1、擬 合2.擬合的基本原理1. 擬合問題引例1擬 合 問 題 引 例 1溫度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻R() 765 826 873 942 1032已知熱敏電阻數據：求600C時的電阻R。 設 R=at+ba,b為待定系數2曲 線 擬 合 問 題 的 提 法已知一組（二維）數據，即平面上 n個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數（曲線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準則下與所有數據點最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)ii 為點（xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離3擬合與插值的關系 函數插值與曲線擬合都是要根

2、據一組數據構造一個函數作為近似，由于近似的要求不同，二者的數學方法上是完全不同的。 實例：下面數據是某次實驗所得，希望得到X和 f之間的關系？問題：給定一批數據點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數據點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數據擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。若要求所求曲線（面）通過所給所有數據點，就是插值問題；4最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結果：5用MATLAB解擬合問題1、線性最小二乘擬合2、非線性最小二乘擬合6用MATLAB作線性最小二乘擬合1. 作多項式f(x)=a1xm+ +amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=po

3、lyfit(x,y,m)2. 對超定方程組可得最小二乘意義下的解。，用3.多項式在x處的值y可用以下命令計算： y=polyval（a，x）輸出擬合多項式系數a=a1, am , am+1 (數組)）輸入同長度的數組X，Y擬合多項式次數7即要求 出二次多項式:中 的使得:例 對下面一組數據作二次多項式擬合81）輸入以下命令：x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; R=(x.2) x ones(11,1)； A=Ry解法1用解超定方程的方法2）計算結果： = -9.8108 20.1293 -

4、0.031791）輸入以下命令： x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出數據點和擬合曲線的圖形2）計算結果： = -9.8108 20.1293 -0.0317解法2用多項式擬合的命令101. lsqcurvefit已知數據點： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan）， ydata=（ydata1，ydata2，ydatan） 用MATLAB作非線性最小二乘擬合

5、Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題. lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數F(x,xdata)=（F（x，xdata1），F（x，xdatan）T中的參變量x(向量),使得 11 輸入格式為: (1) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options); (3) x = lsqcurvefi

6、t (fun,x0,xdata,ydata,options,grad); (4) x, options = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (5) x, options,funval = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,); (6) x, options,funval, Jacob = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,);fun是一個事先建立的定義函數F(x,xdata) 的M-文件, 自變量為x和xdata說明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,opti

7、ons);迭代初值已知數據點選項見無約束優化12 lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數 f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的參量x，使得 最小。 其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai） =F(x,xdatai)-ydatai 2. lsqnonlin已知數據點： xdata=（xdata1，xdata2，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）13輸入格式為： 1） x=lsqnonlin（fun，x0）； 2） x= lsqnonlin （fun，x0，options）； 3） x= lsqnonlin （fu

8、n，x0，options，grad）； 4） x，options= lsqnonlin （fun，x0，）； 5） x，options，funval= lsqnonlin （fun，x0，）；說明：x= lsqnonlin （fun，x0，options）；fun是一個事先建立的定義函數f(x)的M-文件，自變量為x迭代初值選項見無約束優化14 例2 用下面一組數據擬合 中的參數a，b，k該問題即解最優化問題：15 1）編寫M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x

9、(1)=a; x(2)=b；x(3)=k;2）輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata) F(x，tdata)= ，x=(a，b，k)解法1. 用命令lsqcurvefit163）運算結果為：f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0063 0

10、.0063 0.0063 x = 0.0063 -0.0034 0.25424）結論：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.254217 解法 2 用命令lsqnonlin f(x)=F(x,tdata,ctada)= x=（a，b，k）1）編寫M-文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90, 6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata2）輸入命令

11、: x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun2,x0)f= curvefun2(x)函數curvefun2的自變量是x，cdata和tdata是已知參數，故應將cdata tdata的值寫在curvefun2.m中183）運算結果為 f =1.0e-003 *(0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 -0.1668 -0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792 x =0.0063 -0.0034 0.2542可以看出,兩個命令的計算結果是相同的.4）結論：即擬合得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.25

12、4219電阻問題 溫度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻R() 765 826 873 942 1032例. 由數據擬合R=a1t+a2方法1.用命令polyfit(x,y,m)得到 a1=3.3940, a2=702.4918方法2.直接用結果相同。20 在實驗方面,對某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥物300mg后,在一定時刻t(小時)采集血藥,測得血藥濃度c(ug/ml)如下表: t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 要

13、設計給藥方案,必須知道給藥后血藥濃度隨時間變化的規律。從實驗和理論兩方面著手：213.血液容積v, t=0注射劑量d, 血藥濃度立即為d/v.2.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數 k(0)模型假設1. 機體看作一個房室，室內血藥濃度均勻一室模型模型建立 在此，d=300mg，t及c（t）在某些點處的值見前表，需經擬合求出參數k、v22用線性最小二乘擬合c(t)計算結果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k

14、=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：用非線性最小二乘擬合c(t)23給藥方案 設計cc2c10t 設每次注射劑量D, 間隔時間 血藥濃度c(t) 應c1 c(t) c2 初次劑量D0 應加大給藥方案記為：2、1、計算結果：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.0224故可制定給藥方案：即: 首次注射375mg， 其余每次注射225mg， 注射的間隔時間為4小時。25練習1 用給定的多項式，如y=x3-6x2+5x-3，產生一組數據(xi,yi，i=1,2,n),再在yi上添加隨機干擾(可用rand產生(0,1)均勻分布隨機數,或用rands產生N(0,1)分布隨機數)，然后用xi和添加了隨機干擾的yi作的3次多項式擬合，與原系數比較。 如果作2或4次多項式擬合，結果如何？26 練習2、用電壓V=10伏的電池給電容器充電，電容器上t時刻的電壓為 ，其中V0是電容器的初始電壓， 是充電常數。試由下面一組t，V數據確定V0， 。27用非線性最小二乘擬合c(t)-用lsqcurvefit2、主程序lihe2.m如下cleartdata=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;cdata=19.21