1、第八章矩陣特征值計(jì)算 正交變換與QR 迭代1本講內(nèi)容 正交變換 QR 迭代 Householder 變換 Givens 變換 QR 分解 Schur 分解 Hessenberg 矩陣2Householder 變換 性質(zhì)(1) 對(duì)稱：(2) 正交：(3) 對(duì)合：(4) 保模：(5) 定義：設(shè) 且 ，稱矩陣為Householder變換，或初等反射矩陣。3Householder 變換定理：設(shè) x, y Rn, x y 且 |x|2 = |y|2，則存在 n 階 Householder 變換 H，使得 y = Hx 證：取4Householder 變換定理：對(duì)任意的非零向量 x Rn，存在 House

2、holder 變換 H，使得 Hx = e1 其中 = sgn(x1)|x|2, e1= (1, 0, ., 0)T ， 的選取是為了防止在實(shí)際計(jì)算中 與 x1 互相抵消 若 x1=0, 則取 = |x|25Givens 變換定義：稱矩陣為 Givens 變換，或 旋轉(zhuǎn)變換。ij6Givens 變換 性質(zhì)(1) 只有四個(gè)元素與單位矩陣不同(2) 正交：(3) 用 G 左乘一個(gè)矩陣時(shí)，只改變?cè)摼仃囍袃尚械闹?4) 用 G 右乘一個(gè)矩陣時(shí)，只改變?cè)摼仃囍袃闪械闹?Givens 變換定理：設(shè) x = (x1, ., xi , . , xj , . , xn)T，且 xi , xj 不全為零，則存在

3、Givens 變換 G = G (i, j, )，使得 8QR 分解定理：（QR 分解）設(shè) n 階實(shí)矩陣 A 非奇異，則存在正交分解 A = QR其中 Q 是正交矩陣 ，R 是非奇異上三角矩陣 。若限定 R 的對(duì)角線元素為正數(shù)，則此分解唯一 。 9QR 分解算法設(shè) ( j = 1, . , n )(1) 構(gòu)造 H1 使得 H1 a1 = 1e1 ，令(2) 構(gòu)造 使得 ，令 算法（QR 分解）10QR 分解算法以此類推，經(jīng)過 n-1 步，可得 Householder 矩陣 H1, H2, . , Hn-1 ，使得令 ，即得11QR 分解舉例例：用 Householder 變換計(jì)算 的 QR 分解 解：(板書)12Schur 分解 定理：（Schur 分解）設(shè) A 為 n 階實(shí)矩陣，則存在正交矩陣 Q，使得 其中 Rii 是一階或二階方陣。 若 Rii 是一階方陣，則它就是 A 的特征值； 若 Rii 是二階方陣，則其特征值為 A 的兩個(gè)共軛復(fù)特征值。擬上三角矩陣13QR 迭代 QR 迭代算法 計(jì)算矩陣的所有特征值和特征向量 計(jì)算過程(1) 令 A1A(2) 對(duì) k = 1, 2, .