1、北京市第一一中學(xué) 方 明 4/4 基本計(jì)數(shù)原理教案 北京市第一一中學(xué) 方明 課題基本計(jì)數(shù)原理使用教材人教B版選修2-3授課年級(jí)高二年級(jí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：（1）理解分類加法計(jì)數(shù)原理，分步乘法計(jì)數(shù)原理；（2）能根據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)數(shù)方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；過(guò)程與方法：（1）從實(shí)例入手，讓學(xué)生理解計(jì)數(shù)問(wèn)題的一般步驟；（2）在分析問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形圖，流程圖等形象直觀解決問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力； 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：（1）計(jì)數(shù)問(wèn)題與生活息息相關(guān)，通過(guò)學(xué)習(xí)能正確的解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；（2）激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考與鉆研問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)

2、原理及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)用原理分析問(wèn)題、解決問(wèn)題；合理選擇分類或分步解決問(wèn)題教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一基本計(jì)數(shù)原理二原理的應(yīng)用三總結(jié)四進(jìn)一步的思考學(xué)校體育器材室有兩種球類可以外借，其中有3個(gè)編號(hào)不同的籃球，4個(gè)編號(hào)不同的足球，（1）同學(xué)甲想借一個(gè)球，共有多少種不同的借法；問(wèn)：7種方法可以怎樣分類？對(duì)應(yīng)的如何列式？（PPT呈現(xiàn)分類加法計(jì)數(shù)原理）（2）同學(xué)甲想借一個(gè)籃球和一個(gè)足球，共有多少種不同的借法.問(wèn)：只借一個(gè)球能完成任務(wù)嗎？ 共有幾種方法？如何列式？ 列式依據(jù)是什么？（PPT呈現(xiàn)分步乘法計(jì)數(shù)原理）按球類，按編號(hào)，引出分類加法原理與分步乘法原理，體會(huì)分類的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)列式的影響；體會(huì)分步

3、與分類的區(qū)別；球場(chǎng)上，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)正進(jìn)行傳球練習(xí)，由甲先發(fā)球，經(jīng)過(guò)次傳球后，球回到甲的手中，共有多少種不同的傳球方法？問(wèn)：每次傳球有怎樣的約束條件？ 最小是多少？當(dāng)時(shí)，要完成的事情是什么？第一次傳球有什么約束條件？共有幾種滿足要求的傳球方法？分別是什么？能用分類加法計(jì)數(shù)原理或者分步乘法計(jì)數(shù)原理列式得出結(jié)果嗎？當(dāng)時(shí)，要完成的事情是什么？這兩次傳球都有什么約束條件？共有幾種滿足要求的傳球方法？分別是什么？能用分類加法計(jì)數(shù)原理或者分步乘法計(jì)數(shù)原理列式得出結(jié)果嗎？當(dāng)時(shí)，要完成的事情是什么？學(xué)生思考，互相討論，課堂交流學(xué)生可能的方法：樹(shù)形圖法，利用計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)，間接法，遞推的思想.引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)流程圖

4、，并用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己見(jiàn)解，引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)原理角度分析問(wèn)題.1、計(jì)數(shù)問(wèn)題處處存在，計(jì)數(shù)前先對(duì)問(wèn)題有個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)；2、根據(jù)具體問(wèn)題，選擇不同方法；3、不同的方法，不同的特點(diǎn)；更一般的，次傳球，一共有多少種不同的傳球方法？丁也加入傳球練習(xí)，四人傳球，由甲先發(fā)球，經(jīng)過(guò)次傳球后，球回到甲的手中，共有多少種不同的傳球方法？分析約束條件：傳球只能傳給別人，第一次與最后一次都有甲的參與；最小是2學(xué)生可能的方法：樹(shù)形圖，結(jié)合流程圖，用計(jì)數(shù)原理；規(guī)律明顯問(wèn)題，考慮遞推法.初步體會(huì)問(wèn)題中的約束條件，并從簡(jiǎn)單情況入手.結(jié)合具體情況體會(huì)約束條件，并嘗試初步畫(huà)流程圖，應(yīng)用原理分析問(wèn)題.結(jié)合具體情況進(jìn)一

5、步體會(huì)約束條件，理解特殊位置，特殊元素，并畫(huà)流程圖，應(yīng)用原理分析問(wèn)題.學(xué)生嘗試從多個(gè)角度去解決問(wèn)題，感受原理的應(yīng)用，感受分類的原因以及分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，感受流程圖的直觀.總結(jié)計(jì)數(shù)的方法，能結(jié)合具體問(wèn)題選擇恰當(dāng)方法.進(jìn)一步研究這個(gè)問(wèn)題的普遍規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步的探索.教學(xué)反思一、內(nèi)容分析這是高二計(jì)數(shù)原理的第一課時(shí)基本計(jì)數(shù)原理，以前我在講這節(jié)課時(shí)，經(jīng)常是在給出兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理以后，緊跟著是大量的鞏固練習(xí).由于這些練習(xí)題往往都比較基礎(chǔ)，學(xué)生缺乏深入的思考，也就沒(méi)有太多的沉淀.老師的思考深度決定了學(xué)生思考的深度，設(shè)計(jì)這節(jié)課之前，我思考著幾個(gè)問(wèn)題.（1）學(xué)生對(duì)于計(jì)數(shù)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)有多少？據(jù)我的了解，學(xué)生從小學(xué)

6、就開(kāi)始接觸計(jì)數(shù)問(wèn)題，他們能借助樹(shù)形圖較好地完成簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，也初步了解兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的想法，但是對(duì)兩個(gè)原理的理解與表述有待提升.（2）兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理在計(jì)數(shù)問(wèn)題中的地位是什么？基本計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的最基本、最重要的方法，也是后續(xù)學(xué)生推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)、二項(xiàng)式定理系數(shù)的有效工具，它貫穿于這一章節(jié)始終.（3）兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的教育價(jià)值是什么？計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)不僅是讓學(xué)生掌握了一種計(jì)數(shù)方法，更重要的是讓學(xué)生掌握了有序分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，這種有序分析問(wèn)題的思想影響學(xué)生未來(lái)的思考方式.基于以上的分析，我設(shè)計(jì)了教學(xué)流程.從兩個(gè)具體的例子引出兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，然后應(yīng)用原理解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生理

7、解計(jì)數(shù)問(wèn)題的一般思考過(guò)程、計(jì)數(shù)方法、核心思想.在應(yīng)用原理部分，從較簡(jiǎn)單的情況入手，依次考慮“”的情形，并得到解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的一般思考過(guò)程：要完成的事情是什么？有什么約束條件？結(jié)合具體問(wèn)題選用怎樣的計(jì)數(shù)方法？在具體計(jì)數(shù)方法的選擇上，總數(shù)較小問(wèn)題優(yōu)先數(shù)形圖法；復(fù)雜問(wèn)題可以借助流程圖，并利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)；對(duì)于規(guī)律明顯的問(wèn)題，學(xué)生嘗試用遞推關(guān)系法，建立遞推的過(guò)程也是兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理進(jìn)一步的應(yīng)用.結(jié)合具體的問(wèn)題，學(xué)生逐漸關(guān)注問(wèn)題中的特殊元素、特殊位置等，理解特殊要求優(yōu)先考慮的想法.二、授課后的總結(jié)與反思從授課的情況來(lái)看，由于問(wèn)題比較有挑戰(zhàn)性，學(xué)生興趣很高，課堂中學(xué)生的交流與表達(dá)比較充分，課堂現(xiàn)場(chǎng)生

8、成很多，高于我的預(yù)期.引出兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理以后，后續(xù)的教學(xué)圍繞下面問(wèn)題展開(kāi)：“球場(chǎng)上，甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)正進(jìn)行傳球練習(xí)，由甲先發(fā)球，經(jīng)過(guò)次傳球后，球回到甲的手中，共有多少種不同的傳球方法？”當(dāng)分別取時(shí)，學(xué)生能熟練運(yùn)用樹(shù)形圖法進(jìn)行計(jì)數(shù)從而解決問(wèn)題，也能借助于流程圖用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理列式求解.隨著研究的深入，學(xué)生嘗試著去尋找這個(gè)問(wèn)題的遞推關(guān)系，而遞推關(guān)系的得到必須建立在學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理熟練掌握的基礎(chǔ)上.如何把這部分內(nèi)容講清楚？雖然我事先做了很多準(zhǔn)備，但學(xué)生在課堂上的情況卻打亂了我的預(yù)設(shè).先是學(xué)生甲用了比較復(fù)雜的方法建立了遞推關(guān)系，學(xué)生甲說(shuō)：設(shè)經(jīng)過(guò)次傳球后，球回到甲手中的不同傳球方法數(shù)為；回到

9、乙手中的不同傳球方法數(shù)為；回到丙手中的不同傳球方法數(shù)為，借助于分類加法計(jì)數(shù)原理得到了以下遞推：由于學(xué)生甲的方法復(fù)雜、抽象，學(xué)生乙舉手提問(wèn)，說(shuō)聽(tīng)不懂.課堂意外情況發(fā)生了，怎么辦？我當(dāng)時(shí)處理還是比較恰當(dāng)?shù)模覍?duì)學(xué)生乙說(shuō)：“你有什么不懂的，直接與學(xué)生甲互相對(duì)話解決吧.”就這樣，兩個(gè)學(xué)生在課堂上一個(gè)問(wèn)一個(gè)解釋，雖然學(xué)生乙還是沒(méi)完全明白，可是學(xué)生丙卻領(lǐng)會(huì)了甲的想法，也站起來(lái)參與討論，課堂十分活躍.整個(gè)對(duì)話過(guò)程中，其余同學(xué)也是頻頻點(diǎn)頭，最后乙也明白了遞推的由來(lái).更讓我驚訝的是，乙最后居然還給出了比較簡(jiǎn)潔的遞推關(guān)系，并從兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的角度給予了論證.在這些同學(xué)的帶領(lǐng)下，學(xué)生丁提出了一種更簡(jiǎn)潔的遞推關(guān)系：

10、，這些遞推方法居然都有學(xué)生想出來(lái)了.我想，課堂的生成不可預(yù)判，課堂的生成需要老師的鋪墊，課堂的生成更需要我們耐心等待.毫無(wú)疑問(wèn)，學(xué)生思維上的困惑是課堂教學(xué)最有價(jià)值的素材，學(xué)生之間的交流不僅利于學(xué)生解開(kāi)困惑，也有利于表達(dá)能力的培養(yǎng).在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，師生交流、生生交流都很充分.老師更多的是課堂的組織者與指導(dǎo)者，學(xué)生才是問(wèn)題的解決者.在這種良好的教學(xué)氛圍中，學(xué)生的認(rèn)知更自然，學(xué)生的認(rèn)識(shí)更深刻，學(xué)生獲得的知識(shí)對(duì)未來(lái)的影響更深遠(yuǎn).這節(jié)課授課過(guò)程有些地方處理的不是很理想.本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生經(jīng)歷探索，的過(guò)程，能畫(huà)流程圖理解并解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，理解流程圖的直觀性.我甚至于設(shè)想過(guò)如果學(xué)生想不出遞推方法，就讓學(xué)生繼續(xù)研究的情況，進(jìn)一步地理解流程圖在計(jì)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用.然而，學(xué)生對(duì)遞推的敏銳性，打破了我的計(jì)劃.在的時(shí)候就有學(xué)生提到了遞推法解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)流程圖的理解不夠深入.造成這種情況的原因