1、第二章 時(shí)間序列分析的根本概念本章引入一些根本概念，如隨機(jī)過(guò)程、自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)。隨之討論平穩(wěn)時(shí)間序列的一些概念，以及時(shí)間序列均值、方差、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)，最后引見線性差分方差。差分方程在線性時(shí)間序列的模型描寫中起著重要作用。Contests第五節(jié) 差分運(yùn)算及滯后算子第四節(jié) 線性差分方程第三節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列的特征描畫第二節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列第一節(jié) 隨機(jī)過(guò)程第一節(jié) 隨機(jī)過(guò)程一、隨機(jī)過(guò)程和時(shí)間序列二、時(shí)間序列的分布三、時(shí)間序列的特征統(tǒng)計(jì)量一、隨機(jī)過(guò)程的概念引：時(shí)間序列不是無(wú)源之水。它是由相應(yīng)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的。只需從隨機(jī)過(guò)程的高度認(rèn)識(shí)了它的普通規(guī)律。對(duì)時(shí)間序列的研討才會(huì)有指點(diǎn)意義。對(duì)時(shí)間

2、序列的認(rèn)識(shí)才會(huì)更深化。 事物變化的過(guò)程可以分成兩類。一類是確定型過(guò)程，一類是非確定型過(guò)程。 確定型過(guò)程即可以用關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)描畫的過(guò)程。例如，真空中的自在落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，行星的運(yùn)動(dòng)過(guò)程等。非確定型過(guò)程即不能用一個(gè)或幾個(gè)關(guān)于時(shí)間t確實(shí)定性函數(shù)描畫的過(guò)程。換句話說(shuō)，對(duì)同一事物的變化過(guò)程獨(dú)立、反復(fù)地進(jìn)展多次觀測(cè)而得到的結(jié)果是不一樣的。例如：對(duì)河流水位的丈量。其中每一時(shí)辰的水位值都是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)以一年的水位紀(jì)錄作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，便得到一個(gè)水位關(guān)于時(shí)間的函數(shù)xt。這個(gè)水位函數(shù)是預(yù)先不可確知的。只需經(jīng)過(guò)丈量才干得到。而在每年中同一時(shí)辰的水位紀(jì)錄是不一樣的。隨機(jī)過(guò)程：由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱為隨機(jī)過(guò)

3、程，記為x (s, t) , sS , tT 。其中S表示樣本空間，T表示序數(shù)集。對(duì)于每一個(gè) t, tT, x (, t ) 是樣本空間S中的一個(gè)隨機(jī)變量。對(duì)于每一個(gè) s, sS , x (s, ) 是隨機(jī)過(guò)程在序數(shù)集T中的一次實(shí)現(xiàn)。 隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)記為 xt 或 xt。隨機(jī)過(guò)程也常簡(jiǎn)稱為過(guò)程。延續(xù)型隨機(jī)過(guò)程：假設(shè)T為一區(qū)間，那么Xt為一延續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。離散型隨機(jī)過(guò)程：假設(shè)T為離散集合，如T0，1，2，或T，-2，-1，0，1，2，那么Xt為離散型隨機(jī)過(guò)程。 例如：某河流一年各時(shí)辰的水位值，x1, x2, , xT-1, xT,，可以看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。每一年的水位紀(jì)錄那么是一個(gè)時(shí)間序列，x11,

4、x21, , xT-11, xT1。而在每年中同一時(shí)辰如t = 2時(shí)的水位紀(jì)錄是不一樣的。 x21, x22, , x2n, 構(gòu)成了x2取值的樣本空間。X(t)t時(shí)間序列：隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)稱為時(shí)間序列，也用xt 或xt表示。時(shí)間序列中的元素稱為觀測(cè)值。xt既表示隨機(jī)過(guò)程，也表示時(shí)間序列。xt既表示隨機(jī)過(guò)程的元素隨即變量，也表示時(shí)間序列的元素觀測(cè)值。在不致引起混淆的情況下，為方便，xt 也直接表示隨機(jī)過(guò)程和時(shí)間序列。 隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列的關(guān)系圖示例2 ：一天24小時(shí)從大橋經(jīng)過(guò)的汽車數(shù)。例如：要記錄某市日電力耗費(fèi)量，那么每日的電力耗費(fèi)量就是一個(gè)隨機(jī)變量，于是得到一個(gè)日電力耗費(fèi)量關(guān)于天數(shù)t的函數(shù)。

5、而這些以年為單位的函數(shù)族構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 xt, t = 1, 2, 365。由于時(shí)間以天為單位，是離散的，所以這個(gè)隨機(jī)過(guò)程是離散型隨機(jī)過(guò)程。而一年的日電力耗費(fèi)量的實(shí)踐觀測(cè)值序列就是一個(gè)時(shí)間序列。在經(jīng)濟(jì)分析中常用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟(jì)變量隨機(jī)序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。二、時(shí)間序列的分布及其特征1、時(shí)間序列的概率分布一個(gè)時(shí)間序列是一個(gè)無(wú)限維隨機(jī)向量，它的概率分布可以用它的有限維分布族來(lái)描畫。一個(gè)時(shí)間序列一切有限維分布函數(shù)的全體，稱為該序列的有限維分布函數(shù)族。例如：設(shè)Xt為一隨機(jī)過(guò)程，對(duì)每一tT ，Xt的分布函數(shù)為 即：當(dāng)恣意給定t1，t2T 時(shí)，隨機(jī)變量Xt1 、Xt2的結(jié)合分布函數(shù)為： 普通地，對(duì)于恣

6、意mN，t1，t2，tmT，隨機(jī)變量Xt1 Xtm的結(jié)合分布函數(shù)為： 時(shí)間序列的一維分布函數(shù)。時(shí)間序列的二維分布函數(shù)。時(shí)間序列的有限維分布函數(shù)。假設(shè)時(shí)間序列的一切有限維分布都是正態(tài)分布，那么稱該時(shí)間序列為正態(tài)序列，又稱高斯序列。假設(shè)我們能確定出時(shí)間序列的概率分布，我們就可以對(duì)時(shí)間序列構(gòu)造模型，并描畫時(shí)間序列的全部隨機(jī)特征。但由于確定時(shí)間序列的分布函數(shù)普通不能夠，人們更加留意運(yùn)用時(shí)間序列的各種特征統(tǒng)計(jì)量的描畫，如均值函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)等，這些特征統(tǒng)計(jì)量往往能代表隨機(jī)變量的主要特征。三、時(shí)間序列的特征統(tǒng)計(jì)量1.均值函數(shù) 即為時(shí)間序列Xt的均值函數(shù)。被Xt的一維分布族所決議。

7、當(dāng)t取遍一切時(shí)辰時(shí)，我們就得到一個(gè)均值函數(shù)序列，它反映的是時(shí)間序列Xt每時(shí)每刻的平均程度。2.方差函數(shù)當(dāng)t取遍一切時(shí)辰時(shí)，我們就得到一個(gè)均值函數(shù)序列DXt，它反映序列值圍繞其均值做隨機(jī)動(dòng)搖時(shí)平均的動(dòng)搖程度。3.自協(xié)方差函數(shù)時(shí)間序列的自協(xié)方差函數(shù)是隨機(jī)變量間協(xié)方差的推行，自協(xié)方差函數(shù)具有對(duì)稱性，即：4.自相關(guān)函數(shù)且有：自相關(guān)函數(shù)描畫了時(shí)間序列的Xt本身的相關(guān)構(gòu)造。自相關(guān)函數(shù)也具有對(duì)稱性，且有：第二節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列一、兩種不同的平穩(wěn)性定義二、平穩(wěn)序列的自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)一、兩種不同的平穩(wěn)性定義1、嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程設(shè)xt為一時(shí)間序列，m, 為恣意整數(shù)，假設(shè)對(duì)于時(shí)間 t的恣意m個(gè)值t1t2m， ，那么 的

8、長(zhǎng)滯后規(guī)范差近似為：在Eviews軟件中察看時(shí)間序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖命令方式：1在命令行輸入命令：Ident x (x為序列稱號(hào))；2然后在出現(xiàn)的對(duì)話框中輸入滯后時(shí)期數(shù)。可取默許數(shù)菜一方式：1雙擊序列圖標(biāo)。(2)ViewCorrelogram，(3)在出現(xiàn)的對(duì)話框中輸入滯后數(shù)。可取默許數(shù)例1：stpoor.wf1例2：nrnd.wfq 假設(shè)一個(gè)時(shí)間序列為白噪聲序列，那么 近似地服從N(0,1/n)。于是根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，對(duì)任一 的95%的置信區(qū)間為：白噪聲序列檢驗(yàn)原理(非常重要！)假設(shè)條件原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于 期的序列值之間相互獨(dú)立備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于 期的序列值之間有相

9、關(guān)性 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q統(tǒng)計(jì)量 (Box-Pierce Q statistic)LB統(tǒng)計(jì)量(Ljung Box Q statistic) 其中，n為樣本容量，m為滯后長(zhǎng)度。判別原那么回絕原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于 分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值小于 時(shí)，那么可以以 的置信程度回絕原假設(shè)，以為該序列不是白噪聲序列接受原假設(shè)當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于 分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值大于 時(shí)，那么以為在 的置信程度下無(wú)法回絕原假設(shè)，即不能顯著回絕序列為白噪聲序列的假定 普通取0.05或者0.10其中：闡明：1. m的選取要適宜，既不能過(guò)大，也不能過(guò)小。2.假設(shè)檢驗(yàn)ARMA(p,q)模型的殘差能否為白噪聲，那么Q統(tǒng)計(jì)量的自在度為m-

10、p-q例：Eviews操作演示在Eviews 顯示的自相關(guān)圖中，同時(shí)給出了Q統(tǒng)計(jì)量值和它的相伴概率P值，假設(shè) ,那么接受原假設(shè)，即可以為序列為白噪聲序列；否那么回絕原假設(shè)。例1：美國(guó)規(guī)范普爾指數(shù)stpoorSample: 1980M01 1996M02自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果延遲統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值P值延遲6期1011.10.000延遲12期1805.50.000由于P值顯著大于顯著性程度 0.05或0.10，所以該序列不能回絕純隨機(jī)的原假設(shè)。例2:模擬生成序列wn自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖檢驗(yàn)結(jié)果延遲統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值P值延遲5期3.650.601延遲12期6.820.743由于P值顯著大

11、于顯著性程度 ，所以該序列不能回絕純隨機(jī)白噪聲的原假設(shè)。第四節(jié) 線性差分方程引：線性差分方程在我們討論的時(shí)間序列分析中占有重要作用，現(xiàn)實(shí)上，我們后面將要建立的時(shí)間序列模型就是線性差分方程，這些模型往往取決于差分方程根的性質(zhì)。一、線性差分方程1.n階非齊次線性差分方程2.n階齊次線性差分方程1，2式中，ai(t)、f(t)為t的知函數(shù)，且an(t)、f(t)不同時(shí)為零，假設(shè) ai(t)為常數(shù)，那么上述兩式即為常系數(shù)差分方程。二、關(guān)于線性差分方程根本定理 定理1. 假設(shè)y1(t)，y2(t)， ym(t)是n階齊次線性差分方程2的m個(gè)特解，那么如下的線性組合也是該差分方程的特解：y(t)=c1y1

12、(t)+c2y2(t)+ +cmym(t) 式中c1、c2cm為恣意常數(shù)。 定理2. n階線性齊次差分方程一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，假設(shè)y1(t)，y2(t)， yn(t)為式2的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，那么2式的通解為： yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+ +cnyn(t) 式中c1、c2cn為n個(gè)恣意常數(shù)。 定理3. N階非齊次線性差分方程1的通解等于它的一個(gè)特解與它對(duì)應(yīng)的齊次方程2的通解之和。三、n階常系數(shù)線性差分方程的解一n 階常系數(shù)線性差分方程的普通方式其中：a1,a2, an為常數(shù)，且an不為零，f(t)為t的知函數(shù)。4式為3式所對(duì)應(yīng)的齊次方程。二齊次線性差分方程的通解設(shè)齊

13、次方程4有特解：那么：稱為方程4的特征方程，此特征方程的解稱為特征根。1假設(shè)特征方程有一實(shí)特征根 ，其重?cái)?shù)為mm=n 那么：為齊次方程的m個(gè)線性無(wú)關(guān)解。2假設(shè)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根3將所得的n個(gè)線性無(wú)關(guān)特解組合，即得齊次方程的通解：其中：c1,c2, cn為n個(gè)恣意常數(shù)。(二)非齊次方程的特解和通解非齊次方程的特解可以經(jīng)過(guò)待定系數(shù)法求出。非齊次方程的通解等于它的一個(gè)特解加上它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。第五節(jié) 差分運(yùn)算及滯后算子一、差分運(yùn)算二、滯后算子時(shí)間序列xt在t時(shí)辰的一階差分定義為：xt在t時(shí)辰的二階差分定義為：普通地，p階差分定義分：一、差分運(yùn)算二、季節(jié)差分設(shè)xt為含有周期為S的周期性動(dòng)搖序列， 那么一階季節(jié)差分S步差分被定義為：二階季節(jié)差分被定義為：在Eviews 軟件中，經(jīng)過(guò)函數(shù)D(x,n,s)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間序列的差分運(yùn)算，其中： x:為時(shí)間序列的稱號(hào)，n:為差分的階數(shù)，s:為季節(jié)長(zhǎng)度。如D(x)為一階差分，D(x,2)為二階差分，D(x,0,4)對(duì)周期長(zhǎng)度為4的序列求一階季節(jié)差分等等。在Eviews 軟件中，經(jīng)過(guò)函數(shù)Dlog(x,n,s)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間序列的對(duì)數(shù)差分運(yùn)算。差分運(yùn)算舉例，見Eviews操作。例1:stpoor.wf1例2：美國(guó)GNP數(shù)據(jù)usagnp.wf1時(shí)間序列的延遲運(yùn)算例：時(shí)間序列的差分運(yùn)算例：時(shí)間序列的季節(jié)差分三、時(shí)間序列滯后算子(lags operat