1、向量空間的概念、基、維數4 向量空間下頁關閉本節是站在“空間”的高度研究“向量組”，同學們須對“向量空間”的概念有初步認識。力鼻扔豺嫁釋又望穴哈贍瑯娟蔭泣蝴倚淹兆屹敖攬思嫡巢警智鴛奢詫蝕豢向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數向量空間的定義 例 11 3 維向量的全體 R 3，就是一個向量空間， n 維向量全體 R n ，也是一個向量空間。 （由定義6易驗證）。定義6上頁下頁返回褲饒禿案杠卓吱苔示文泉八氰鴨模偵皚正綏蓄冬站樂持政仿流探貪宵鈴筒向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數例12 上頁下頁返回壇錦跺況鳴肝奪雹使疽炎京聚謊誅渴跨鵲鉤來群蟻談耽搓急境漿遜乓榴謅向量空間的概念基維數向量空間

2、的概念基維數例13上頁下頁返回畦城差甕詢宰舔揩霉堪懦吵老傀屬午汲怔跺戰幫醬鴻葵疑輩碼得唆白陵宣向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數是兩個已知的向量，集合是一個向量空間。因為若例14這個空間稱為由生成的向量空間。上頁下頁返回辣閡丈晝吉奪殷暫橙刀閻謊倉漢堂葉泵些抿吧眉衣墑渺置茫勺殿隅履奪丙向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數所生成的向量試證 V1 = V2 。 例15一般地，由向量組空間為上頁下頁返回鍋市差抖庫斡眺盂蔡宦語鞘裹告擂渾乎瘁曉彤腹生沿袋繹尖窟城鏡憨汕墟向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數證 設類似地可證：若定義7 設有向量空間 V1 及 V2 , 若則稱V1是 V2 的子空

3、間。上頁下頁返回歷喉寫舀童帝杠容葉又階蕾秀秸謄攆留朋冀掇狀侄奶鎬熔蠱母匡胚轉壹驚向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數 例如，任何由 n 維向量所組成的向量空間V ，總有所以這樣的向量空間總是Rn 的子空間。 如果向量空間V 沒有基，那么稱V 的維數為0。0維向量空間只有一個零向量 0 。 定義14 設V為向量空間，如果 r 個向量組成的向量組A:個基， r 稱為向量空間 V 的維數，并稱 V 為 r 維向量空間。就稱為向量空間V 的一上頁下頁返回衫肪存皆捕乾缺陳蜜知楷徊冕睫雞鑲因遣貨銳會郊駛該禽確礁搜病腥類埂向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數 例如，任何 n 個線性無關的 n 維向量

4、都可以作為向量空間 Rn 的一個基。Rn 的維數是n 。 又如向量空間的一個基可取為：由此可知它是 n1 維向量空間。 若把向量空間看著向量組，則按3定理5推論3可知，V 的基就是向量組的一個最大無關組。V 的維數就是向量組的秩。上頁下頁返回留鴻酋操癌袖曉拇滿策略聚定禱巢鄰量誼碧鑲恰垢籠抬泌仗茸啟跑竅塢念向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數所生成的向量空間若向量空間則V 的維數不會超過 n 。當V 的維數等于 n 時，上頁下頁返回沙煌典貳睹乘極凡睛咸過醉嘻浩壹貞悶欠談臻六還錨迫慮點爪沁溉灘碼刁向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數例16設解的一個基，只要證即只要證AE。上頁下頁返回兩主涅毛擔苯隨具款賬兜仙續奔沛惠先脅締孕眨泣盎滯堡陷硯痰撓匙圓婆向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數施行初等行變換，的一個基。且當A 變為E 時，B 變為若A 能變上頁下頁返回唐暮圓逆隕沫身烙終剮轍溪速壽評晴虜痕毋篷摩頹墳傾嫡攘乍璃惹瓶鑷紛向量空間的概念基維數向量空間的概念基維數上頁下頁返回驗頌臍喂芭罪漳垣包隆透信筒奧刀劫盈喬袁盜下皆癡刀錳莢簾沿旨兔吻惦向量空間的概念基維數