1、考點一函數的奇偶性與周期性考點清單考向基礎一、函數的奇偶性1.奇函數、偶函數的概念一般地,如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數.一般地,如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數.2.奇、偶函數的性質(1)奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同,偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反.(填“相同”或“相反”)第1頁，共18頁。(2)在公共定義域內,(i)兩個奇函數的和是奇函數,兩個奇函數的積是偶函數;(ii)兩個偶函數的和、積是偶函數;(iii)一個奇函數,一個偶函數的積是奇

2、函數.(3)任意一個定義域關于原點對稱的函數f(x)均可寫成一個奇函數g(x)與一個偶函數h(x)的和的形式,即f(x)=g(x)+h(x),其中,g(x)=,h(x)=.二、函數的周期性1.定義:如果存在一個非零常數T,使得對于函數f(x)定義域內的任意x,都有f(T+x)=f(x),則稱f(x)為周期函數.不為零的常數T叫做這個函數的周期.如果在周期函數f(x)的所有的周期中存在一個最小的正數,則這第2頁，共18頁。個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期.2.由周期函數的定義得:(1)若函數f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)(a0),則f(x)為周期函數,T=2|a|;(2)若函數f(

3、x)滿足f(x+a)=f(a-x)(a0)且f(x)為奇函數,則f(x)為周期函數,T=4|a|;(3)若函數f(x)滿足f(x+a)=-f(x)(a0),則f(x)為周期函數,T=2|a|;(4)若函數f(x)滿足f(x+a)=(a0),則f(x)為周期函數,T=2|a|.3.(1)若函數f(x)的圖象關于直線x=a和直線x=b對稱,則函數f(x)必為周期函數,2|a-b|是它的一個周期;(2)若函數f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)對稱,則函數f(x)必為周期函數,2|a-b|是它的一個周期.第3頁，共18頁。考向突破考向一由奇偶性求參數的值例1(2019屆江蘇徐州三中檢測)若f

4、(x)=+a是奇函數,則a=.解析因為f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x),即+a=-a,化簡得2a=1,解得a=.答案第4頁，共18頁。考向二由奇偶性(周期性)求函數值例2(2019屆江蘇蘇州中學檢測)已知函數f(x)為奇函數,且當x0時, f(x)=x2+,則f(-1)=.解題導引有兩種方法可處理,一是直接先求出解析式,然后進行求值;二是通過奇函數的性質,先將函數值轉化到已知區域,然后進行求值.第5頁，共18頁。解析解法一:當x0,所以f(-x)=(-x)2+=x2-.又f(x)為奇函數,所以f(x)=-f(-x)=-x2+(x0時, f(x)=x2+,所以f(1)=12+=2.因

5、為f(x)為奇函數,所以f(-1)=-f(1)=-2.答案-2第6頁，共18頁。例3(2017山東,14,5分)已知f(x)是定義在R上的偶函數,且f(x+4)=f(x-2).若當x-3,0時, f(x)=6-x,則f(919)=.解析由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期為6的函數.所以f(919)=f(6153+1)=f(1).因為f(x)為R上的偶函數,所以f(1)=f(-1).又x-3,0時, f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.從而f(1)=6,故f(919)=6.答案6第7頁，共18頁。考點二函數的單調性與最值考向基礎1.單調函數的定

6、義設函數f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1x2時,(1)若f(x1)f(x2),則f(x)在區間D上是減函數.2.單調區間的定義若函數f(x)在區間D上是增函數或減函數,則稱函數 f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,區間D叫做f(x)的單調區間.注意:當函數有多個單調遞增(減)區間時,區間之間用“,”或“和”隔開,而不用“”.第8頁，共18頁。3.判斷單調性的方法(1)利用定義證明.(2)利用函數的性質證明.若f(x)、g(x)為增函數,則在公共定義域內:(i)f(x)+g(x)為增函數;(ii)為減函數(f(x)0);(iii)為

7、增函數(f(x)0);(iv)f(x)g(x)為增函數(f(x)0,g(x)0);(v)-f(x)為減函數.(3)利用復合函數關系.法則是“同增異減”,即若兩個簡單函數的單調性相同,則這兩第9頁，共18頁。個函數的復合函數為增函數,若兩個簡單函數的單調性相反,則這兩個函數的復合函數為減函數.(4)圖象法:從左往右看,圖象上升的函數單調遞增,反之單調遞減.(5)導數法.若f(x)在某個區間內可導,則當f (x)0時, f(x)為增函數;當f (x)0時, f(x)為減函數.4.函數的最值前提設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足條件(1)對于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0

8、I,使得f(x0)=M(1)對于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M結論M為最大值M為最小值第10頁，共18頁。考向突破考向一求函數的單調區間例1(2019屆江蘇蘇州實驗中學檢測)函數f(x)=的單調遞增區間為.解題導引判斷函數的單調性,首先要確定函數的定義域,然后結合原函數的單調性和復合函數的單調性進行判斷.解析因為x2-2x-30,所以x-1或x3,所以函數的遞增區間為3,+).答案3,+)第11頁，共18頁。考向二由函數的單調性求參數例2(2019屆江蘇南菁中學檢測)如果函數f(x)=x2+2(a-1)x+2在區間(-,4上是減函數,則實數a的取值范圍為.解題

9、導引二次函數的單調性和對稱軸有關,所以可結合圖象加以判斷,要注意對稱軸和端點之間的關系.解析f(x)=x2+2(a-1)x+2的對稱軸為x=1-a,結合函數f(x)的圖象(圖略)可知f(x)在(-,1-a上是減函數,要使f(x)在區間(-,4上是減函數,則只需1-a4,即a-3.答案(-,-3第12頁，共18頁。考向三由函數的單調性求解抽象函數不等式例3已知定義在R上的函數f(x)是增函數,則滿足f(x)f(2x-3)的x的取值范圍是.解題導引根據單調性可將抽象函數不等式轉化為一般的不等式,然后解不等式即可.解析依題意得不等式f(x)f(2x-3)等價于x3,即滿足f(x)f(2x-3)的x的

10、取值范圍是(3,+).答案(3,+)第13頁，共18頁。方法一用單調性求解與抽象函數有關的不等式的策略1.在求解與抽象函數有關的不等式時,往往是利用函數的單調性將“f ”符號脫掉,使其轉化為具體的不等式求解.此時應特別注意函數的.2.有時在不等式一邊沒有符號“f ”時,需轉化為含符號“f ”的形式.如已知f(a)=0, f(x-b)0,則f(x-b)0,則x的取值范圍是.解析(1)2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)2可得f(x(x-8)f(9).因為f(x)是定義在(0,+)上的增函數,所以有解得80,f(x-1)f(2).又f(x)是偶函數且在0,+)上單調遞

11、減,f(|x-1|)f(2).|x-1|2,-2x-12.-1x3.答案(1)(8,9(2)(-1,3)第15頁，共18頁。方法二利用單調性求最值的策略先確定函數的單調性,然后根據單調性求解最值.若函數f(x)在閉區間a,b上是增函數,則f(x)在a,b上的最大值為f(b),最小值為f(a).若函數f(x)在閉區間a,b上是減函數,則f(x)在a,b上的最大值為f(a),最小值為f(b).例2奇函數f(x)在區間2,9上是增函數,在區間3,8上的最大值為9,最小值為2,則f(-8)-2f(-3)=.解析因為f(x)在2,9上是增函數,所以f(x)在區間3,8上為增函數,由題意可知f(8)=9,

12、 f(3)=2,又f(x)為奇函數,所以f(-8)-2f(-3)=-f(8)+2f(3)=-9+4=-5.答案-5第16頁，共18頁。方法三已知函數奇偶性求參數(求值)1.已知函數的奇偶性求參數,一般采用待定系數法求解.根據f(-x)f(x)=0得到關于待求參數的恒等式,由系數的對等性可得參數的值.2.已知函數的奇偶性求函數值或解析式,首先抓住在已知區間上的解析式,將待求區間上的自變量轉化到已知區間上,再利用奇偶性求解或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式或函數值.例3(1)已知f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,則g(1)=.(2)函數f(x)=ax2+bx