 arctan歷時，四邊形OAPF的面積的最大值為 10另解：易知A 3,0 ,F 0,1 .經過C上位于第一象限內點P0 Xo，y0 一條切線與直線AF1平行.該切線方程為X0X o

3、1V而因為這兩條平行直線的斜率相等，所以 TOC o 1-5 h z 10 X01.9 y03又因/ y2 1,所以X0處,y迦五 9101111易得點P0 亞，匹 到直線AF1：x 3y 3 0的距離為二布1111110于是，四邊形OAPF的面積的最大值為S*OAFS FAP01 3 1 1 1F 311 12210.若一個三位數中任意兩個相鄰數碼的差均不超過 1,則稱其為“平穩數”.平穩數的個數是答案：75.解：考慮平穩數abc.若b 0,則a 1,c 0,1 ,有2個平穩數.若b 1,則a 1,2 , c 0,1,2，有2 3 6個平穩數.若2 b 8,則a,c b 1,b,b 1 ,有

4、7 3 3 63個平穩數.若b 9,則a,c 8,9，有2 2 4個平穩數.綜上可知，平穩數的個數是2 6 63 4 75.另解：設 薪是一個平穩數，則b a| 1且c b 1.由 b a 1 可知 |b a 0, 1.由 c b 1 可知 c b 0, 1.1）若 |b a 0,c b0,則abc aaa, a 1,2，,9 ,有9個平穩數.a,2）若 b a 0, c b 1 ,則a, a 1.于是,abc aa a 1 , a 1,2，,8 ；或abc aa a 1 , a 12Ppp,9 .有8 9 17個平穩數.3）若 b a| 1, c b 0,則c b, c b, 或a b 1,

5、 a b 1.于是，abc b 1 bb , b 2,3，,9 ;或 abc b 1 bb,b 0,1，,8 .有8 9 17個平穩數.4）若 ba1,cb1,貝lJba 1, cb 1.由 b a 1,c b 1 得abc a a 1 a 2 , a 1,2，,7 ;abcaa1 a,a1,2,8 ;由 ba1,c b1 得abcaa1 a,a1,2,9 ；由b a 1,c b 1 得abc a a 1 a 2 , a 2,3, ,9.有7 8 9 8 32個平穩數.綜上可知，平穩數的個數為9 17 17 32 75.正三棱錐P-ABC中，AB 1,AP 2,過AB的平面 將其體積平分，則棱

6、PC與平面 所成角的余弦值為答案：箸解：設AB, PC的中點分別為K,M ,則易證平面ABM就是平面 .由中線長公式知212212122123AM 2AP2 AC2PC222 1222 -,24242所以 KMAM 2AK23 1-5.1,222又易知直線PC在平面 上的射影是直線MK ,而CM1,KC9所以222513-KM 2MC2KC24 143.5cos KMC 44 .2KM MC. 510故棱pc與平面 所成角的余弦值為3后. 106.在平面直角坐標系xOy中，點集Kx, y |x, y 1,0,1 .在K中隨機取出三個點，則這三點中存在兩點之間距離為 75的概率答案：4.7解：易

7、知K中有9個點，故在K中隨機取出三個點的方式有C3 84種.AiA2A3a8O入 *xAA& A5將K中的點按右圖標記為%2,-二人,0,其中有8個點之間的距離為 而由對稱性，考慮A, A兩個點的情況，則剩下的一個點有 7種取法.這樣有7 8 56個三點組（不計每組中三點的次序）.對每個 A i1,2,8 , K中恰有A 3, A 5兩點與之距離為岳（這里下標按模8理解），因而恰有 A,A3,A5 i 1,2，,848,進而所求這8個三點組被記了兩次.從而滿足條件的三點組個數為 56 8概率為g 7.在ZABC中，M是BC的中點，N是線段BM的中點.若的面積為石，貝 AM, AN的最小值為答案

8、：3 1.解：由條件知,AMAM AN1 AB2AC1 AB23 1-AB4AC , AN1 -AC 43 1-AB 41一3 AB2 2AC4AB AC .由于3S ABC1 AB2ACsin AAB AC ,所以AB-AC 4,進步可AB ACcos A 2,從而AM AN 1 2,3 網2 g2.4AB AC43 ABAC1AB AC , 3 1. 2當AB| /AC； 2 43時，AM- AN的最小值為73 1.設兩個嚴格遞增的正整數數列an ,bn滿足：aio甌2017,對任意正整數n ,有an 2an 1 an ,bn 1 2bn,則a b的所有可能值為 .答案：13,20.解：由

9、條件可知：a1,a2,bi均為正整數，且a1 a2.由于20176。296512bl ,故1,2,3 .反復運用分的遞推關系知a1o a9 a8 2a8 a7 3a7 2a65a6 3a5 8a5 5a4學無解.551024，得到唯一的正整數551536 ,得到唯一的正整數5513a4 8a3 21a3 13a2 14a2 21a1,因此21al a10 b10 21a3 13a2 34a2 21a1,而13 21 34 8 1 ,故a 13 21a1 13 2 26bl mod34 .另一方面，注意到a1 a2 ,有55& 34a2 21& 512bl，故512 a1bi.55當n 1時，分

10、別化為a1 26 mod34 , a1當。2時，分別化為a1 52 mod34 , a1a1 18,止匕時 a1 b1 20.當。3時，分別化為a1 78 mod34 ,a1綜上所述，a1 b1的所有可能的值為13,20.、解答題：本大題共3小題，滿分56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.9.（本題滿分16分）設k,m為實數，不等式kx m 1對所有x a,b成立.證明：b2 2.證明：令a,b ，則 f x1,1.于是kam 1,由bb2kb1,1. C3知,2f a4.故 b a 2 2.另證：令f xa,b .因為不等式1對所有x a,b成立，所以f x在a,b上的最大值與最小

11、值之差不超過2.下面用反證法證明 TOC o 1-5 h z a 22 ka 2 2 m a2kama2 42a 8ka 2 2k m a2kam4 .2a2.2k8 4 2 k 2 ,2k88.2矛盾.2）當b 3時，2 f a f b f b 2 2 f b4 2b 2 ,2k 84 2 k 2 2k 8 8.2矛盾.3）當a k b時，2】）若2則2 fb f 2fabf 2 a-bf U 2. 2 a-b - 2k 2222k 2 2 1 2k 2 2.矛盾.ii ）若 ka_b ,則22k2 f a f f a22 k 2k 2 2. 222 2 a2k 22矛盾.（本題滿分20分）

12、設Xi，X2，X3是非負實數，滿足X X2 X3 1,求Xi 3x2 5X3 Xi 35的最大值和最小值.解：由柯西不等式2X|X2 X31.1,X20,X30時不等式等號成立，故欲求的最小值為 1.因為X1 3x2 5X3 X1X2 X51X1 3X3 5x3 5X13555X2X33Xi3x25X35x153 X2X31206x11426X3 TOC o 1-5 h z 1296X1 6X2 6X3一205當X1 2,X2 0,X3扣不等式等號成立，故欲求的最大值為.(本題滿分20分)設復數乙2滿足Re z10,Re 40,且Re Z12Re Z222 (其中Re z表示復數z的實部)(1

13、)求Re zr的最小值；(2)求Z1 2 Z2 2 zi Z2的最小值.解：對k 1,2,設4 Xk yki Xk,yk R ,由條件知 222 cXk Re Zk0,Zk yk Re Zk2.因此Re z1z2Re X1y1iX2y2i X1X2y1y2J y；2v；2y1y2y佻2 丫必2.又當乙Z2 72時，Re Z1Z22 .這表明，Re q 的最小值為2.(2)對k 1,2,將1對應到直角坐標系XOy中的點Pk Xk,yk .記P2是P2關于X軸的對稱點，則P,P2均位于雙曲線C:x2 y2 2的右支上.設F1,F2分別是C的左、右焦點,易知F1 2,0 . 2,0 .根據雙曲線的定

14、義，有|Pf1| PR 2夜P2F1P2F2 2我,進而得Zi2 z2 2z1 z2Zi 2 Ziz2PF1F2 F1 PP24V7P1F2IP2F2RP2472,等號成立當且僅當F2位于線段PP2上(例如，當Z1 Z2 2 72i時，F2恰是PP2 的中點).綜上可知，|zi 2 .2 ,Z的最小值為4姓加試題一、（本題滿分 40分）如圖，在ZABC中，AB AC, I為4ABC的內 心.以A為圓心，AB為半徑作圓 一以I為圓心，舊為半徑作圓2,過點B、I的圓3與1、 2分別交于點P、Q （不同于點B）.設IP與BQ交于點R .證明：BR CR.證明：連接 舊，IC,IQ,PB,PC.由于點

15、Q在圓 2上，故舊IQ,所以 舊QIQB.又B,I,P,Q四點共圓，所以 IQB IPB,于是 舊QIPB,故 舊PsZirb ,從而有 IRB 舊P,且舊 IP,IR IC注意到AB AC ,且I為 AABC的內心，故舊IC ,所以IC IP, IR IC于是 Zicp S Airc ,故 IRC ICP.又點P在圓1的弧BC上，故 BPC 180, - A ,因此2 TOC o 1-5 h z BRC IRBIRCIBPICP360BICBPC136090 A 180- A290 ,故 BR CR.二、（本題滿分40分）設數列an定義為a1 1,an n,若 n, , oan 1什 n 1

16、,2,.an n,右 an n,求滿足arr 32017的正整數r的個數.解：由數列定義可知a l,a2 2.假設對某個r 2有& r ,我們證明對t 1,r 1 ,有ar 2t 1 2r t 1 r 2t 1,ar 2t r t r 2t.又tt歸納證明.當t 1時，由于ar r r ,由定義，ar 1ar rrr2r r 1, ar 2 ar 1r 12r r 1r1r 2 ,結論成立.設對某個1 t r 1,成立，則由定義ar 2t 1ar2tr2t r t r 2t 2r tr2t 1,ar 2t 2ar2t 1 r 2t 1 2r tr 2t1r t 1r2t 2,即結論對t 1也成

17、立.由數學歸納法知，對所有t 1,2,r 1成立，特別當 t r 1 時，有 a3r 2 1,從而 a3r 1 a3r 2 3r 2 3r 1.若將所有滿足ar r的正整數r從小到大記為口上,則由上面的結論可知1rk 121,m 1 ,從而r 1,2 2,鼠1 3rk 1,r 2,3，.由此可知,m 1 TOC o 1-5 h z rm 31220173018r的數r共有由于r.匕32017 匕二19,在1,2，,32017中滿足ar2018個,為，小.由可知，對每個k 1,2,2017, rk 1,rk2,3k 2中恰有一半滿足arr.320171由于a81 - 1與產均為奇數,而在R018

18、1，,產7中，奇數均滿足ar r,偶數均滿足arr ,其中偶數比奇數少1個.因此滿足arr 32017的正整32017 2019數r的個數為1 32017 2018 12另解：易知a4 1,a55,8a11息 2,a3 4;10,a74,a811,a9 3, a1012,a112,a12 13;a24a35an 4a131, a)414,a1528, a1613, a1729, a1812,a1930,a2011, a219, a2533,a26 8, a2734,a287, a2938包63回 39082自940 ;當正整數n足夠大時，若an 1an1,an 1ann n 1a 2an 14

19、 3n 32n 3a 5 an 4 n由以上等式易觀察出：若an35, a 306, a?136, a?25, a332n1,an2,an 36 an 5n 2,an 2k 1 n k 2,an 2k 2n k 1.因為當 n k 2 1 時，k以，當an 1時，使得an 2k 1因為a1因為a31,1 3,1an 21且m n的最小正整數 m 3n 1.31, a2210,a2332,37, a344,2 n,2n4, 2k1 3n 1,所,且 an 1 時，an 1 n,an 1 n 1 n 1 , an 2 2n 2n k 2 n 2k 1,an 2k 2n k 1 n 2k,k 2,，

20、n.1 ,所以使得am 1且m 1的最小正整數m 3 1 .1 1 ,所以使得am 1且m132 3 1.依此類推下去,_2_23 3，,1333k，2,3 1的最小正整數可知使得an 1的一切正整數n分別為設 n0 1,n11 3,n2 1 323，,即_21 3 323k，.易知n201632007n2017, an20161,an2016 1n20161n20161, an2016 22n20162n20162.an2016 2 k 1n2016n2016 2k1, an2016 2 k2n2016 k20173n2016n20162k, k2,，.,2滿足arr ,n0n1的正整數r的

21、個數為零;滿足arr ,nini 3的正整數r的個數為i 1,2，,2016.滿足13n的正整數r共有2ni 2 （偶數）個，i 1,2,2015，其中分別使得ar r和arr的各占一半.滿足馬班3 r3如7的正整數r共有32017出.2（偶數）個，其中分別使得ar r和ar r的各占一半.于是，滿足arr 32017的正整數r的個數為32017 3 2017 32017 20192016 .22三、（本題滿分50分）將33 33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使 得每種顏色的小方格的個數相等.若相鄰兩個小方格的顏色不同，則稱它們的 公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數的最小值.解：記分隔邊的

22、條數為L.首先，將方格紙按如圖分成三個區域，分別染成 三種顏色，粗線上均為分隔邊，此時共有 56條分隔邊，即L 56.粗線上均為分隔邊，此時共有56條分隔邊，即L 56.1111171616171133麒讖為淵逐 酬猛碉財除達下面證明L 56.將方格紙的行從上至下依次記為A,A2,-,A33,列從左至右依次記為BB2,B33 .行A中方格出現的顏色數記為n A，列Bi中方格出現的顏 色個數記為n Bi .三種顏色分別記為cc,C3.對于一種顏色q ,設n cj是含有Cj色方格的行數與列數之和.記1,若A行含有三方格,0,否則，類似地定義Bi,cj .于是33i 1n Bi33 3i 1 j 1Ai ,cjBi,Cj33A,CjBi,Cjn Cj .j 1 i 1j 12由于染Cj色的方格有-33363個，設含有Cj色方格的仃有a個，列有b3個，則Cj色的方格一定在這a行和b列的交叉方格中，因此ab 363,從而n Cja b 2 , ab