1、學習分形心得體會經過三十六課時的學習，分形課結束了，似乎大家都感觸頗深，這里想談談 本人的一些學習心得和體會。“分形”被認為是20世紀數學科學的最重要發現之一。我們手中拿到的這 本書是信息與計算科學專業系列叢書之一，具有該專業的特點。信息與計算科學 專業是以信息技術和計算機技術的數學基礎為研究對象的理科類專業，其目標是 培養學生具有良好的數學基礎和數學思維能力，掌握信息與計算科學基礎理論、 方法與技能，受到科學研究的訓練，能解決信息技術和科學與工程計算中的實際 問題的高級專門人才。基于以上認識，院系于是給我們信息與計算科學專業開了 分形這門課。這門課的任課老師是唐強教授，唐教授學識淵博、理論扎

2、實、內容豐富多彩， 特別能激發同學們學習的興趣。這本書的內容由淺入深，定理推導詳略得當，語 言通順，內容新穎，很多都是近年來的新成果，書后并附有大量的彩插。書中配 以大量的例題和圖片，以利于學生對內容有更好的理解；附錄適當的C語言及 BASIC程序，方便學生上機實踐。自從Euclid（歐幾里得）在兩千多年前創立幾何學以來，在漫長的歲月里， 自然科學研究人員與數學家們基本上都在Euclid空間進行研究和探索。但Euclid 幾何學不是萬能的，大自然中的許多現象都不可能由Euclid幾何來解釋。比如 樹是三維空間的實物，但能由 f （x”）來描述嗎？顯然不能。那么如何來描述 大自然幾何及其他許多E

3、uclid幾何所不能解決的問題呢？雖然歷史上曾經出現 像俄羅斯數學家Lobachevski （羅巴切夫斯基）創立的非歐幾何，但其影響有限 并且還不能解決我們當前所面臨的許多問題。分形的概念是美籍數學家曼德布羅特（B.B.Mandelbort）首先提出的。1967年 他在美國權威的科學雜志上發表了題為英國的海岸線有多長？的著名論 文。海岸線作為曲線，其特征是極不規則、極不光滑的，呈現極其蜿蜒復雜的變化。 我們不能從形狀和結構上區分這部分海岸與那部分海岸有什么本質的不同，這種 幾乎同樣程度的不規則性和復雜性，說明海岸線在形貌上是自相似的，也就是局部 形態和整體形態的相似。事實上，具有自相似性的形態

4、廣泛存在于自然界中，如: 連綿的山川、飄浮的云朵、巖石的斷裂口、布朗粒子運動的軌跡、樹冠、花菜、 大腦皮層曼德布羅特把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形 （Fractal） o后來，英國數學家法爾科內（Falconer）提出羅列分形集的性質，來給分形下 定義。如果集合F具有下面所有的或大部分的性質，它就是分形：（1）F具有精細的結構，即是說在任意小的尺度之下，它總有復雜的細節;（2）F是如此的不規則，以至它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言來 描述；（3）F通常具有某種自相似性，這種自相似性可以是近似的，也可能是統 計意義上的；（4）F在某種意義下的分形維數通常都大于它的拓撲維數；（5

5、）在多數令人感興趣的情形下，F以非常簡單的方法定義，或許以遞歸 過程產生。分形幾何學是一門以非規則幾何形態為研究對象的幾何學。由于不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建 立以后，很快就引起了許多學科的關注，這是由于它不僅在理論上，而且在實用 上都具有重要價值。它的研究對象是不光滑的、不規則的，甚至支離破碎的空間 幾何形態。比如分形的典型例子，Koch曲線便是以初等數學方法構造的一個處 處連續而點點不可微的函數曲線。典型的“數學怪物”還有Sierpinski （希爾賓 斯基）三角形，Cantor （康托爾）集等等。第一章中的幾個分形圖形都是嚴格自相似的。

6、其中von Koch曲線和Cantor 集都產生于一條稱之為基線的單位長度線段。然后遵循一個稱之為主型（motif） 曲線所提供的生成法則，在主型的每條線段上按主型線段所示生成法逐步細化， 最終生成一條分形曲線。Levy曲線，皇冠分形曲線，檜樹分形小支還有其他由 主型產生的分形曲線都是自相似的分形曲線。第二章的后面幾節作圖法都與一種叫“逃逸時間法”的作圖方法有關，而逃 逸時間法是基于迭代法的一種畫圖法。我們可理解為避域中的點軌道隨時間變化 是否逃出該區域。1980年，Mandelbrot給世人提供了一幅無與倫比的杰作：Mandelbrot集。現 在我們看到的Mandelbrot集，它具有多姿荊

7、棘的圓盤，彎曲纏繞的螺線和細絲， 掛著細微顆粒的鱗莖，無盡的斑斕色彩，意料外的精細結構，處處顯示出分形奇 特之美。20世紀80年代后，Mandelbrot集被人們當作分形學和混沌學的國際標 志出現在許多國際性論文集和刊物的封面上，成了世界巡回展出的計算機藝術 品。課上，老師為我們展示了 Mandelbrot集的視頻，它的層層嵌套中有無窮多 的自相似部分，讓人眼花繚亂。實際上，Mandelbrot集和同樣震驚世界的Julia（茹利亞）集僅僅是映射z - z 2 + c （z, ce C）的無窮次迭代。這種由數學的內在 美變成人們視覺上的美，簡直是匪夷所思。由于Mandelbrot集和Julia集

8、都源于同一個變換，因此他們之間必定有非常 復雜的關系。由于每一個常數c都對應一個j，而M一集上的每個點都是一個c，所以M一集合的所有點就對應著數以萬計的j。相近的c值，對應的j也就較 為相似。緊接著老師為我們重點講解了 L一系統。L一系統開始是作為描述植物的形 態與生長的一種方法，繼而發展成計算機圖形學中一種模擬大自然景物的有效方 法，當然也是一種重要的分形生成方法。這里可分為：簡單的向前生成單元格式， 左右生成元的混合格式，分支結構的簡單進退格式，分枝結構帶空指令的進退格 式還有隨機L系統。第五章為我們介紹了幾種重要的維數概念，什么是Hausdorff維，什么是分 形維，它們的關系以及它們們

9、的測定。這一章中我們還重點學習了重標極差分析， 它是一種針對自然現象中長期記錄的統計方法，有兩個因素：一是R，一是S。設時間區域（跨度）為T，& q）是離散整時間t時的自然現象觀察值。記& =頊強t）t=1T TX(t,T)=丈E(u)-& Tu =1R (T) = max X (t, T) min X (t, T)1tT1tT1 r ,1和 S = Z & (t) - & 22TTt=1則以實驗為基礎的關系式R /S = (cT ) H是對自然界大數據量的一個很好的描述，通常稱R/S為重標極差。式中H為Hurst 指數，c為常數。有了以上認識后，我們迎來了學習分形以來的第一次上機實驗: Hu

10、rst指數計算，提供一個function(s),s;彳亍向量。雖然實驗結果不是很理想，但是 同學們親自實踐，將理論轉化為操作，還是學到了不少東西。最后幾課時講的是分形混沌動力系統，這就不得不提到著名的“蝴蝶效應”: 一只蝴蝶在巴西輕輕扇動了一下翅膀，可以導致一個月后德克薩斯州的一場龍卷 風。這句話的來源，是由于美國氣象學家Lorenz制作了一個電腦程序，可以模 擬氣候的變化，并用圖像來表示。最后他發現，圖像是混沌的，而且十分像一只 蝴蝶張開的雙翅，因而他形象的將這一圖形以“蝴蝶扇動翅膀”的方式進行闡釋， 于是便有了上述的說法。蝴蝶效應通常用于天氣，股票市場等在一定時段難于預 測的比較復雜的系統

11、中。此效應說明，事物發展的結果，對初始條件具有極為敏 感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結果的極大差異。在學習課程中，老師還花了幾課時的時間跟我們講解MATLAB的基本知識 和操作，如數組的產生，矩陣的伸縮變換，一些常用的函數如：find函數的作用 與用法，size函數，length函數的用法，還有畫圖需要用到的plot函數。此外， 還介紹了 M文件，命令文件，函數文件的知識，這些為我們熟練使用MATLAB 軟件打下了基礎。還有我覺得比較欣賞老師的做法是，每次講完課還有多余的時間，就為我們 展示一些科學家們鮮為人知的逸聞趣事，為枯燥的課堂平添了不少生動。唐老師 還特意從網上搜一些關于分形的課外資料有視頻、歌曲給我們欣賞，可謂用心良 苦，希望同學們不僅從課堂上學到了知識，更開闊了視野，培養興趣，有機會的 話還可以沿著科學之路堅定地走下去。以前我老是覺得數學很枯燥乏味，就是一整堆的數字和公式