第六章偏導數與全微分(專升本微積分)課件_第1頁
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1、一 、基本概念及結論1.多元(二元)函數的定義：二元函數的定義域是平面點集，通常用平面區域D表示,記為D(f)。第六章 偏導數與全微分10對應關系的求法同一元函數注：二元函數的極限要求點Q(x,y)以任何方式，任何方向，任何路徑趨向于 時，均有若能找到兩條不同的路徑使沿此兩路徑 時，f(x,y)具有不同的2.二元函數的極限3.二元函數連續性定義：4.閉區域上連續函數的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。5.二元函數偏導數定義 同樣可定義關于y的偏導數:注：二元函數的二階偏導數12若題設條件告之函數具有二階連續偏導數，則意味著可交換混 合偏導數的求導次序，可將結果整理為最簡形式。6.二

2、元函數的全微分:三元函數的全微分:多元函數的全微分等于各自變量偏微分的和.12347.連續、偏導數存在與可微之間的關系二、基本問題及解法問題(一): 一般函數 偏導數與全微分的計算 解： （1）搞清復合關系，哪是自變量、中間變量，通常畫變量關系圖，再按變量關系圖的路徑求導。從應變量到自變量有多少條路徑，求導時就有多少項，每一項均為函數對中間變量的偏導數與中間變量對自變量的偏導數之積。注：有些復雜的函數也可引進中間變量畫出變量關系圖后再求導。問題(二):復合函數偏導數求法解:變量關系如圖:“抽象”的復合函數偏導數的求法對抽象的二元復合函數求偏導數時，有的偏導數無法法具體求出只能保留“抽象”的形式

3、。視情況可畫變量關系圖，也可不畫變量關系圖。另解：注：也可引進中間變量，令例7 設f(u)具有二階連續偏導數，且解：先求一階、二階偏導數，再代入由三元方程F(x,y,z)=0所確定的z是x,y的函數z=f(x,y)稱二元隱函數。(因變量不能單獨出現在等號一邊);問題(三)：多元隱函數偏導數的求法兩邊求導法:公式法：問題(四): 求二元函數的極值(1)定義：(3)極值存在的充分條件：步驟條件極值及解法求條件極值有兩種方法：(1)化為無條件極值(2)拉格朗日乘數法求極值步驟：123無須判定，直接根據實際問題下結論例2.（條件極值）某廠生產甲、乙兩種產品，其銷售單價分別為10萬元和9萬元，生產x件甲種產品和y件乙種產品的總成本為又已知兩種產品的總產量為100件，求企業獲得最大利潤時,兩種產品的產量各是多少?答:企業獲得最大利潤時,兩種產品的產量分別為70件和30件.例3.某公司可通過電臺，報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據統計資料，銷售收入R（萬元）與電臺廣告費 （萬元）及報紙廣告費用 (萬元)之間有關系式：(1)在廣告費用不限的情況下,求最優廣告策略;解:（1）無條件極值利潤函數(2)求條件極值拉格朗日乘數法注：因駐點唯一，且實際問題存在最大利潤，故當電臺廣告費為0.75萬元，報紙廣告費為1.25萬元時利潤最大此為最優

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