1、7.2 時(shí)間序列與灰色系統(tǒng)組合模型7.2.1 灰色系統(tǒng)概述 20世紀(jì)7080年代初提出，已廣泛應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)、生態(tài)、生物等各個(gè)領(lǐng)域。 灰色系統(tǒng)是指信息部分明確、部分不明確的系統(tǒng)，已知的信息稱(chēng)為白色，未知的信息稱(chēng)為黑色。它通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的重新生成，特別沒(méi)有規(guī)律的原始數(shù)據(jù)序列通過(guò)累加或累減處理而成為具有較強(qiáng)規(guī)律性的新數(shù)列，再用微分方程來(lái)描述這一新的數(shù)列，解此微分方程即得到自變量與因變量的關(guān)系。17.2.2 GM（1,1）模型 建立GM（1,1）模型的實(shí)質(zhì)是對(duì)原始序列做一次累加生成的序列呈現(xiàn)一定的規(guī)律，然后建立一階線性微分方程模型，求得擬合曲線對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。（1）GM（1,1）預(yù)測(cè)模型 設(shè)

2、有原始序列 （7-40） 將其累加生成新數(shù)列 ， i=1，2，n （7-41）其中，相應(yīng)的微分方程為 （7-42）2累加矩陣為 （7-43）常數(shù)向量為 （7-44）應(yīng)用最小二乘法求得解的系數(shù)得 （7-45）3并帶入微分方程的解，得到時(shí)間函數(shù) （7-46）再求導(dǎo)還原得 （7-48）這兩個(gè)方程就是GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)方程。此時(shí)其實(shí)際的預(yù)測(cè)值可由下式得 （7-49）（2）GM（1,1）預(yù)測(cè)模型的檢驗(yàn)方法 根據(jù)GM（1,1）模型的預(yù)測(cè)方程可采用3種檢驗(yàn)方法，殘差的大小檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)方差檢驗(yàn)。 設(shè)t時(shí)刻的殘差為4 （7-50）殘差的均值為 （7-51）殘差的方差為 （7-52）原始序列的方差

3、值為 （7-53）后驗(yàn)差比值 和小誤差概率 為后驗(yàn)方差檢驗(yàn)的兩個(gè)重要數(shù)據(jù)。顯然，C越小，表示 越大而 越小； 大說(shuō)明原始數(shù)據(jù)的方差大，即原始數(shù)據(jù)的離散度大； 小說(shuō)明殘差方差小，殘差的離散程度小。因5此，C小表示盡管原始數(shù)據(jù)的離散程度高，但模型計(jì)算所得的值與實(shí)際值的差并不太離散。 根據(jù)C和P的大小可以綜合評(píng)定預(yù)測(cè)模型的精度，具體指標(biāo)見(jiàn)下表7.2.3 組合預(yù)測(cè)模型 在時(shí)間序列預(yù)測(cè)實(shí)踐中，對(duì)于某一時(shí)間序列預(yù)測(cè)問(wèn)題，可用各種預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。一般來(lái)說(shuō)，采用預(yù)測(cè)模型不同，預(yù)測(cè)結(jié)果也不同；一種更為科學(xué)的做法是，講不同的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合，這就是組合預(yù)測(cè)方法。為了有效地利用各種模型所提供的信息提出了組合

4、預(yù)測(cè)方法。6組合預(yù)測(cè)的類(lèi)型一般分為兩種綜合類(lèi)型：一種是權(quán)重組合；另一種是區(qū)域綜合。（1）權(quán)系數(shù)組合預(yù)測(cè)模型 組合預(yù)測(cè)的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)卮_定各個(gè)預(yù)測(cè)模型的權(quán)系數(shù)。權(quán)重模型可以用下式表示 （7-54）為了保證模型的無(wú)偏性， 應(yīng)滿(mǎn)足如下約束條件 （7-55）其中， 為不同模型組合預(yù)測(cè)值， 為不同模型的預(yù)測(cè)值， 為不同模型的權(quán)系數(shù)。7（2）區(qū)域綜合組合預(yù)測(cè)模型 區(qū)域綜合組合模型解求的是多種預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的交集。設(shè)J種預(yù)測(cè)值有置信區(qū)間 （7-59）則 的置信區(qū)間是這J個(gè)區(qū)間的交集 （7-60）若上式是空集，則依次排除最大與最小的預(yù)測(cè)值置信區(qū)間，若剩余的模型超過(guò)半數(shù)扔由上式進(jìn)行區(qū)域預(yù)測(cè)，否則重新建模。87.2

5、.4 AR(p)模型與灰色系統(tǒng)線性組合預(yù)測(cè)模型 下面我們對(duì)AR(p)模型與灰色系統(tǒng)的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型作出分析。 利用（7-54）式，J個(gè)模型組合預(yù)測(cè)的形式為 j=1,2,，J t=1,2,，N（7-61）而組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差可以表示為 （7-62）在極小化準(zhǔn)則minQ， 下，可得9如果各個(gè)預(yù)測(cè)模型的預(yù)報(bào)誤差是不相關(guān)的，則E矩陣是可逆矩陣，按最小二乘法求的最優(yōu)權(quán)向量為 （7-64）可以證明最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型的精度高于任何一個(gè)單一預(yù)測(cè)模型的精度。對(duì)于只有兩個(gè)預(yù)測(cè)模型的情況，矩陣E可表示為： （7-65） 107.3 頻域分析方法 信號(hào)頻域分析方法是傅里葉變換及離散傅里葉變換快速算法，它把一個(gè)信號(hào)

6、分解為各個(gè)不同的頻率分量，使信號(hào)的時(shí)域特征與頻域特征聯(lián)系起來(lái)，成為信號(hào)分析處理的有力工具。如對(duì)一個(gè)實(shí)測(cè)變形時(shí)間序列進(jìn)行分析時(shí)，為了求得變形中的主頻率與振幅，可以先用傅里葉變換初步確定時(shí)間序列中的主頻率，根據(jù)主頻率利用最小二乘法模擬時(shí)間序列求出系數(shù)，在對(duì)模擬值與實(shí)際觀測(cè)的殘差序列重復(fù)上述過(guò)程，直到殘差序列中不在出現(xiàn)突出的主頻率。7.3.1 經(jīng)典譜分析與現(xiàn)代譜分析 經(jīng)典的傅里葉分析有兩種方法：一種是直接法，又稱(chēng)周期圖法，它是直接對(duì)數(shù)據(jù)X（N）進(jìn)行FFT，然后取其幅度平方得到信號(hào)的功率譜11 （7-66） 這種方法計(jì)算方便，是目前常用的方法。另一種是間接法，又稱(chēng)自相關(guān)法，它是先對(duì)數(shù)據(jù)求自相關(guān)函數(shù) ，

7、然后對(duì)自相關(guān)函數(shù)作FFT得到功率譜，即 （7-67）這兩種方法本質(zhì)是一樣的，都把有限時(shí)段的數(shù)據(jù)看做是無(wú)限抽樣序列的開(kāi)窗截取后的結(jié)果。但這將出現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題：一是頻率分辨率的極限取決于抽樣數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度；二是發(fā)生信號(hào)頻譜“泄漏”現(xiàn)象，即功率譜主瓣內(nèi)的能量泄漏到旁瓣內(nèi)。127.3.2 短時(shí)傅里葉分析和小波分析 經(jīng)典的傅里葉分析和現(xiàn)代譜分析方法都是見(jiàn)建立在平穩(wěn)信號(hào)的處理基礎(chǔ)上，給出的結(jié)果顯示了信號(hào)總體所包括的各種頻率成分。短時(shí)傅里葉變換是對(duì)信號(hào)加上有限的時(shí)窗后作傅里葉分析。 （7-69）對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的分析，短時(shí)傅里葉變換存在時(shí)頻分辨率固定不變和產(chǎn)生干擾項(xiàng)的缺陷，因而應(yīng)用受到局限。 總之，頻域分析處理技術(shù)的

8、發(fā)展，使信號(hào)分析處理能力上升到一個(gè)更高的層次。137.4 變形動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析7.4.1 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析 在分析監(jiān)測(cè)橋梁在風(fēng)荷載作用下的震動(dòng)，高層建筑在風(fēng)力、溫度作用下的擺動(dòng)等這類(lèi)變形，一般采用連續(xù)的自動(dòng)記錄裝置，得到一組時(shí)間序列數(shù)據(jù)。在進(jìn)行時(shí)間序列數(shù)據(jù)處理時(shí)，往往要解釋時(shí)序數(shù)據(jù)出現(xiàn)的原因，如在變形分析中探討變形量與變形原因之間的關(guān)系，也就是尋求動(dòng)態(tài)變形原因與變形之間的關(guān)系。 因此，為了把分析變形描述成具有系統(tǒng)理論計(jì)算的動(dòng)態(tài)模型系統(tǒng)，除了把原有變形體的變形描述成時(shí)間過(guò)程外，還把變形原因描述成時(shí)間過(guò)程；因此一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的性能可以表達(dá)成 （7-70）14其中， 為變形體的變形， 為激勵(lì)。7.4.2 最小

9、二乘動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析除了時(shí)域分析外還可以用頻譜分析。最小二乘響應(yīng)分析是對(duì)輸入信號(hào) 中所包含的諧波與分量用頻譜分析法分析，然后用這些頻率采用三角函數(shù)多項(xiàng)式來(lái)模擬輸入和輸出信號(hào)。 對(duì)所選頻率在模擬輸入、輸出信號(hào)中是否重要，可以用顯著性檢驗(yàn)方法。如用選擇的k個(gè)頻率模擬的輸入信號(hào)為 ，為了檢驗(yàn)?zāi)愁l率jw是否重要，可以先除去jw，由k-1個(gè)信號(hào)對(duì)u(t)進(jìn)行模擬，則可以求得模擬信號(hào) ，若滿(mǎn)足下式 （7-73）則說(shuō)明頻率jw對(duì)，模擬u(t)是很重要的。15 7.5變形時(shí)序分析的應(yīng)用實(shí)例 為了說(shuō)明時(shí)域分析方法，我們選取某一做壩高75m、壩頂長(zhǎng)220m的面板堆石壩的安全監(jiān)測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)，下表為數(shù)據(jù)167

10、.5.1 利用AR（p）模型與GM（1,1）模型及其組合模型預(yù)測(cè)分析（1）AR(p)模型 顯然1號(hào)點(diǎn)的垂直位移是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，它具有趨勢(shì)特征，因此要首先消除趨勢(shì)項(xiàng)。我們采用擬合函數(shù)法消除趨勢(shì)項(xiàng)，擬合函數(shù)采用如下多項(xiàng)式模型 （7-74）擬合多項(xiàng)式時(shí)，對(duì)k采用添項(xiàng)法建模，從k=1開(kāi)始逐步添加，比較每次的殘差平方和 ，作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)有 （1，N-k-1） （7-75） 當(dāng)新添 不能使殘差平方和顯著下降時(shí)，則說(shuō)明擬合的多項(xiàng)式較好地表達(dá)了與t間的關(guān)系，但一般不要采用高次多項(xiàng)式。經(jīng)過(guò)計(jì)算采用如下多項(xiàng)式17 （7-76）根據(jù)建立AR(p)模型的要求，先對(duì)殘差進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)與正態(tài)性檢驗(yàn)以滿(mǎn)足要求，然后對(duì)殘差進(jìn)

11、行零化處理和標(biāo)準(zhǔn)化處理。在利用處理后的數(shù)據(jù)建立AR(p)模型，經(jīng)過(guò)模型辨識(shí)，按FPE原則，AR(p)模型的階數(shù)p=2,模型系數(shù)為-0.6726,0.2988，即 （7-77）其中，這里 為零化處理和標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)據(jù)。（2）GM（1,1）模型 利用第1期到第30期的垂直位移數(shù)據(jù)，建立GM(1,1)模型，并對(duì)第31期到第48期的位移進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)利用等維新信息模型，增加相同個(gè)數(shù)的新息與去掉相同個(gè)數(shù)的舊息同時(shí)進(jìn)行。18（3）組合模型 為了建立組合預(yù)測(cè)模型，我們將AR(p)模型與灰色系統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行組合預(yù)測(cè)，為了求得組合預(yù)測(cè)的系數(shù)，利用式（7-64）對(duì)AR(p)模型與灰色系統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)的第31期到第42期數(shù)據(jù)計(jì)算組合預(yù)測(cè)系數(shù)，并利用結(jié)果組合預(yù)測(cè)第43期到第48期。7.5.2 利用傅里葉變換進(jìn)行頻域分析 為了說(shuō)明傅里葉變換對(duì)時(shí)間時(shí)間序列處理方法，我們按下式（7-78）模擬的時(shí)間序列，模擬偶然誤差為2，采樣間隔為0.001，根據(jù)申農(nóng)采集定律，可以分辨最高頻率不超過(guò)500的信號(hào)。得到原始時(shí)間序列。 （7-78）19 顯然，直接從原始時(shí)間序列圖中識(shí)別出規(guī)律是困難的。利用傅里葉變換，將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行分析，得到下圖的頻譜。20 從變換后的頻譜圖可以看到兩個(gè)明顯的波峰頻率分別為