1、普通物理力學例題的總結x = -4 時，t = 2質點的運動軌道方程為：xyO以及 x =-4 t 0)粒子的速度、速率、加速度。例2：一質點運動函數為(SI)，求質點的運動軌道速度：速率：加速度：例：己知一質點按順時針方向沿半徑為R 的圓周運動。其路程與時間關系為(V0 、b 為常數)求: (1) t 時刻, 質點的加速度(2) t =? 時, ，此時質點己沿圓周運行了多少圈?(3) 質點何時開始逆時針方向運動?解:(1) 大小:方向:mo.t 時刻路程：(3) 由前面a t = - b 可知, 質點作減速率圓周運動。當 V 減到 0 值時，質點將終止順時針轉，而開始逆時針轉。此時刻記為 t

2、 也正是前求 a = b 的時刻 t 。例：雨天一輛客車在水平馬路上以 20 m/s 的速度向東 開行，雨滴在空中以 10 m/s 的速度垂直下落。 求：雨滴相對于車廂的速度的大小與方向。解：已知方向向東方向向下所以雨滴相對于車廂的速度大小為 22.4 m/s，方向為南偏西 。例：一人騎車向東而行，當速度為10 m/s時感到有南風，速度增加到15 m/s時，感到有東南風，求風的速度。解：xy10 m/s南風45m/s = 2715 m/so？考慮：在不同的參照系, 對同一質點的運動狀態進行描述設 t = 0 時，兩坐標系原點重合。t 時刻的運動情況如下：例：一列車（S 系）相對于地面（S系）作

3、勻速直線運動, 一人在 車廂內運動 。分別在 S、S系分別對其進行描述。S 相對 S 平動速度為 uAABrr r0OOxx y yS 系S 系u位矢變換關系式:兩邊微分再對上式求導得絕對速度=相對速度+牽連速度我們能看出什么？位移變換關系式:例：質量都等于 m 的二物 A 和 B由兩根不可伸 長的輕繩和兩個不記質量的滑輪 I、II 連接。 求: A、 B 二物的加速度和兩繩的拉力。ABIIIT1T2a1a2AmgT1a1BmgT2a2T1T2T2解：隔離物體，分別做受力分析：列動力學方程：A： mg - T1 = ma1B： mg - T2 = ma2滑輪 II： T1 = 2 T2A、B兩

4、物關聯： a2 = -2a1求解.xmgT例 2：質量為 m 的物體通過不可伸長的輕繩和不記質 量的滑輪與彈簧（彈性系數 k）連接，初始時刻 物體靜止，彈簧為原長,讓物體自由下落。 求: 物體的速度隨位置變化的關系。解：mg - T = ma列動力學方程：T = kx解: 二維空間的變力情況。(1) 選 m 為研究物體；(3) 分析受力(2) 建坐標 xoy；vx 0=v0 cosf vy 0=v0 sinf初始條件：t =0 時x = 0，y = 0 xyom例：有阻力的拋體問題：質量為 m 的炮彈，以初速度 v0 與水平 方向成仰角 射出。 若空氣阻力與速度成正比，即求: 運動軌道方程 y

5、(x)= ?(4) 列方程:分量方程分離變量分別積分(5) 解方程:消去 t ，得軌道方程：再次積分得得例 ：一根不可伸長的輕繩跨過固定在 O 點的水平光滑細桿，兩端各系一個小球。a球放在地面上，b 球被拉到水平位置，且繩剛好伸直。從這時開始將 b 球自靜止釋放。設兩球質量相同。求：(1) b 球下擺到與豎直線成 角時的 v ； (2) = ? a 球剛好離開地面。aOb(1) B的運動：解：aOb選自然坐標系列分量方程：a 球離開地面前 b 做半徑為 lb 的豎直圓周運動。由切向方程式得：(2) a 的受力和運動：mgNT當 T = mg 時，a 球剛好離地。由法向方程式得：例 5：一勻質細

6、繩，質量 m，長 L，一端固定在 O，另一端有一 質量為 M 的小球，其在光滑水平面上以 繞 O 點旋轉。 求: 繩上各點的張力。LOM隔離物體法分析繩上一小段 dm 的受力解 I：rrr+rLT(r)T(r+r)繩上張力是距 O 點距離 r 的函數: T(r)動力學方程：求解每點（無限小，m-0）合張力為0.解 II：繩某點 r 的張力可理解為此點以外各小段分別所受向心力的代數和。微元 r:r+rrrirrrLT(r)牛頓運動定律建立坐標系，取 r 處 dr 長的一微元，其作圓周運動所需向心力為：總向心力為：例： 質量為M，傾角為 的斜面放在光滑的水平桌面上，斜面光滑，長為l，斜面頂端放一個

7、質量為m的物體，開始時斜面和物體都靜止不動，求物體從斜面頂端滑到斜面底端所需時間。其中 maM 就是慣性力。而 mg 和 N 是真實力。分析物體受力物體相對于斜面有沿斜面方向的加速度a 解：以斜面為參考系(非慣性系）， maMNmg當 m 滑下時，M 加速度方向如圖：aM垂直于斜面方向: N-mgcos+maMsin=0 分析M(相對慣性系)運動，水平方向： N sin=M aM由此解得相對加速度 a=(m+M)sing / (M+msin2)列方程:沿斜面方向: mgsin+maMcos=ma方向例：水桶以 旋轉，求水面形狀？解：水面 z 軸對稱，選柱坐標系。任選水面一小質元，其在切線方向靜

8、止。rz在旋轉參考系中，做受力分析：mgmr2N切線方向：拋物線方程解：(1) 例: 已知 m 在水平面內作半徑為 R 的勻速率圓運動， (R, v) 已知， 求：(1) A 到 B 時動量的改變， (2) A 到 B 時向心力平均值及方向。xOyAB (2) 建坐標系，規定正方向解：子彈 m 在槍內水平只受力 F(t)，加速時間 0 t (N) 例: 已知子彈在槍筒內受到推進力 x0tO 其加速過程 v0 = 0 到 v = 300 m/s 求：子彈質量 m = ?子彈在槍筒內加速時間 t = ? h1 h2y例：一質量 m =1010-3 kg 的小球，從 h1 = 0.256 m 的高處

9、由靜止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度 h2 = 0.196 m ，接觸時間,求小球和桌面碰撞時對桌面的沖量是多少？若接觸時間為(1)=0.01s，(2)=0.002s, 試求小球對桌面的平均沖力。解 I：mgNmv1mv2(N mg ) = mv2 (mv1)小球和桌面碰撞時對桌面的沖量I =N = mg + = 0.01 sI = 4.3102 NSN = 4.3 (N) = 0.002 sI = 4.22102 NSN = 21.1 (N)重力的40多倍重力的200多倍小球自重（0.1N)利用沖量定理解題時一般可忽略物體自身重力產生的沖量。解 II：將動量定理應用于整個過程設下落時間為

10、 t1,上升時間為 t2,N mg ( t1+ + t2 ) = 0I = N = mg ( t1+ + t2 ) h1 h2ymgN例：繩子跨過定滑輪，兩端拴有質量為 m 和 M 的物體，M m , M 靜止在地面，當 m自由下落 h 后，繩子被拉緊，M 剛好離開地面，求繩子剛拉緊時，m 和 M 的速度及 M 能上升的最大高度。Mmh解： m 自由下落h后速度Tmgmv0mvmpTMgMvMpym:M:vm = vM = vmg T = m aT Mg = M aM 勻減速運動0 = v22aHRyxCo解：dm =l dl l = m / (R) 例: 求均勻半圓鐵環的質心（半徑為R）.d

11、由對稱性: xC=0 , 取長度為 dl 的一段鐵絲, 以 l 表示線密度dldm例： 彈性力的功。以彈簧原長為坐標原點，計算 m 由 x1 x2 彈性力的功。x1x2x 0m由此式可見,彈力的功只與小球的初末位置有關,而與移動的中間過程無關,例如若先將 m 從 x1 點向右拉伸，然后再壓縮至 x2 點, 彈力的功仍為上式hh1h2ab解：m 受力和重力方向如圖， 例： m 沿曲線由a b, 求重力的功jimg與彈性力一樣，重力所作的功只取決于運動物體的起末位置，與中間過程無關。h0h1解：建立如圖所示 h 坐標系，取離地面 h 處厚度為 dh 的一層水。將這層水吸到地面需克服重力所作元功為：

12、hdhh0例： 地下貯水池橫截面 S，池貯水深度 h1，水平面與地面間距 h0。 求：將池中水全部吸到地面所需作功 A。思路：將池中水全部吸到地面所需作 總功等于將每一層水吸到地面 所需元功的代數和。總功：例： 長度為 L、質量為 M 的均勻鏈條，置于水平光滑桌面上。開始時，有少部分鏈條（長度為a）下垂在桌外。在重力作用下，鏈條下落。求：當鏈條尾端剛剛離開桌面時的速率 v = ?解:建立坐標系 , 下端點坐標為 x 時a L，M光滑0axx思路：鏈條下落是重力做功的結果，當下落長度變化時,重力大小也變化，因此為變力做功。下落部分所受重力為：在此下落部分重力作用下鏈條向下運動 dx 所作元功：總

13、功由動能定理例: 質量為 m 的小球經長為 l 的擺線懸掛于固定點 O，開始時把小球拉到水平位置, 并自由釋放， 求擺線下擺角為 0 時小球的速率 v。O0lABdrdmgT解： 外力為繩子張力和重力，繩子張力始終與位移垂直，不作功。mg l sin0 = mvB2 0 由動能定理例1：均勻圓環對于中心垂直軸的轉動慣量三、幾種典型剛體的轉動慣量RmCdm相當于質量為 m 的質點對軸的 J如果在 R 處有一質量為 M 的均勻圓環與此圓環輕質桿剛性連接，此系統對轉軸的轉動貫量為：例2：求均勻圓盤對于中心垂直軸的轉動慣量RmCdJ = r2 dm解：在圓盤上取 r 處 dr 寬的一圓環，其 轉動慣量

14、為：思路： , 圓盤對中軸轉動慣量可看 成圓盤上分割出的無數圓環對中軸 轉動慣量的代數和。rdrCr比 R 處質量為 m 的均勻圓環中軸的轉動慣量小如果在圓盤上離中心周距離為 R 處放一質量為 M 的物體，此系統對中心軸的轉動慣量為：例3：求均勻細桿對中心軸及邊緣軸的轉動慣量CAmL2L2xdxx0對質心軸，建立如圖坐標系，取 x 處 dx 小段：利用平行軸定理：例： 求均勻圓盤對于通過其邊緣一點 O 的平行軸的轉動慣量: R C mO利用平行軸定理：得：問題：一質點相對于一轉軸有無轉動慣量？問題：轉動系統的轉動貫量是否會變？例：某飛輪直徑 d=50 cm, 繞中心垂直軸轉動，轉動慣量 J=2

15、.4 千克米2, 轉速 n0 = 1000 轉/分，若制動時閘瓦對輪的壓力為 N = 50千克力，閘瓦與輪間的滑動摩擦系數 = 0.4。問：制動后飛輪轉過多少圈停止？fd解：(1) 求 （2）求圈數例 2：如圖，設滑塊 A，重物 B及滑輪 C 的質量分別為 MA，MB，MC。滑輪 C 是半徑為 r 的均勻圓板。滑塊 A 與桌面之間，滑輪與軸承之間均無摩擦，輕繩與滑輪之間無滑動。求:（1）滑塊 A 的加速度 a （2）滑塊 A 與滑輪 C 之間繩的張力 T1， （3）滑輪 C 與重物 B 之間繩的張力 T2。ABCT2 MCg T1 N解：T1MAgNAT2MBgB解方程得：T2 MCg T1

16、NT1MAgNAT2MBgB例3:己知：質量為 m、徑為 R 的均勻圓盤。初角速度 ,繞中心軸逆時針轉動。空氣對圓盤表面單位面積的摩擦力正比其線速度,即 。不計軸承處的摩擦。求：圓盤在停止轉動時所轉過的圈數 N=?m O解：用積分法求力矩：在圓盤上選取半徑為 r、寬度為 dr 的圓環，圓環上的質元具有相同的線速度 v。則作用到圓環上的元阻力大小為:rdS思路： 變力矩問題，應用轉動定理，積分求解； 力在圓盤上有一分布，積分法求合力矩。考慮盤的上下表面，故元阻力矩大小為：總阻力矩利用剛體定軸轉動定律分離變量，并積分：例 4：均勻直桿 M ，長為 l，其一端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置。一

17、子彈質量為 m，以水平速度 v0 射入桿下端而不復出。求子彈和桿一起運動時的角速度。解: 考慮以子彈和桿組成的系統，所受外力（重力和軸支持力）對轉軸的力矩為零， 角動量守恒:mM lv0問題：如果不是桿，而是用繩懸掛一重物 M， 碰撞過程中是什么守恒？為什么？注意質點對軸的角動量的表達方式:例5：質量為M，半徑為 R 的水平放置的均勻園盤，以角速度 1 繞垂直于園盤并通過盤心的光滑軸，在水平面內轉動時，有一質量為 m 的小物塊以速度 v 垂直落在園盤的邊沿上，并粘在盤上，求：（1）小物塊粘在盤上后，盤的角速度 2 = ？（2）小物塊在碰撞過程中受到的沖量 I 的方向及大小。mvRM解: (1)

18、 以 m, M為一個系統，過程中其 所受合外力矩為零，角動量守恒碰前m對軸的角動量為零，但其動量不為零。（2）求 I 應用動量定理碰撞前后 m 動量方向不同，分方向討論。討論：1）碰撞過程中動能是否守恒？2）角動量守恒時，動量不一定守恒。方向向上方向沿切線解：桿地球系統，+只有重力作功， E守恒。初始： Ek1=0， 令 Ep1=0例6：均勻直桿 m ，長為 l，初始水平靜止，軸光滑，AO = l /4。求桿下擺 q 角后，角速度 w =?軸對桿作用力 N =?末態：則：由平行軸定理解得：另解（功能定理）：應用質心運動定理：解得：解：例 7：如圖，一勻質圓盤可在豎直平面內繞光滑的中心垂直軸旋轉

19、，初始時，圓盤處于靜止狀態，一質量為m 的粘土塊從 h 高度處自由落下，與圓盤碰撞后粘在一起，之后一起轉動。已知：M = 2m , = 600求： (1) 碰撞后瞬間盤的 0 = ? (2) P 轉到 x 軸時的 = ? = ?（1） m 自由下落碰撞 t 極小，對 m + 盤系統，沖力遠大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：動量不守恒？對m + M +地球系統，只有重力做功，E守恒，（2）P、x重合時EP=0 。令smMRkm1 h例8：勻質圓盤可繞中心豎直軸旋轉，輕繩跨過圓盤一端與彈簧相連，另一端與質量為 m 的物體相連，彈簧另一端固定在地面上，輕繩與盤無滑動，系統處于靜止狀態，此時

20、一質量為 m1 的小物塊從 h 高度處自由落下，與 m 碰撞后粘在一起。求：m 下降的最大位移 s 。解： 自由落體，碰時角動量守恒，碰后機械能守恒最大位移 sl, mv0m例 1：一光滑水平面上靜放一長為 l，質量為 m 的細直桿，今有一質量也為 m 的質點，在與桿垂直的方向上以 v0 運動，并在桿的一端和桿發生完全非彈性碰撞，求(1) 碰后質心的速度和轉動的角速度；(2) 碰撞過程中損失多少機械能。解 (1) 碰前后動量守恒，思路：考慮質點和桿組成的系統（質點系）碰撞時水平方向有無外力？水平方向無外力，故質點系動量守恒。質點系轉動過程中轉動方向上有無外力矩？無，慣性系中質心角動量守恒。碰前

21、后角動量守恒，對質心：(2) 碰前后損失機械能為：例 2： 半徑為 R 質量為 m 的均勻實心圓柱體，沿傾角為 的斜面無滑動滾下，求圓柱體的受力大小及質心的加速度。解: 對質心的平動，剛體的滾動可看作隨質心平動和剛體繞質心軸轉動的兩運動的疊加。平動滿足質心運動定理，轉動滿足轉動定律。對純滾動，滿足 vc = R， ac = R，即滾動的剛體與支撐面接觸線上的各點的瞬時速度為零，該線為瞬時轉軸。mgfN對繞質心的轉動，剛體的滾動可看作剛體隨質心平動和繞質心軸轉動的兩運動的疊加。平動滿足質心運動定理，轉動滿足轉動定律。在純滾動中，除對質心外，還能對哪條軸應用轉動定律？力學總結滾動中的摩擦力：滑動、靜摩擦力；向前、向后？此題滾動過程中，機械能是否守恒？其滾動動能怎么表達？剛體的純滾動可以看做是繞瞬時軸的轉動，如果支撐面是固定在慣性系上的，也可以對瞬時軸應用轉動定律。純滾動中剛體與支撐面接觸處的速度為零，作用于剛體的為靜摩擦力，不做功，機械能守恒。滾動動能為：定軸ORthmv0=0繩解： 輪與 m 為聯結體，輪為定軸 轉動、m 為平動，二者用繩聯系起來。m 的速度大小與輪邊緣線速度大小相等。mgT = - Tm例 3.己知：定滑輪為均勻圓盤，其上繞一細繩，繩一端固定在盤上，另一端掛重物 m。繩與輪無相對滑動，繩不可伸長。輪半徑 R = 0.2m，m = 1kg, m 下落