1、北師大版數學選修1-2第三章 推理與證明4 反證法一、教學目標：1.知識與技能：(1)了解間接證明的一種基本方法反證法； (2)了解反證法的思考過程與特點,會用反證法證明數學問題.2.過程與方法:通過學生動手及簡單實例,讓學生充分體會反證法的數學思想,并學會簡單應用.3.情感態度與價值觀通過反證法的學習,讓學生形成逆向思維的模式,體驗數學方法的多樣性。提高學生推導、推理能力及思考問題和解決問題的能力，并在合作探究中找到一種解決生活生產實際問題的新方法。二.教學重點：了解反證法的思考過程與特點.三.教學難點：正確理解、運用反證法.四.教學方法：多媒體輔助教學；小組合作探究，多元活動.教學過程：課

2、前復習與思考：（1）請學生復習舊知，為本節課夯實基礎： 直接證明：是從命題的條件或結論出發，根據已知的定義、公理、定理，直接推理證明結論的真實性。 常用的直接證明方法：綜合法與分析法。綜合法的思路是由因導果；分析法的思路是執果索因。（2）讓學生思考間接證明是什么？它有哪些方法？（初中所學） 間接證明：不是從正面證明命題的真實性，而是證明命題的反面為假，或改證它的等價命題為真，間接地達到證明的目的。 反證法就是一種常用的間接證明方法。二、探究新知【新課導引】多媒體課件顯示9個白色球.上課時要求學生將9個球分別染成紅色或綠色.讓學生注意觀察現象.提問學生，讓學生由感性認識上升到理性認識：同學們請看

3、，這9個球無論如何染色，至少有5個球是同色的.你能用數學中的什么方法來證明這個結論嗎？【學生自主合作探究】學生閱讀完教材后，小組合作探究以下問題：1、什么是反證法？2、反證法的證題步驟有哪幾步？3、什么樣的命題適合用反證法來證明？4、反證法的應用關鍵在于什么？【學生展示、交流】（1）反證法概念反證法：假設命題結論不成立（即命題結論的反面成立），經過正確的推理,引出矛盾，因此說明假設錯誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法。（2）反證法的一般步驟：a、反設：假設命題結論不成立（即假設結論的反面成立）；b、歸繆：從假設出發，經過推理論證，得出矛盾； c、下結論：由矛盾判定假設不成立，從而

4、肯定命題成立。（3）應用反證法的情形： = 1 * GB3 直接證明困難; = 2 * GB3 需分成很多類進行討論 = 3 * GB3 結論為“至少”、“至多”、“有無窮多個” -類命題； = 4 * GB3 結論為 “唯一”類命題；（4）關鍵在于歸繆矛盾：a、與已知條件矛盾；b、與公理、定理、定義矛盾；c、自相矛盾。【教師歸納評價并強調】：同學們對反證法的學習已經有了一些認識，而反證法引出矛盾沒有固定的模式，需要認真觀察、分析，洞察矛盾。三、教師點撥【教師引導學生完成】：例1、已知a是整數，2能整除，求證：2能整除a.證明： 假設命題的結論不成立，即“2不能整除a”。因為a是整數，故a是奇

5、數，a可表示為2m+1（m為整數），則，即是奇數。所以，2不能整除。這與已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”這個假設錯誤，故2能整除a.例2、在同一平面內，兩條直線a，b都和直線c垂直。求證：a與b平行。證明：假設命題的結論不成立，即“直線a與b相交”。設直線a，b的交點為M，a，c的交點為P，b，c的交點為Q，如圖所示，則。這樣的內角和 。這與定理“三角形的內角和等于”相矛盾，這說明假設是錯誤的。所以直線a與b不相交，即a與b平行。例3、求證：是無理數。證明： 不是無理數，即是有理數，那么它就可以表示成兩個整數之比，設，且p，q互素，則。所以 .故是偶數，q也必然為偶數。設q=2k

6、，代入式，則有，即，所以p也為偶數。P和q都是偶數，它們有公約數2，這與p，q互素相矛盾。因此，假設不成立，即“是無理數”。【教師從例題分析中小結反證法相關知識，提高學生的解題能力】：反證法的方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實. 四、學生練習及檢測,教師評價1、2、【課堂回顧】同學們，本節課前有關小球染色的問題應該可以找到答案了，那就是用反證法來證明.你能證明了嗎？請同學們課后積極思考與實踐.五、課后思考: A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊.則C必定是在撒謊，為什么？ 分析:假設C沒有撒謊, 則C話為真 那么A話為假且B話為假; 由A話為假, 知B話為真. 這與B話為假矛盾. 那么假設