1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知，分別是三個內角，的對邊，則（ ）ABCD2已知實數滿足線性約束條件，則的取值范圍為（ ）A(-2,-1B(-1,4C-2,4)D0,43已知函數,則方程的實數根的個數是（ ）ABCD4已知向量與向量平行，且，則（ ）ABCD5在聲

2、學中，聲強級（單位：）由公式給出，其中為聲強（單位：）.，那么（ ）ABCD6函數的圖象為C，以下結論中正確的是（ ）圖象C關于直線對稱；圖象C關于點對稱；由y =2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.ABCD7中國古代數學名著九章算術中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為( ) A3B3.4C3.8D48在區間上隨機取一個數，使直線與圓相交的概率為（ ）ABCD9已知隨機變量服從正態分布，（ ）ABCD10已知函數，若，則等于（ ）A-3B-1C3D011九章算術

3、勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（ ）ABCD12在長方體中，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在四棱錐中，底面為正方形，面分別是棱的中點，過的平面交棱于點，則四邊形面積為_.14如圖，在體積為V的圓柱中，以線段上的點O為項點，上下底面為底面的兩個圓錐的體積分別

4、為，則的值是_.15若實數，滿足，則的最小值為_16實數，滿足約束條件，則的最大值為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知，且.（1）求的最小值；（2）證明：.18（12分）已知離心率為的橢圓經過點.(1)求橢圓的方程；(2)薦橢圓的右焦點為，過點的直線與橢圓分別交于，若直線、的斜率成等差數列，請問的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.19（12分）設函數（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意都有，求實數的取值范圍20（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右準線方程為x2，且兩焦點與短軸

5、的一個頂點構成等腰直角三角形（1）求橢圓C的方程；（2）假設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點若A為橢圓的上頂點，M為線段AB中點，連接OM并延長交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長；若原點O到直線l的距離為1，并且OAOB=，當4556時，求OAB的面積S的范圍21（12分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于，兩點，為坐標原點.（1）若直線過橢圓的上頂點，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點，直線，的斜率分別為，求的值.22（10分）已知為各項均為整數的等差數列，為的前項和，若為和的等比中項，.（1）求數列的通項公式；（2）

6、若，求最大的正整數，使得.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】原式由正弦定理化簡得，由于，可求的值.【詳解】解：由及正弦定理得.因為，所以代入上式化簡得.由于，所以.又，故.故選：C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.2B【解析】作出可行域，表示可行域內點與定點連線斜率，觀察可行域可得最小值【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內點與定點連線斜率，過與直線平行的直線斜率為1，故選：B【點睛】本題考查簡單的非線性規劃解題

7、關鍵是理解非線性目標函數的幾何意義，本題表示動點與定點連線斜率，由直線與可行域的關系可得結論3D【解析】畫出函數 ,將方程看作交點個數，運用圖象判斷根的個數【詳解】畫出函數令有兩解 ，則分別有3個，2個解，故方程的實數根的個數是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考查了函數的圖象的運用，分類思想的運用，數學結合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題4B【解析】設，根據題意得出關于、的方程組，解出這兩個未知數的值，即可得出向量的坐標.【詳解】設，且，由得，即，由，所以，解得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查向量坐標的求解，涉及共線向量的坐標表示和向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中等題

8、.5D【解析】由得，分別算出和的值，從而得到的值.【詳解】，當時，當時，故選：D.【點睛】本小題主要考查對數運算，屬于基礎題.6B【解析】根據三角函數的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識，判斷出正確的結論.【詳解】因為，又，所以正確.，所以正確.將的圖象向右平移個單位長度，得，所以錯誤.所以正確，錯誤.故選:B【點睛】本小題主要考查三角函數的對稱軸、對稱中心，考查三角函數圖象變換，屬于基礎題.7D【解析】根據三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數.【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【點睛】本題考查由三視圖還

9、原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎題.8C【解析】根據直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心，半徑，直線與圓相交，所以，解得 所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，幾何概型，屬于中檔題.9B【解析】利用正態分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.10D【解析】分析：因為題設中給出了的值，要求的值，故應考慮兩者之間滿足的關系.詳解：由題設有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數的表示方法，解題時注意根據問題的

10、條件和求解的結論之間的關系去尋找函數的解析式要滿足的關系. 11C【解析】由題意知：，設，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，設，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎題.12C【解析】在長方體中， 得與平面交于，過做于，可證平面，可得為所求解的角，解，即可求出結論.【詳解】在長方體中，平面即為平面，過做于，平面，平面，平面，為與平面所成角，在，直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，

11、屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設是中點，由于分別是棱的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形.由于平面，所以，而，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四邊形是矩形. 而.從而.故答案為：.【點睛】本小題主要考查空間平面圖形面積的計算，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.14【解析】根據圓柱的體積為，以及圓錐的體積公式，計算即得.【詳解】由題得，得.故答案為：【點睛】本題主要考查圓錐體的體積，是基礎題.15【解析】由約束條件先畫出可行域，然后求目標函數的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當平行線經過

12、點時取到最小值，由可得，此時，所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規劃的知識，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標函數，結合圖形求出最值，需要掌握解題方法.1610【解析】畫出可行域，根據目標函數截距可求.【詳解】解：作出可行域如下：由得，平移直線，當經過點時，截距最小，最大解得的最大值為10故答案為：10【點睛】考查可行域的畫法及目標函數最大值的求法，基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）關鍵是配湊系數，進而利用基本不等式得證【詳解】（1），當且僅當“”時取等號，故的

13、最小值為；（2），當且僅當時取等號，此時故【點睛】本題主要考查基本不等式的運用，屬于基礎題18 (1)；(2)是，【解析】(1)根據及可得，再將點代入橢圓的方程與聯立解出，即可求出橢圓的方程； (2) 可設所在直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，用根與系數的關系求出，然后將直線、的斜率、分別用表示，利用可求出，從而可確定點恒在一條直線上，結合圖形即可求出的面積【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以，即，又，所以，因為點在橢圓上，所以，由解得，所以橢圓C的方程為(1)可知，可設所在直線的方程為，由，得，設，則，設直線、的斜率分別為、，因為三點共線，所以，即，所以，又，因為直線、的斜率成等

14、差數列，所以，即，化簡得，即點恒在一條直線上，又因為直線方程為，且，所以是定值.【點睛】本題主要考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系及橢圓中的定值問題，屬于中檔題19（1）（2）【解析】利用零點分區間法，去掉絕對值符號分組討論求并集，對恒成立，則，由三角不等式，得求解【詳解】解：當時，不等式即為，可得或或，解得或或，則原不等式的解集為 若對任意、都有，即為， 由，當取得等號，則，由，可得，則的取值范圍是【點睛】本題考查含有兩個絕對值符號的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問題. （1）含有兩個絕對值符號的不等式常用解法可用零點分區間法去掉絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(

15、組)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立問題轉化為函數最值問題.20（1）x22+y2=1；（2）OB=173；106,225.【解析】（1）根據橢圓的幾何性質可得到a2，b2；（2）聯立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB，利用點到直線的距離公式求得原點到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調性求最值可得值域【詳解】（1）因為兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成等腰直角三角形，所以a=2c，又由右準線方程為x=2，得到a2c=2，解得a=2,c=1，所以b2=a2-c2=1 所以，橢圓C的方程為x22+y2=1 （2）設B(x1,y1)，而A(0,1)，則M(x12,1+y12)， O

16、N=62OM， N(6x14,6(1+y1)4)因為點B,N都在橢圓上，所以x122+y12=13x1216+3(1+y1)28=1，將下式兩邊同時乘以83再減去上式，解得y1=13，x12=169 所以OB=x12+y12=169+(13)2=173 由原點O到直線l的距離為1，得|m|1+k2=1，化簡得：1+k2=m2 聯立直線l的方程與橢圓C的方程：y=kx+mx22+y2=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0設A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2，且=8k20 OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx

17、1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)2m2-21+2k2-4k2m21+2k2+m2=2m2-2+2k2m2-2k2-4k2m2+m2+2k2m21+2k2 =3m2-2-2k21+2k2=1+k21+2k2=，所以k2=1-2-1OAB的面積S=121AB=121+k2|x1-x2|=121+k2(x1+x2)2-4x1x2=121+k28k2(1+2k2)2=2(1+k2)k2(1+2k2)2=2(1-)，因為S=2(1-)在45,56為單調減函數，并且當=45時，S=225，當=56時，S=106，所以OAB的面積S的范圍為106,225【

18、點睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；利用基本不等式求出參數的取值范圍；利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍21（1）（2）【解析】（1）根據拋物線的焦點求得橢圓的焦點，由此求得，結合橢圓離心率求得，進而求得，從而求得橢圓的標準方程，求得橢圓上頂點的坐標，由此求得直線的方程.聯立直線的方程和橢圓方程，求得兩點的縱坐標，由此求得的面積.（2）求得兩點的坐標，設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，由此求得的值，根據在橢圓上求得的值，由此求得的值.【詳解】（1）因為拋物線的焦點坐標為，所以橢圓的右焦點的坐標為，所以，因為橢圓的離心率為，所以，解得，所以，故橢圓的標準方程為.其上頂點為，所以直線：，聯立，消去整理得，解得，所以的面積.（2）由題知，設，.由題還可知，直線的斜率