1、第5章 連續時間信號與系統的復頻域分析 5.0 引言 通過前兩章的學習我們已經看到，在信號與系統的研究中，傅里葉變換是一個強有力的分析工具，很大程度上是因為相當廣泛的信號都可以表示成復指數信號的線性組合，而復指數函數是一切 LTI 系統的特征函數。傅里葉變換的理論基礎是將信號分解為正弦指數信號，即和,基于這一原理，也可以將一個信號分解為復指數信號和，從而得到拉普拉斯變換和Z變換。將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。通過本章及下一章，會看到拉氏變換和Z變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質，不僅能適用于用傅里葉變換的方法可以解決的信號與系統分析問題，而且還能解決傅

2、里葉分析方法不適用的許多方面,這主要表現在系統函數及其零極點的應用方面。本章將介紹拉氏變換的基本內容，從下面的分析可以看出，拉氏變換分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它的特例。5.1 雙邊拉普拉斯變換5.1.1 雙邊拉普拉斯變換的定義復指數信號是一切LTI系統的特征函數。如果LTI系統的單位沖激響應為h(t)，則系統對產生的響應是： 其中 當時，就是傅里葉變換。下面給出拉普拉斯變換的定義： (5.1)稱為的雙邊拉氏變換 ，其中。若，則就是的傅里葉變換。表明：連續時間傅里葉變換是拉氏變換在或是在軸上的特例。由于 (5.2)所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要

3、有合適的存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這說明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。5.1.2 雙邊拉普拉斯變換的收斂域 我們首先來看幾個常用信號的例子。例5.1分析右邊信號的拉普拉斯變換。 由拉普拉斯變換的定義 ，有 (5.3)當時上式收斂，當時，的傅里葉變換存在： (5.4)顯然，在時，使拉氏變換收斂的區域（如圖所示），包括了即（軸）。比較和，顯然有： (5.5) 當時， 可知：， (5.6) 圖5.1收斂域（例5.1） 圖5.2收斂域（例5.2）例5.2 分析右邊信號的拉普拉斯變換。由拉普拉斯變換的定義 ，有

4、 ， (5.7)將例5.1與例5.2進行比較，其拉氏變換的表達式完全相同，但收斂域不同，所以對應的原始信號也不同?？梢钥闯霎斃献儞Q表達式完全相同時并不能唯一地確定原始信號，必須結合收斂域才能唯一確定一個原始信號。由以上例子，總結如下：1、拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上的任何復數都能使拉氏變換收斂。2、使拉氏變換積分收斂的那些復數 S 的集合，稱為拉氏變換的收斂域 ROC（Region of Convergence），常用S平面的陰影部分表示。拉氏變換的 ROC 是非常重要的概念。3、不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的

5、收斂域不同。4、只有拉氏變換表達式連同相應的收斂域，才能和信號建立一一對應的關系。5、如果拉氏變換的ROC包含軸，則有 。 (5.8)5.1.3拉氏變換的幾何表示：零極點圖 若是有理函數： (5.9)我們把分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。將的全部零點（用“”標示）和極點（用“” 標示）表示在 S 平面上，就構成了零極點圖。零極點圖及其收斂域可以表示一個，最多與真實的相差一個因子M。因此，用在S平面的零點和極點來表示，它結合收斂域給出了拉氏變換的完整描述。例5.3分析 的拉氏變換及收斂域。 其拉氏變換為圖5.3 對應的收斂域 圖5.4對應的收斂域可見:拉氏變換的收斂域是各個收斂域

6、的公共部分。求信號的拉氏變換及收斂域。 解： 零點： 極點： 圖5.5 例5.4的收斂域5.1.4收斂域的特征通過上面的分析可以歸納出ROC的以下性質：1、ROC是 S 平面上平行于軸的帶狀區域。2、在ROC內無任何極點。3、時限信號的ROC是整個 S 平面。4、右邊信號的ROC是 S 平面內某一條平行于軸的直線的右邊。5、左邊信號的ROC是S平面內的一條平行于 軸的直線的左邊。6、雙邊信號的ROC如果存在，一定是S平面內平行于軸的帶形區域。例5.5 分析的拉氏變換。 解： 有極點。考查零點，令，得：顯然在也有一階零點，零極點相抵消，致使整個 S 平面上無極點。所以收斂域為整個S平面。 例5.

7、6 分析雙邊信號的拉氏變換及收斂域。 解： 當時，上述ROC有公共部分：，。收斂域如圖所示。當時，上述ROC無公共部分，表明不存在。圖5.6例5.6收斂域當是有理函數時，其ROC總是由的極點分割的。 ROC必然滿足下列規律：1、右邊信號的ROC一定是最右邊極點的右邊。2、左邊信號的ROC一定是最左邊極點的左邊。3、雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之間的帶狀區域。下面通過一個例題來看一下收斂域的分布情況。例5.7 分析對應信號的特征。可以形成三種ROC:(1)ROC：，此時是右邊信號。 (2)ROC：，此時是左邊信號(3)ROC：，此時是雙邊信號。5.2雙邊拉普拉斯變換的性質拉氏變換與傅氏變

8、換一樣具有很多重要的性質。這里只著重于ROC的討論。1、線性：若 ，；，則，ROC至少是：。 (5.10)當與無交集時，表明不存在。例5.8 ， ，；， 而 ,ROC為整個S平面 2、時移性質若 ， 則 ，ROC不變。 (5.11)3、S域平移若 ， 則 ，。 (5.12)表明：的ROC是將的ROC平移了一個。例5.9 已知,，則 ,顯然： 圖5.7 和對應的收斂域4、時域尺度變換若 ， 則 (5.13)當時，收斂； 當，收斂，所以。例5.10 已知 ， (5.14)則 的拉普拉斯變換為 (5.15)即，若信號在時域尺度變換，拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。特例： ，。 (5.16

9、)5、共軛對稱若 ，則 ， (5.17)當為實信號時，；如果是實信號且在有極點(或零點)，則一定在也有極點（或零點）。表明實信號的拉氏變換其復數零極點必共軛成對出現。6、卷積性質若 ，；，則 ，包括 (5.18)例5.11 ；則收斂域的交集為 故 ，ROC擴大 。 7、時域微分若 ，則 ,ROC包括R，有可能擴大。(5.19)8、S域微分若 ，則 ，(5.20)例5.12 已知，求。解：因為，所以?？勺C明： 。 (5.21)9、時域積分若 ， 則 ，包括。 (5.22)10、復頻域積分若 ， 則 。 (5.23)11、初值與終值定理 （1）如果是因果信號，且在不包含奇異函數，則初值定理(5.2

10、4)（2）如果是因果信號，且在不包含奇異函數，除了在可以有單階極點外，其余極點均在S平面的左半邊，則終值定理(5.25)下圖是極點在S平面的分布與終值的關系:圖5.8極點在S平面的分布與終值的關系5.3 常用雙邊拉普拉斯變換對表5. 1 常用雙邊拉普拉斯變換對信號變換ROC信號變換ROC1全部S全部S全部S5.4 雙邊拉普拉斯變換反變換一、拉氏變換反變換的定義由，若在ROC內，則：所以： 從而：由，得當從時,s從，所以： (5.26)拉氏反變換表明：可以被分解成復振幅為的復指數信號的線性組合。二、拉氏反變換的求法對有理函數形式的求反變換一般有兩種方法，即部分分式展開法和留數法。我們這里只介紹最

11、常用的部分分式法。具體如下：1、將展開為部分分式；2、根據的ROC，確定每一項的ROC；3、利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質對每一項進行反變換。例5.13 已知 ，求其反變換。解： 所以： 5.5 連續時間LTI系統的復頻域分析5.5.1 系統函數以卷積特性為基礎，可以建立LTI系統的拉氏變換分析方法，即 (5.27)其中是的拉氏變換，稱為系統函數或轉移函數。如果的ROC包括軸，則和的ROC必定包括軸，以代入，即有 (5.28)這就是LTI系統的傅里葉分析。即是系統的頻率響應。這些方法之所以成立的本質原因在于復指數函數是一LTI系統的特征函數。當以為基底分解信號時，LTI系統對輸入信號的響

12、應就是，而以為基底分解信號時，系統的輸出響應就是。連同相應的ROC也能完全描述一個LTI系統。系統的許多重要特性在及其ROC中一定有具體的體現。5.5.2 系統函數與線性常系數微分方程相當廣泛的可實現的連續時間LTI系統，都可以用零初始條件的線性常系數微分方程來表示，其一般形式為對其等式兩邊同時進行拉氏變換，可得 (5.29)是一個有理函數。的ROC需要由系統的相關特性來確定。5.5.3系統函數與系統特性在系統分析中，系統函數起著相當重要的作用，借助于系統函數來表征LTI系統，可以簡明直觀地確定系統的因果性和穩定性。1、因果性 如果時，則系統是因果的；如果時，則系統是反因果的。因此，因果系統的

13、是右邊信號，其的ROC必是最右邊極點的右邊。反因果系統的是左邊信號，的ROC必是最左邊極點的左邊。應該強調指出，由ROC的特征，反過來并不能判定系統是否因果。 ROC是最右邊極點的右邊并不一定系統因果。只有當是有理函數時，逆命題才成立。2、穩定性如果系統穩定，則必有 因此必存在。意味著的ROC必然包括軸。綜合以上兩點，可以得到：因果穩定系統的，其全部極點必須位于S平面的左半邊。例5.14 某系統的單位沖激響應,已知該系統是因果的。, 顯然ROC是最右邊極點的右邊。因為ROC包括軸，系統也是穩定的, 的全部極點都在S平面的左半邊。例5.15 有某系統的系統函數為的ROC是最右邊極點的右邊，但是非

14、有理函數,，系統是非因果的。由于ROC包括軸，該系統仍是穩定的。對 仍是非有理函數，ROC是最右邊極點的右邊，但，系統顯然是因果的。結論：1、如果一個LTI系統的系統函數是有理函數，且全部極點位于S平面的左半邊，則該系統是因果、穩定的。2、如果LTI系統的系統函數是有理函數，且系統因果，則系統函數的ROC是最右邊極點的右邊。若系統反因果，則系統函數的ROC是最左邊極點的左邊。3、如果LTI系統是穩定的，則系統函數的ROC必然包括軸。例5.16 求由下列微分方程描述的因果系統的系統函數及收斂域 解：由方程可得因系統為因果系統，故 5.5.4 系統函數零極點圖與頻率響應的幾何求值可以用零極點圖表征

15、的特征。當ROC包括軸時,以代入即可得到。以此為基礎可以用幾何求值的方法從零極點圖求得的特性。這在定性分析系統頻率特性時有很大用處。單零點情況： 零點要求出時的，可以作兩個矢量，如圖所示，則。矢量稱為零點矢量，它的長度表示，其幅角即為。 圖5.9 單零點情況 圖5.10單極點情況2、單極點情況： 極點 同理，如圖所示，直接由極點向點作矢量（稱為極點矢量），其長度的倒量為，幅角的負值即為。3、一般情況：對有理函數形式的： (5.30)因此 (5.31) (5.32) (5.33)即：從所有零點向點作零點矢量，從所有極點向點作極點矢量。所有零點矢量長度之積除以所有極點矢量長度之積即為。所有零點矢量

16、幅角之和減去所有極點矢量幅角之和即為。當取為軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值?？疾樵谳S上移動時所有零、極點矢量的長度和幅角的變化，即可得出。例5.17 一階系統： 。，隨著,單調下降，時，下降到最大值的，最大值在 時取得。相位特性，當時，隨著，逐步趨向。該系統表現為低通特性。例5.18 一階全通系統：考查零極點對稱分布的系統 ，零點矢量和極點矢量如圖所示。 （1）、該系統的在任何時候都等于1，所以稱為全通系統。 （2）、其相位特性： 圖5.11零極點對稱分布的系統5.6 系統的方框圖表示5.6.1 系統的互聯一、系統互聯的系統函數級聯：，ROC：包括。 (5.34)并聯：，ROC：包括。

17、(5.35) 3、反饋聯結： (5.36) (5.37)，ROC：包括。 (5.38)(a)級聯 (b)并聯 (c)反饋聯結圖5.12 系統互聯5.6.2 由微分方程和有理系統函數描述的因果LTI系統的方框圖表示LTI系統可以由一個線性常系數微分方程來描述： (5.39)對其進行拉氏變換有： (5.40)整理可得 (5.41)它是一個有理函數: (5.42)1、級聯結構：將的分子和分母多項式因式分解： (5.43) 一個N階的LTI系統可以分解為若干個二階系統和一階系統的級聯。在N為偶數時，可以全部組合成二階系統的級聯形式。 (5.44) 其中 (5.45)如果N為奇數，則有一個一階系統出現。

18、 圖5.13 級聯結構2、并聯結構：將的分子和分母多項式因式分解，展開為部分分式 (假定的分子階數不高于分母階數，所有極點都是單階的)，則有 (5.46)將共軛成對的復數極點對應的兩項合并： (5.47)N為偶數時又可將任兩個一階項合并為二階項，由此可得出系統的并聯結構:圖5.14 并聯結構例5.19 試寫出圖5.15所示系統的系統函數。圖 5.15例5.19圖解：本例系統由兩個積分器、兩個相加器和若干倍乘器組成。為求得系統函數，可設一中間變量 ，并寫出與激勵信號之間的變換式關系:于是由圖5.15可知將代入此式中，可求得系統函數為： （5.48） 式（5.48）是一個二階系統函數的標準形式，它

19、有兩個極點和兩個零點，只需用兩個積分器就可實現。而且，在圖5.15中，極點是以反饋環路的方式出現，有幾個極點，就有幾個反饋環路。將式（5.48）和圖5.15進行比較可以看到，系統函數中的各項系數都是很有規律地直接出現在圖中，具體而言，分子中的系數按 s 的階次依次出現在前向通路中，而分母中的系數則依次出現在反饋環路中，因此，圖5.15這種系統的實現分式稱為直接實現形式。這種直接形式的方便之處在于，根據式（5.48）這種標準形式的結構，可以直接從系統函數畫出系統框圖，或者直接從系統框圖寫出系統函數。從原理上講，雖然系統的實現可以用微分器，也可以用積分器，然而，由于積分器的抗干擾能力優于微分器，可

20、實現的精度也高于微分器，因此，實際系統往往采用積分器來實現。一般而言，對于一個高階系統，往往將其化成低階系統(如一階系統或二階系統)后再通過級聯或并聯的方式來實現，這樣做的好處是可以降低對系數精度的要求。5.7 單邊拉普拉斯變換單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析由線性常系數微分方程描述的增量線性系統具有重要的意義。5.7.1單邊拉普拉斯變換舉例 我們先給出單邊拉普拉斯變換的定義： (5.49)如果是因果信號，對其作雙邊拉氏變換和作單邊拉氏變換是完全相同的。 單邊拉氏變換也同樣存在ROC 。其ROC必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：一定位于最

21、右邊極點的右邊。單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的反變換相同。正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一般不再強調其ROC。 例5.20 分析的雙邊和單邊拉氏變換。圖5.16 作雙邊拉氏變換： ， (5.50) 作單邊拉氏變換有： ，(5.51)與不同，是因為在的部分對有作用，而對沒有任何作用所致。例5.18 已知，由于其ROC：,求其反變換。解 5.7.2 單邊拉普拉斯變換性質單邊拉氏變換具有與雙邊拉氏變換相同的大部分性質，也有幾個不同的性質。1、時域微分若 則 (5.52) (5.53)2、時域積分 (5.54)3、時延性質當是因果信號時，單邊拉氏變換的時延特性與雙邊變換時一致。即：若 ，則 ， (5.55)當不是因果信號時， (5.56)5.7.3 利用單邊拉普拉斯變換分析增量線性