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1、高 等 數 學 (上)第四章 不定積分 高等數學（上）BTS總體方案設計報告第一節 原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念 定義 1 如果在區間I 內，可導函數 的導函數為 ，即對 ，都有 或則就稱 為 在區間 I 上的原函數.例如 ，故 問題1：原函數的存在性問題:原函數函數求導是否存在定理1(原函數存在定理) 定義在區間 I 上的連續函數 在 I 上一定有原函數.即：連續函數必有原函數.問題2：原函數的惟一性問題:定理2 如果函數 在區間I上的原函數存在,則它的任意兩個不同的原函數只相差一個常數.若 為 的原函數，則 的所有原函數的集合為：證 若 和 都是 的原函數,（ 為任意常

2、數） 定義2 若 為 在區間 I 上的原函數， 則稱 （ 為任意常數）為 在 I 上的不定積分，記為積分號被積函數被積表達式 稱為積分變量例1 求 .解例2 求 .解例3 設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設曲線方程為 ，根據題意知由曲線通過點（1，2），故有 .因而，所求曲線方程為所以注（）的幾何意義：考慮曲線（），使得 則（）這是一簇由一條積分曲線沿縱軸上下平移得到的在橫坐標相同的點處的切線是平行的(2) 由不定積分的定義，可知結論 微分運算與求不定積分的運算是互逆的.例如(1)(2)(3)二、 基本積分表(5)(12)(13)例4 求積分 .解三、 不定積分的性質證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）注:(1)求積分是利用積分表和積分性質來試,要變形,技巧大.設法變形為積分表中函數的線性組合形式,以求出積分的方法稱為直接積分法.(2)不是所有函數都肯定能積

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