1、函數大題的走向展望與教學建議函數是高中數學的核心內容，是中學數學各主干知識的交匯點，也是數學思想、方法的綜合點，又是初等數學與高等數學的銜接點，還是中學數學聯系實際的切入點，所以函數理所當然地成為歷年來高考的重點和熱點。函數還常與其它如數列、不等式、解幾等知識點相結合考查學生的綜合數學素養，在考查函數基礎知識的同時，往往會涉及對數學思想方法的考查，如函數與方程、分類討論、數形結合、等價轉化等。一、“函數”的高考內容首先，2015年浙江省的考試說明還未出來，我想關于“函數”的高考內容只是去年“導數”這一塊內容，將其放在IB模塊考查，而其他內容變化不會太大，摘錄如下：(一)函數概念與基本初等函數（

2、指數函數、對數函數、冪函數）1函數（1）了解函數、映射的概念，會求一些簡單的函數定義域和值域。 （2）理解函數的三種表示法：解析法、圖像法和列表法。（3）了解簡單的分段函數，并能簡單應用。（4）理解函數的單調性，會討論和證明一些簡單的函數的單調性；理解函數的奇偶性，會判斷函數的奇偶性。（5）理解函數的最大（小）值及其幾何意義，并能求出一些簡單的函數的最大（小）值。（6）會運用函數圖像理解和研究函數的性質。2指數函數（1）了解指數函數模型的實際背景。（2）理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算。（3）理解指數函數的概念，會解決與指數函數性質有關的問題。3對數函數（1）理解對數的

3、概念及其運算性質，會用用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用。（2）理解對數函數的概念；能解決與對數函數性質有關的問題。 4冪函數(1）了解冪函數的概念。(2）結合函數y=x,y=x2,y=x3,y=, y=x的圖像，了解它們的變化情況。5函數與方程了解函數零點的概念，能判斷函數在某個區間上是否存在零點。6函數模型及其應用（1）了解指數函數、對數函數以及冪函數的變化特征。（2）能利用給定的函數模型解決簡單的實際問題。概括起來，我想重點是：1.函數圖象與性質，包括定義域，值域，單調性，奇偶性，周期性，圖象變換，對稱性，函數的零點，最值等； 2.函數常與不等式、

4、數列、解析幾何等知識綜合起來考查；3.函數與方程的思想方法的運用，注意數形結合，分類討論，等價轉化等思想綜合運用。函數解題策略：突出一個性質單調性；強化一類特殊函數二次函數；體現一種思想方法數形結合；凸顯一種典型轉化變量（參數）分離；注意一個易錯點分類討論混亂。這里順便提醒：函數符號書寫正確，如與是不同意義的；函數記號認識清楚，比如：是偶函數，而不是“是偶函數”等；審題要清楚，如不單調與單調，存在與任意，不等式有解與恒成立，等等。二、近五年浙江省高考試卷“函數與導數”考查情況統計分析2010理科卷題號題型分值主要考查內容9選擇題5函數零點，三角函數10選擇題5函數與集合，對數函數概念、定義域、

5、值域、圖像22解答題14函數的極值、導數的運算，導數應用，等差數列，2010文科卷題號題型分值主要考查內容2選擇題5求對數函數，及對數運算性質9選擇題5函數零點的概念，零點的判斷21解答題15函數的極值、導數的運算，切線方程，導數應用，等差數列2011理科卷題號題型分值主要考查內容1選擇題5分段函數，求函數值10選擇題5數學語言理解，函數零點22解答題14函數的極值、導數的運算，導數應用，不等式2011文科卷題號題型分值主要考查內容5選擇題5函數的極值、圖象11填空題4求函數值、解方程21解答題15函數的單調性、導數的運算，導數應用，不等式2012理科卷題號題型分值主要考查內容9選擇題5函數的

6、性質（單調性）與不等式17填空題4函數與不等式22解答題14三次函數的導數，函數的單調性、最值 ，不等式，線性規劃，絕對值的意義2012文科卷題號題型分值主要考查內容10選擇題5函數的性質（單調性）與不等式16填空題4函數的性質（周期性、奇偶性）21解答題15三次函數的導數，函數的單調性 ，不等式，絕對值的意義2013理科卷題號題型分值主要考查內容3選擇題5對數、指數運算法則4選擇題2函數的奇偶性與三角函數，充要條件結合8選擇題5函數的極值，指數函數22解答題14三次函數的導數，導數的幾何意義，函數的單調性、最值 ，絕對值的意義2013文科卷題號題型分值主要考查內容7選擇題5二次函數，不等式1

7、6填空題4函數與不等式21解答題15三次函數的導數，導數的幾何意義，函數的單調性 、最值，絕對值的意義2014理科卷題號題型分值主要考查內容6選擇題5三次函數與不等式7選擇題5指數函數、對數函數的圖象性質10選擇題5二次函數，三角函數，絕對值的意義，函數的單調性15填空題4分段函數、復合函數與不等式22解答題14三次函數的導數，函數的單調性、最值 ，不等式，絕對值的意義2014文科卷題號題型分值主要考查內容7選擇題5三次函數與不等式8選擇題5指數函數、對數函數的圖象性質15填空題4分段函數、復合函數與方程21解答題15三次函數的導數，函數的單調性、最值 ，不等式，絕對值的意義在浙江高考試題中，

8、函數與導數（不含三角函數）占較大的比重，分值一般在2025分，題量題型：“1大兩小或三小”，但在2014年高考略有超出，有33分。近年，我們浙江在對重點內容的考查，其命題設計的追求目標有這么一種傾向：“出活題，創新意，重知識，顯能力”，函數作為重點內容之一，當然也不例外，但考查的最多的是它的工具性和思想性。而導數作為函數內容的延續，在考查導數的概念及其幾何意義的同時，著重考查了導數在函數中的應用，其命題形式也在標新立異之列，且以壓軸題的形式出現。從近三年的試題內容來看，對函數的考查，主要特點有：力重問題情境的創新，力重表述形式的新穎，力重知識點的交匯，力重能力的立意等，形式還是小題與大題并存，

9、考查的難度高、中、低檔同在。對導數的考查，則常以函數為載體，以導數為工具，以函數諸多性質和導數極值理論、單調性質、幾何意義及其應用為目標，是高考導數與函數交匯試題的顯著特點和命題趨向。再從同年份的文、理科試卷來分析，都是采用部分共同題、部分背景相似但要求不同的“姐妹題”（如2014年文科21題與理科22題），以及部分試題背景和要求完全不同的試題。把抽象思維和運算能力要求相對較高的試題放在理科卷，文科卷則將這些試題具體化，并簡化運算過程。這里需要指出的，近三年2012，2013，2014年壓軸題考查的都是“三次函數的導數，函數的單調性、最值 ，不等式，絕對值的意義”，而且解析幾何大題也與函數最值

10、有關，來進一步說明函數的重要性、工具性、思想性。三、函數大題的出題展望由于2015年高考內容與以往有較大變化，將導數列入IB模塊考察，因此，明年的高考將會不同于往年，往年將函數與導數問題列為高考壓軸題的狀況將出現變化，我認為，這里的變化將會有兩個方向：（1）仍將函數問題作為壓軸題，只是將導數內容移出；（2）壓軸題出現變數，不再只限于函數問題。當然，我認為也有不變的是：函數在整卷所占的份額應該不會變，函數在整卷中的地位不會變，函數在整卷中的題量題不會有大變，還會是“一大兩小或三小”（注：2014年理科“一大四小”文科還是“一大三小”，我認為2015年“一大四小”可能性小，因為你中要看一下近五年的

11、高考，也只有2014年的理科）。下面就函數大題的出題作一點展望，至于是否仍將作為壓軸題，我認為這要看函數大題的難度是否“夠格”，更重要的也是關鍵的，要看命題組組長的命題思路，因為組長確定函數問題作為壓軸題，函數問題的難度也就上去了。另外，可參考一下2015年的高考考試說明，一般而言，我省高考題型與考試說明一致，尤其是數學，到目前為此還沒有出現變化現象（小變化有的，如三道題選二道），當然，別的科目是有變化情況的，如語文。首先，作為大題的函數問題，以“三個二次”（即二次函數，二次方程，二次不等式）問題為最有可能。因為“三個二次”問題可以多參量，可以與絕對值結合，可以與整數性質（簡單的數論知識）結合

12、，也可與對數、指數、三角結合，等等，內容五花八門，要難度有難度，而且處理問題的思想方法豐富，分析問題解決問題的能力要求高，在以往的高考競賽中常常出現，下面摘錄一二。1.（2013年1月省學考壓軸題）（i）在區間（，1）上單調，求取值范圍；(ii) 已知存在實數，使當時恒成立，試求的最大值及此時的值。(ii)解一：（按二次函數對稱軸分類討論）具體見參考答案，這里省略。需要指出，其解答的關鍵是對各種不等關系的巧妙處理，這還是需要平時教學中有意識地加以培訓。解法二：（分離參數法）首先，由，得。由，知存在實數，使得對恒成立，2.（全國卷高考題）已知當時，恒成立。（I）證明：當時，；（II）當時，在-1

13、,1上的最大值為2，求的表達式。分析：（I）由一次函數性質可知，只要證即可；（II）先由在-1,1上的最大值為2可得，再，知對恒成立，再由二次函數性質得的圖象對稱軸為，3. （全國卷高考題）設。已知方程的兩個實根滿足。（I）當時，求證：；（II）設的圖象對稱軸為，求證：。本題將三個“二次”及函數圖象綜合在一起，涉及一元二次方程的根的分布，一元二次不等式的解特點，二次函數的圖象，還涉及二次函數的解析式的不同形式。也就當然可從不同角度得到多種解法，是一道好題，也有一定難度。其中，較好的方法是，用“兩根式”來設二次函數的解析式，即，4.（北約自主招生試題）不等式對恒成立，求的最大值。分析：設，則不等

14、式等價于，對恒成立。在分類討論過程中，有一個核心（或關鍵）部分：，如何求的最大值？這里有兩條思路：一是轉化為在直角坐標系下的非線性規劃問題，即圖解法，有超綱之嫌；二是，設代入不等式，得，將此看成關于的不等式有實數解，從而應有判別式，進而得，再驗證等號可成立。（這里特別指出：一元二次不等式有解也有判別式法，不要認為一元二次方程有解才有判別式法）5.（2009年浙江省賽題）設，證明：當時，。分析：若采用按二次函數圖象對稱軸位置討論來解時，要用二次函數的圖象特點，知的最大值總在區間端點處或圖象的頂點處取得。當然，我們也看到還有不用分類討論的方法，但用絕對值不等式性質。這里特別指出：絕對值不等式性質絕

15、對要加強，很有必要。6.（2009年浙江省夏令營試題），求證：至多有2個不同的整數滿足。分析：用反證法：假設有三個不同整數滿足，就利用兩個整數至少相差1的特點。7.（2013年外省高考試題）已知。設關于的不等式的解集為M，若，求的取值范圍。分析：首先，由得。大大縮小的取值范圍，起簡化討論的作用。再結合的圖象可由的圖象向右平移個長度單位而得到，8.（2013年浙江省賽試題）設在區間3,4上至少有一個零點，試求的最小值。分析：將方程化為，看成在直角坐標系下的直線方程，于是原點到該直線的距離為，這里采用幾何法，非常規化的思維，當然利用根的分布去分析，就比較難了。縱觀歷年的高考或競賽試題，“三個二次”

16、的問題很多，近幾年浙江省賽中都有考查，2010，2011，2012，2013，2014均有，這里不再一一列舉了，還有很多，而且命制角度還是很豐富的，難度也大，需要學生有較強的分析問題和解決問題能力，因此望大家多多收集，給學生以多角度的思考和訓練，肯定大有裨益的。當然，還是要掌握“三個二次”的基本知識和基本技能，如學會一元二次方程根的分布問題的討論方法，一元二次不等式的解集特點，二次函數的圖象與性質，等。其次，函數大題也有可能與抽象函數（函數方程）聯系救起來考查，如：1.（2001年全國卷壓軸題）設是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱，對任意的都有，且。（I）求及的值；（II）證明是周

17、期函數；（III）設，求。2.定義在R上的函數滿足：；對于均有；當時，。（I）求證：奇函數；（II）求證：。再次，函數大題也有可能與數列相結合來考查。如上面第2題的第2小題，就涉及數列求和，其方法就是裂項求和法。四、復習建議1研讀高考考試說明，把握好復習的方向遵循浙江省學科教學指導意見，把握好知識的廣度與深度，認真研讀考試說明是搞好高考復習的必要條件，要研究命題的指導思想，各知識點的高考要求，弄清哪些是必考點，哪些是重點，哪些是非重點，特別要關注哪些知識不列入高考范圍，另外，要注意研究參考卷的形式與結構特點，只有這樣，才能少做“無用功”，使復習工作更加突出重點，加強復習的目的性、針對性、有效性

18、。新的考試說明還未出來，題型是否有變化還不明朗，大家要關注。2構建函數知識網絡，掌握基本類型問題的基本解法。高考對函數定義域、值域、解析式、圖像、單調性、奇偶性、對稱性等內容的考查，往往是綜合性的，要求學生的知識脈絡一定要清晰，對有關知識、有關方法的運用一定要靈活，特別要注意：優先考慮定義域；重視函數圖像的應用，函數圖像能直觀地反映函數的許多性質，適時借助函數圖像不僅使求解易于上手，而且使解答顯得更加明快、簡捷，準確而迅速，能有效降低問題的難度，提高解題的效率。有關函數中參變量的取值范圍（尤其多參數的問題）、不等式恒成立等問題，是高考考查函數部分最常涉及的問題，是名副其實的“重量級內容”。應加

19、強這類問題的常規解題方法、常用數學思想以及常見的解題類型上進行專題學習與訓練。同時要注意這類問題的新的表現形式，注意分清“恒成立”“恒有解”“恒存在”及“成立、存在”“有解、有意義”等關鍵詞的區別與聯系，要典型問題、創新問題并舉，把握這類問題的制高點。在新的考綱（就2015，2016兩年）下，務必要特別重視“三個二次”問題的教學和訓練。3“三基”與數學思想并重歷在年各省市的高考中，均重視對數學的基本思想方法的考查。我國的數學教學具有重視“基礎知識”、“基本技能”的傳統，但是隨著時代的發展，特別是數學被廣泛應用于現代信息技術，我們的教學更應該注意學生的“基本思想方法”的訓練，也就是要夯實學生的“三基”。函數的教學應注重基礎知識，對常見函數圖象、性質要復習到位。定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性等對于這部分知識，直