1、光學(xué)中的數(shù)學(xué)方法之漸近方法定義和應(yīng)用第二章 漸近方法 本章漸進方法著重介紹數(shù)學(xué)物理中的近似方法，內(nèi)容包括積分的漸近展開分析與常微分方程的漸進解法兩大部分。通過本章的學(xué)習(xí)目的是為提高數(shù)學(xué)分析的能力和將理論應(yīng)用于解決實際問題的本領(lǐng)。該方法在力學(xué)、大氣科學(xué)、物理海洋、光學(xué)、聲學(xué)等研究領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。 漸近計算是數(shù)學(xué)計算的近似方法之一，它是解析方法在一定條件下的發(fā)展，其與數(shù)值方法相結(jié)合可以提高計算的精確程度及計算速度，特別在非線性問題的處理中漸近方法具有重要的地位。1、 量級符號；2、 漸近展開；3、 漸近展開式的運算；4、 積分的漸近展開式；5、 最陡下降法；6、 駐定相位法；7、 常微分方程的

2、漸近解；第二章 漸近方法 由于某些特殊函數(shù)具有積分表示式，如果這些函數(shù)是微分方程的解，就可以得到一種以它們的拉普拉斯變換或傅立葉變換的積分表達式表達的解。因此求解積分的漸近展開式的問題在解析函數(shù)理論中就起特別重要的作用，它可以使我們得到積分解另一種表達，稱此為漸近方法。 比較函數(shù)趨于某個極限時的性質(zhì)常定義： 例： 2 漸近方法 2.1 量級符號 1) 同量級 例：稱函數(shù)f (x)至多與g (x)同階。 2 漸近方法 2.1 量級符號 2) 量級最多為 也可以說若存在某個常數(shù)A，使對定義域D某個內(nèi)點x0的鄰域V內(nèi)的所有x，滿足例： 2 漸近方法 2.1 量級符號 3) 量級小于 也可以說若存在任

3、一 ，定義域D內(nèi)點x0總有一的鄰域 存在，使得所有 ，滿足稱函數(shù)f (x)是函數(shù)g (x)的高階小量。 的意義是說 f (x)有界，而 的意義是說f (x)趨于零。 2.2 漸近展開 下面給出漸近展開的定義和它的一些性質(zhì)，討論在擴充的復(fù)平面上進行。一、 漸近序列 設(shè) ，是定義在區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)序列， 是D中的一固定點，若對每一個固定的n，有則稱 為 點的漸進序列。漸近序列可以是有限項也可以是無限項的。例如：是對零點的漸近序列。 2 漸近方法 是對于無窮的漸近序列。二、 漸近展式 設(shè) 是一個給定的函數(shù)，而 是 點的一個漸近序列，如果對每個固定的整數(shù)n，有那么稱此為 在 點的漸近展式。記為注意：

4、漸近展式與函數(shù)的級數(shù)展式不同：對確定的z值，漸近展式的項數(shù)無限增多時，所得級數(shù)一般是發(fā)散的，但若滿足漸近展式的定義式，則當(dāng) 時，取確定的項數(shù)n會得到對函數(shù)非常好的近似。 2.2 漸近展開 2 漸近方法 例1：求 當(dāng) 時的積分值。即求 時 的漸近展式。解： 余項： 2.2 漸近展開 2 漸近方法 因此，取展開式的前n項，略去余項，當(dāng) 時，其誤差量級小于所取的最后一項，符合漸近展式的定義，可記為 2.2 漸近展開 2 漸近方法 注意： 這個級數(shù)對于有限的 x 值均不收斂。但是，取確定的項數(shù)，會得到對函數(shù)很好的近似。如果僅用一項，給出的相對誤差為1/x ,結(jié)果粗略一些，但已經(jīng)足夠用了。三、 展開式系

5、數(shù)： 當(dāng) 時， 的漸近展式 的系數(shù)為證明略 2.2 漸近展開 2 漸近方法 四、 展開式的構(gòu)成 設(shè) 在區(qū)域D中有定義，若 有定義且不為零，則 是 時， 的一個直到N項的漸近展開式。當(dāng) 時， 的漸近展式 的系數(shù)為四、 展開式的構(gòu)成 當(dāng) 時， 的漸近展式 的系數(shù)為四、 展開式的構(gòu)成 當(dāng) 時， 的漸近展式 的系數(shù)為四、 展開式的構(gòu)成 證明： 首先證明 是一個漸近序列。由 的定義得 2.2 漸近展開 2 漸近方法 所以： 又因為： 故存在一個 的 鄰域使z在其中時： 所以 。由此，各個 都由這種方式定義得 2.2 漸近展開 2 漸近方法 五、 唯一性設(shè) 是在D中， 的一個已知漸近序列，若是當(dāng) 時， 直

6、到N 項的一個漸近展式，則此展式是唯一的。注意：這個定理只表示用同一個已知漸近序列表示的展開式的唯一性。但是可能有多個不同的漸近序列對應(yīng)同一個函數(shù)的漸近展式，它們可以不同，而且可以是收斂的也可是發(fā)散的。反過來，一個已知的漸近展式可以表示不止一種函數(shù)。 的一個漸近冪級數(shù)展式，記為 六、 冪函數(shù)的展式 2.2 漸近展開 2 漸近方法 則： 是D中， 時，其中一種重要的特殊情形是在D中，當(dāng) 時，如果則在D中，當(dāng) 時 2.3 漸近展式的運算若在D中，當(dāng) 時，直到N項有 則：和1. 加法：2. 乘法： 2 漸近方法 本節(jié)討論漸近展開式的普通運算，由于實際應(yīng)用中，展式多用冪函數(shù)，以下均以冪函數(shù)作為漸近序列

7、。3. 除法： 即除法為兩個函數(shù)漸近展開式分別保留到N項相除。推論： 2.3 漸近展式的運算 2 漸近方法 4. 積分 : 當(dāng) 時，若 則：其中積分沿從 到 的一條直線路徑。推論 : 當(dāng) 時，若 則： 2.3 漸近展式的運算 2 漸近方法 5. 求導(dǎo) : 當(dāng) 時，若 ，且當(dāng) 時，在D中 存在并有則在D中漸近展開式滿足可逐項積分的條件時，有推論1：在D中，當(dāng) 有 且在D中 2.3 漸近展式的運算 2 漸近方法 存在并有若在D中，漸近冪級數(shù)滿足逐項積分的條件，則推論2： 對 ，當(dāng) 時有 且 存在于相同的區(qū)域，當(dāng) 時，有則 對于解析函數(shù) ，若在區(qū)域當(dāng) 時有則在 中，當(dāng)有 2.3 漸近展式的運算 2

8、漸近方法 根據(jù)漸近展式的定義和相關(guān)運算法則，就可以討論在解析函數(shù)理論中常用的積分的漸近展式。 獲得積分漸近展式的方法有兩種把被積函數(shù)的一部分展開為級數(shù)，然后形式上逐項積分；重復(fù)地進行分部積分。一、 逐項積分法：瓦特森引理：設(shè) 2.4 積分的漸近展式 2 漸近方法 式 對Re(z) 0 成立，因為在此定義域兩邊都解析且在實軸上它們一致。可應(yīng)用瓦特森引理得到其積分的漸近展開式。做變量代換，令解：令 則例：求當(dāng) ， 的函數(shù) 的漸近展式。 2 漸近方法 則對給定的值 上述變換給出兩個解s(u)和(u)，其中 2.4 積分的漸近展式 即且兩個解分別位于最大值s=1的兩邊其中于是 2 漸近方法 2.4 積

9、分的漸近展式 可以證明且因當(dāng) 時， 故 在 有界 2 漸近方法 2.4 積分的漸近展式 則可得 與的關(guān)系：剩下要證明的是 其中 對小的 有一個麥克勞林展開式。再做代換，令 。它在 處是解析的。因為當(dāng) 時，有即與 的鄰域有兩個分支。根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論：若 解析，且 則 在 的鄰域存在解析的反函數(shù) 現(xiàn)在 在 鄰域解析，且 在 點不等于零，故在 2 漸近方法 2.4 積分的漸近展式 另一支是注意到 則對足夠小的 有 故令 的鄰域存在解析的反函數(shù) 式中 是 處 的留數(shù)，容易算出 等 。 將最后的表示式帶入被積式，并在形式上逐項積分，則由瓦特森引理，在 時，有 23 漸近方法 2.4 積分的漸近展式 式中

10、二、 分部積分法：對形式進行分部積分。在 ，且當(dāng) 時 的條件下得 。可以看出，所得積分與原來積分形式相似，故可重復(fù)同一過程。 2 漸近方法 2.4 積分的漸近展式 在 和 的一定假設(shè)條件下，式中第一項是 的積分漸近形式。 條件:（1）對 ， 連續(xù)且有界： ，同時 （2）對 ， 為實函數(shù)且連續(xù)； 存在，且 （3） （4）對所有正 ， ，且當(dāng) 時， （5）對 ， 存在，則對 當(dāng) 時 2 漸近方法 2.4 積分的漸近展式 例： 在 ， 條件下，求誤差函數(shù)的漸近展開式。令 現(xiàn)在的積分 和定理的假設(shè)相符，重復(fù)地應(yīng)用此定理，對于 可得 2 漸近方法 2.4 積分的漸近展式 如果 ，則應(yīng)將方法修改。但對這種

11、情形，可以采用下面兩節(jié)的方法，這里不再贅述。以上只把分部積分法用于上限為 的積分，現(xiàn)在考慮a和b 有限，且 的情形，即 設(shè) ，而當(dāng) ， 時 2 漸近方法 2.4 積分的漸近展式 當(dāng) ， 時，因為故最徒下降法的思路： 首先令： 則： 2 漸近方法 2.5 最陡下降法 積分 其中C 是復(fù)平面Z 上的路徑，在其中假定 緩變，且f 和g 均具有適當(dāng)?shù)恼齽t性。 其中 u 和 v 是實函數(shù)。 當(dāng)S 很大時，沿積分路徑微小位移所引起的 的微小變化會引起 注意到： 2.5 最陡下降法 也就是說，最徒下降法的本質(zhì)就是盡可能利用這樣的積分路徑：使被積函數(shù)在這個路徑上u為最大，而等于常數(shù)。這樣可以保證被積函數(shù)變化最

12、速下降，也就保證積分值只與u為最大的點（鞍點）附近的鄰域有關(guān)，從而可以漸近計算。 事實上，使等于常數(shù)的路徑也就是u變化最快的路徑。以下對此證明： 2 漸近方法 中復(fù)數(shù)項的迅速震蕩。但如選擇積分路徑使在其上 為常數(shù)， 則震蕩就會迅速消失，于是被積函數(shù)變化最速部分將為 ，而顯然其主要貢獻部分將來自u為最大點的鄰域。因而此方法的本質(zhì)是盡可能地改變積分路徑循著通過u 為最大的點，而等于常數(shù) 的路線進行。 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 證明: 令 是在 鄰近的一點，于是由得： 當(dāng) 等于常數(shù)時，應(yīng)有 ，即注意到柯西黎曼關(guān)系: 可得 此式表明因此，由極值的條件，在 點， 等于常數(shù)的方向也正是u 的最大變

13、化方向。 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 為尋找 的最大點，令 ，因而 故當(dāng)且僅當(dāng)在該點 ，時，取得極值，這樣的點稱為駐點。曲面有極大極小值的條件為 而現(xiàn)在有 ，即 ，故 ，因而 因為u是解析函數(shù)滿足拉普拉斯方程表明這里的駐點不是極值點而是鞍點，它連接曲面的“山谷”和“山脊” 沿山脊上升和山谷下降均是u最大變化方向。 對我們有意義的是山谷下降路徑，即最徒下降路徑，因為只有這一路徑上在鞍點附近對積分有顯著的貢獻，所以這種漸近計算的方法稱為：最徒下降法。 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 鞍點若 點為鞍點，即 此點的等于常數(shù)的曲線方程為 ，則通過，或 其中t是實數(shù)，t 為正代表下降路徑，t 為負

14、代表上升路徑。 由 在 點的Tailor展開式現(xiàn)在 ，若 (A為正實數(shù)) ，接近 處 ，則 ，（略去高階項） 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 因為： 還可得： 由此可以畫出實部 虛部 時的等高線如圖所示。如果 ，則圖形將更復(fù)雜，可能有三個或更多的山谷在鞍點相會。 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 現(xiàn)在可以假定起止于無限遠的積分路徑能變形到起點和終點都在山谷的路徑，這是積分收斂的要求。 積分路徑要盡可能地變形到最陡下降路徑上沿著山谷的底在鞍點處越過一個山谷進入下一個山谷。 一般說來，這種路徑由一系列曲線組成，每一個是從鞍點到無窮或到某個奇點。 以下假定 來計算一個這種路徑對積分的貢獻。 為此，

15、設(shè) 其中 。于是最陡下降路徑由下式給出或(t為正實數(shù)） 其中 取主值。計及 ，故得 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 上式的不同符號對應(yīng)于自鞍點出發(fā)的兩條最陡下降路徑。若 “+”號與第三象限的路徑有關(guān)，“-”與第一象限的路徑。 有關(guān)考慮負號時所代表的路徑如圖所示，所得的積分是負號所對應(yīng)的路徑 其中 是上式中取負號的 z值。另一路徑的積分 其中 是上式中取正號的z值。 完整的級數(shù)太繁，我們將只導(dǎo)出首項。于是，如果把C變形到通過鞍點，其方向如右圖，則可以得到 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 由于 和 都可用 t 表示 ，其中函數(shù) f 已假定是緩變的，故 和 均可用 代替。令 引理漸近計算的積分式

16、。 ，則可以得到用瓦特森負號所對應(yīng)的路徑 此式即利用最徒下降法得到的積分的漸近展開。 如果C通過鞍點的方向與前圖示相反的話，結(jié)果反號即可。例：求階乘的斯特林（Stirling)公式。（即階乘的漸近展式） 解： 已知階乘的積分表達式 符合前邊積分的形式，其中 而積分路徑C為實軸。 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 它在 時成立，現(xiàn)在我們只考慮 s此積分形式不適合用最陡下降法，但如用sz 來代替z就得出 是實數(shù)的情形。注意到 有一鞍點，且在該處 在 時：因此積分路徑應(yīng)該是 和 （零點為奇點）兩部分根據(jù)公式： 2.5 最陡下降法 2 漸近方法 這就是斯特林公式。 2.6 駐定相位法 積分 ： 2 漸

17、近方法 當(dāng)參量k 很大時可以用駐定相位法求解。從被積函數(shù) 的形式上看，可當(dāng)作波的相位。 當(dāng)k很大時，它表示一種迅速的振蕩。在積分過程中，這種振蕩正負相消，而只有在的部分， 處有平坦因而對積分的主要貢獻來自于 點附近。 使 的點稱為駐定相位點，所以這種用相位駐定鄰近的積分結(jié)果來近似代表整個區(qū)間的精確結(jié)果的方法稱為駐定相位法。 為證明對積分的主要貢獻來自駐定相位點附近，先看變量z為實變量x的情形。函數(shù) 的駐點 是使 的點，如 ，而 則稱 為 的N級駐點。 考察積分： 2.6 駐定相位法 2 漸近方法 如果積分區(qū)間(a ,b)內(nèi)f (x)沒有駐點，g (x)在(a ,b)內(nèi)可微，則可作積分變量代換，

18、而上面的積分可記為 由f (x)反演x可以表示為f 的函數(shù)，故 在積分區(qū)間是可微的。由分部積分，得 2.6 駐定相位法 2 漸近方法 等號右邊第一項在 時趨于零，其量級為 ；右邊第二項形式上與原積分一樣， 可微能對它再進行分部積分， 積分后的量級也是 ，但其前面已有系數(shù) ，故上式等 號右邊第二項的量級為 ，再繼續(xù)進行分部積分，可見整個 在k很大時量級最多為1/k的小量。 如果在積分區(qū)間內(nèi) 有一個一級駐點 ，則由于 而使 在 處失去可微性，因而不能直接進行分部積分。則： 后一個積分中把 f 作為積分變量，則 其中： 令 2.6 駐定相位法 2 漸近方法 它在駐點 處(為 型)的極限為 ，從而 也在積分區(qū)間內(nèi)可微。 由此，上面后一個積分的量級也是 現(xiàn)在來考慮前一個積分，將 按Taylor級數(shù)展開，則 2.6 駐定相位法 2 漸近方法 略去后面的高階項，計及g(x)在區(qū)間內(nèi)是x的緩變函數(shù)，于是上述 積分整個地可寫為 令 ，則 再令 ，同時考慮到 時積分限 ，則