1、二項式定理習題 二項式定理二項式展開的通項復習舊知第 項題型1 利用 的二項展開式解題解法1例1 求 的展開式直接用二項式定理展開例1 求 的展開式解法2化簡后再展開例題2 若,則 的值( )A 一定為奇數C 一定為偶數B 與n的奇偶性相反D 與n的奇偶性相同解:所以 為奇數 故選(A)思考 能用特殊值法嗎?偶偶奇A題型2 利用通項求符合要求的項或項的系數例3 求 展開式中的有理項解:令原式的有理項為:例4(04全國卷)的展開式中 的系數為_解: 設第 項為所求的系數為分析：第 k+1 項的二項式系數 - 第 k+1 項的系數-具體數值的積。解：求二項展開式的某一項,或者求滿足某種條件的項,或

2、者求某種性質的項,如含有x 項的系數,有理項,常數項等,通常要用到二項式的通項求解. 注意(1)二項式系數與系數的區別. (2) 表示第 項.3例題點評題型3 二項式定理的逆用例6 計算并求值解(1):將原式變形解:(2)原式 例題點評逆向應用公式和變形應用公式是高中數學的難點,也是重點,只有熟練掌握公式的正用,才能掌握逆向應用和變式應用題型4 求多項式的展開式中特定的項(系數)例7的展開式中, 的系數等于_解:仔細觀察所給已知條件可直接求得 的系 數是解法2運用等比數列求和公式得在 的展開式中,含有 項的系數為所以 的系數為-20例8求 展開式中 的系數。解:可逐項求得 的系數的展開式通項為

3、當 時系數為的展開式通項為當 時系數為所以 展開式中的系數為的展開式通項為當 時系數為-4求復雜的代數式的展開式中某項(某項的系數),可以逐項分析求解,常常對所給代數式進行化簡,可以減小計算量例題點評題型5 求乘積二項式展開式中特定的項(特 定項的系數)例題9:求 的展開式中 項 的系數.解的通項是的通項是的通項是由題意知解得所以 的系數為: 例題點評對于較為復雜的二項式與二項式乘積利用兩個通項之積比較方便運算題型8 三項式轉化為二項式解：三項式不能用二項式定理,必須轉化為二項式再利用二項式定理逐項分析常數項得=1107_解：原式化為其通項公式為240例題點評括號里含有三項的情況可以把某兩項合

4、并為一項,合并時要注意選擇的科學性.也可因式分解化為乘積二項式.題型6 求展開式中各項系數和解：設展開式各項系數和為1例題點評求展開式中各項系數和常用賦值法：令二項 式中的字母為1上式是恒等式，所以當且僅當x=1時， (2-1)n= =（2-1）n=1例10. 的展開式的各項系數和為_題型7：求奇數(次)項偶數(次)項系數的和(1)(2)所以（3）例題點評求二項展開式系數和，常常得用賦值法，設二項式中的字母為1或-1，得到一個或幾個等式，再根據結果求值題型9 求展開式中系數最大(小)的項解:設 項是系數最大的項,則二項式系數最大的項為第11項,即所以它們的比是例16 在 的展開式中，系數絕對值

5、最大的項 解：設系數絕對值最大的項是第r+1項，則所以當 時，系數絕對值最大的項為例17求 的展開式中數值最大的項解：設第 項是是數值最大的項展開式中數值最大的項是解決系數最大問題，通常設第 項是系數最大的項，則有由此確定r的取值例題點評題型10 整除或余數問題例18解:前面各項均能被100整除.只有 不能被100整除余數為正整數注意(1)證明:9910-1能被1000整除(2)證明:32n+2-8n-9(nN*)能被64整除(3)9192除以100的余數是 (81)(92年三南高考)(4)今天是星期日,再過290天是星期幾? (一)(5)11100-1末尾連續零的個數是 個 (3個)整除性問

6、題，余數問題，主要根據二項式定理的特點，進行添項或減項，湊成能整除的結構，展開后觀察前幾項或后幾項,再分析整除性或余數。這是解此類問題的最常用技巧。余數要為正整數例題點評題型11 近似計算問題例:計算(1)(0.997)3的近似值(精確到0.001)(2)(1.009)5的近似值(精確到0.001)例.某公司的股票今天的指數為2,以后每天的指 數都比上一天的指數增加0.2%,則100天后這 公司的股票股票指數為_(精確到0.001)解:依題意有2(1+0.2%) 100所以100天后這家公司的股票指數約為2.44點評近似計算常常利用二項式定理估算前幾項題型12 證明恒等式析:本題的左邊是一個數

7、列但不能直接求和.因為 由此分析求解兩式相加例題點評利用求和的方法來證明組合數恒等式是一種最常見的方法,證明等式常用下面的等式例20證明： 證明通項所以題型13 證明不等式例題點評利用二項式定理證明不等式,將展開式進行合理放縮鞏固練習一選擇題1(04福建)已知 展開式的常數項是1120, 其中實數 是常數,則展開式中各項系數的和 是( )C2 若 展開式中含 項的系數與含 項的 系數之比為-5,則n等于( )A 4 B 6 C 8 D 10B 3 被4除所得的系數為（ ） A0 B1 C2 D3A展開式中 的系數是_2 被22除所得的余數為 。 1353 已知 展開式中的 系數是56，則實數 的值是_ 或二填空題4.設 二項式展開式的各項系數的和為P； 二項式系數的和為S，且P+S=272，則展開式 的常數項為_108 1 求 展開式中含 一次冪的項。45x3 在 的展開式中，求： （1） 二項式系數最大的項； （2）系數絕對值最大的項； （3）系數最大的項三計算題性質復習性質1:在二項展開式中，與首末兩端等距