1、第二章 線性自動調節系統的數學描述2-1 數學模型的建立數學模型定義：系統中各變量之間的相互關系用數學方程來描述，稱為系統的數學模型。系統的數學模型從兩方面來描述：（1）穩態工況代數方程（2）動態特性微分方程、傳遞函數、 響應函數、狀態變量分析法線性系統的特點當若干個裝置的輸入變量和輸出變量之間都具有線性關系時，把它們串聯、并聯或采用反饋方式連接后，總的輸入與輸出間的關系也是線性的。線性系統滿足疊加原理：當線性系統具有兩個以上輸入變量時，其系統的輸出變量等于每個輸入變量單獨作用所引起的輸出變量變化之和。非線性系統非線性系統近似線性化的原則：在某個一定的工況下，當系統參數在小范圍內變化時，可以應

2、用“小偏差法”將某些非線性系統予以線性化。小偏差法：將變量的非線性函數用臺勞公式展開為這些變量在平衡點附近的增量表達式，然后略去高于一次增量的各項，獲得近似的線性函數。設輸出量 是輸入量 的非線性函數 在平衡點 處，將 展開成臺勞級數令 ； ， 則由于 是微小增量，故可略去高階無窮小項，得到近似式1、機械系統彈簧質量系統2、電氣系統RLC串聯回路3、熱力系統基本方程熱電偶測溫特性數學模型液體加熱器根據能量平衡關系，單位時間流入和流出容器的熱量差等于儲熱量的變化率在周圍空氣溫度不變的條件下，被加熱的水向周圍散失的熱量變化設熱容4、液力系統簡單的液力系統設輸入流量在平衡點增加了 ，則按水箱質量守恒

3、定律有在小偏差工況下， 可視為常數4、氣力系統儲氣罐根據理想氣體狀態方程，假設充氣過程是等溫過程當氣罐壓力變化時， 也隨之變化，設閥2的線性化氣阻為 ，則同時假設氣容建立物理系統微分方程的基本步驟分析系統的工作原理，確定輸入和輸出變量的相互變化關系。寫出各變量之間的運動方程消去中間變量，得到輸出與輸入變量之間的微分方程。2-2 傳遞函數熱電偶測溫系統的動態特性傳遞函數 線性定常系統在零初始條件下，輸出量的拉普拉斯變換式與輸入量的拉普拉斯變換式之比稱為傳遞函數。傳遞函數反映了系統自身的動態本質。傳遞函數線性定常系統微分方程的一般式為拉式變換傳遞函數靜態放大系數及靜態方程若取 ，即微分方程所有導數

4、項為零則傳遞函數 就是靜態放大系數靜態方程反映了在穩態時輸出與輸入之間的關系2-3 脈沖響應和階躍響應典型的輸入函數單位脈沖函數單位階躍函數單位斜坡函數單位脈沖響應 定義:在輸入為單位脈沖函數時,系統輸出隨時間而變化的過程,稱為單位脈沖響應。數學表達式：函數圖形：單位脈沖函數單位脈沖響應函數：單位階躍響應函數 定義:在輸入為單位階躍函數時,系統輸出隨時間而變化的過程,稱為單位階躍響應。數學表達式：函數圖形：單位階躍函數單位階躍響應函數：熱電偶的單位脈沖響應函數及曲線單位脈沖響應曲線熱電偶的單位階躍響應函數及曲線單位階躍響應曲線2-4 基本環節及環節的聯接方式基本環節比例環節積分環節慣性環節微分

5、環節遲延環節比例環節微分方程傳遞函數特點：輸出信號能按一定比例、無遲延和無慣性地復現輸入信號的變化。因此，輸出信號和輸入信號隨時間變化的曲線形狀完全相同。比例環節（電阻、線性化的流阻、熱阻）單位階躍響應曲線積分環節微分方程 或傳遞函數特點：輸出信號與輸入信號的積分值成比例，或者說輸出信號的變化速度與輸入信號成比例。積分環節具有輸出“爬行”現象。引用積分環節可以消除被調量的偏差。積分環節（電容器、液容、熱容）單位階躍響應曲線特點：凡是輸出量反映輸入量對時間的累加值的環節都屬于積分環節。一個儲藏物質或能量的元件，若以流量為輸入信號，以表征儲藏量多少的相當于勢能的參數作為輸出信號，則這種元件的特征屬

6、于積分環節。慣性環節（一階非周期環節）微分方程 傳遞函數慣性環節單位階躍響應曲線慣性環節根分布與階躍響應間的關系慣性環節（熱電偶、水箱、儲氣罐、電加熱器、阻容電路）阻容電路特點 ：由一個阻力（熱阻、水阻、氣阻、電阻）和一個容量（熱容、水容、氣容、電容）所組成，其輸出信號是從容量上取得的勢能（溫度、水位、氣壓、電壓）。微分環節微分方程 傳遞函數微分環節單位階躍響應曲線實際微分環節微分方程 傳遞函數實際微分環節單位階躍響應曲線實際微分環節阻容電路純遲延環節定義：輸出信號的變化與輸入信號的變化完全相同，只是落后了一段時間，則這種環節為純遲延環節。動態方程：輸入信號 輸出信號傳遞函數 純遲延環節單位階

7、躍響應曲線純遲延環節純遲延環節可以看作無窮多個一階慣性環節的串聯對于慣性大的對象，當階次較高時，為了簡化其傳遞函數，常把它看作具有純遲延環節特性的對象。2.4.2系統方框圖的構成 對于一個系統在清楚系統工作原理及信號傳遞情況下，可按方框圖的基本連接形式，把各個環節的方框圖，連接成系統方框圖。 例2-5 圖中為一無源RC網絡。選取變量如圖所示，根據電路定律，寫出其微分方程組為 零初始條件下，對等式兩邊取拉氏變換，得 RC網絡方框圖 各環節方框圖 例2-6 圖中為電樞電壓控制的直流它勵電動機,描述其運動方程為 零初始條件下，對式中兩邊取拉氏變換 將同一變量的信號線連接起來，將輸入Ua(s)放在左端

8、，輸出(s)放在圖形右端，得系統方框圖如圖所示。 環節的聯接方式串聯并聯反饋聯接串聯環節的串聯串聯特點：若干個環節串聯后，總的傳遞函數等于各個環節傳遞函數的乘積?？偟膫鬟f函數與各串聯環節的串聯次序無關。但環節之間的信號必須具有單向性，即只能由前一環節影響后一環節，而后一環節不能影響前一環節。并聯環節的并聯特點：若干個環節并聯后，總的傳遞函數等于各個環節傳遞函數之代數和。示例熱電偶順極性串聯示例熱電偶反極性串聯速度式熱電偶反饋聯接環節的反饋聯接正反饋：當輸入信號和反饋信號相加時為正反饋。負反饋：當輸入信號和反饋信號相減時為負反饋。示例示例反饋聯接的重要特性當前向環節的放大系數相當大時， ，則反饋

9、系統的總的傳遞函數只取決于反饋環節的特性，而與前向環節的特性無關。方框圖的等效變換簡化的原則： 設法移動相加點（綜合點）或引出點的位置，在保證總的傳遞函數不變的條件下，消除回路間的交叉。方框圖等效變換的幾條規則相鄰相加點之間的移動在信號傳輸線上依次疊加的幾個信號，若其間沒有引出信號，則可以任意改變它們的次序而效果不變。若干個引出點相鄰，表明是同一信號傳輸到若干個地方去，若其間沒有信號輸入，則可以任意改變它們的次序，其效果不變。方框圖等效變換的幾條規則相鄰引出點之間的移動方框圖等效變換的幾條規則相加點的前移和后移方框圖等效變換的幾條規則引出點的前移和后移例2-1例2-2：圖2-31為一雙容水箱，其輸入信號為流入水流量q1或流出水流量q3，輸出信號為第二水箱的水位h2，R為線性化流阻，A1和A2分別為水箱的截面積，試寫出其傳遞函數。例2-3兩級RC濾波網絡按圖2-38(b)所示，當K=1時，帶隔離放大器的兩級RC網絡的傳遞函數為例2-4對圖2-31所示的雙容水箱，如果安裝一個浮子式水位調節器，如圖所示。試求水箱