1、PAGE PAGE 7幾何學的發(fā)展歷程淺談歐幾里得幾何與非歐幾里得幾何的發(fā)展史【學院】：數(shù)學與信息學院【專業(yè)】：數(shù)學與應用數(shù)學【學生】：2009級01班 余永香【學號】：200908140148【指導老師】：楊 孝 斌【摘要】：在希臘語中，“幾何學”是由“地”與“測量”合并而來的，本來有測量土地的含義，意思就是“測地術”。“幾何學”這個名詞，是我國明代數(shù)學家徐光啟根據(jù)讀音譯出的，沿用至今。幾何學分為歐幾里得幾何與非歐幾里得幾何。非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏( HYPERLINK /datebase/briefing/scientist/18st/luo_ba_qie_fu_si_

2、ji.htm t contents 羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。幾何學有著悠久的發(fā)展史，是為后人學習、創(chuàng)新極佳的的非物質產品。【關鍵詞】：幾何學；歐幾里得；羅巴切夫斯基；發(fā)展史 （）什么是幾何學？它是研究現(xiàn)實世界空間形式的一門學科，也是研究一般空間結構的學科。1-1幾何學的發(fā)展簡史。幾何學的發(fā)展主要經(jīng)歷了四個階段：經(jīng)驗事實的積累和初步整理。理論幾何的形成與發(fā)展。解析幾何的產生和發(fā)展?，F(xiàn)代幾何的發(fā)展。1-2幾何學的分支學科。它的分支學科有：平面幾何、立體幾何、非歐幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、解析幾何、射影幾何、仿射幾何、代

3、數(shù)幾何、微分幾何、計算幾何、分形幾何、拓撲學等。（）歐幾里得幾何與非歐幾何的產生與發(fā)展。2-1幾何原本的由來。大約公元前1650年，埃及人阿默斯（Ahrmes，生卒年月不詳）手抄了一本書，即后人所稱得“阿默斯手冊”，最早發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯的廢墟中。公元1858年由英國的埃及學者萊因德（A.H.Rhind）購得，故又名“萊茵德紙草書”。此書中載有很多關于面積的測量法以及關于埃及金字塔的幾何問題，它是世界上最古老的數(shù)學書。古代埃及雖然積累了很多的幾何知識，但是還沒有組織成一門系統(tǒng)的科學。直到后來希臘與埃及通商，幾何知識漸漸傳入希臘，在希臘得到光輝的發(fā)展。在古希臘，許多數(shù)學家，如泰勒斯（約公元前625

4、前547年）、畢達哥拉斯（約公元前582前493年）、希波克拉底（公元前5世紀中期）、柏拉圖（約公元前427前347年）、歐幾里得（約公元前330前275年）等人，對幾何作出了很大的貢獻。泰勒斯曾發(fā)現(xiàn)若干幾何定理和證明的方法，這是理論幾何是的開端，他還利用幾何定理來解決實際問題，憑一根竹竿就可以測的金字塔的高。畢達哥拉斯認為數(shù)學是一切學問的基礎，他對幾何有很多研究，著名的勾股定理在西方就叫做“畢達哥拉斯定理”。希波克拉底是編著第一部初等幾何教科書，并首先使用“反證法”的人，他還與柏拉圖等同為研究“幾何三大問題”的人，并因此發(fā)現(xiàn)了許多幾何定理。柏拉圖首創(chuàng)證題利器“分析法”，而確立縝密的定義和明晰

5、的公理作為幾何學的基礎，這種思想也由柏拉圖開其先河。而數(shù)學家歐幾里得搜集了一大堆雜亂無章的前人留下來的數(shù)學知識。歐幾里得深知，要使數(shù)學得以廣泛流傳，就必須將這些數(shù)學知識條理化、系統(tǒng)化，成為一個完整的理論體系。 他做了三件大事：首先為數(shù)學體系尋找一個理論框架，這就是亞里士多德形式邏輯的演繹體系，它就相當于穿珍珠的線，有了它，各種數(shù)學公式、定理之間的承接關系便一目了然，數(shù)學是“演繹的”這一邏輯特性也因此而確定了下來。其次，為了演繹系統(tǒng)的需要，歐幾里得十分精細地對所有的數(shù)學命題加以分析，確定它們各自的位置，哪些可以放在最前面，其正確性不須證明，稱之為公理；哪些命題放在中間或后面，要依靠公理或前面已被

6、證明的命題來證明其正確性，這些稱為定理。概念也須一一加以定義，在定義中出現(xiàn)的概念必須是已被定義過的。這樣一步步追溯上去，總有一些概念是處于這一“邏輯鏈”的最前頭，被稱為“原始概念”。完成這一工作需要清晰的頭腦、堅強的毅力和有條不紊的工作，這也是歐幾里得數(shù)學才華的真正展現(xiàn)。第三，歐幾里得在前人工作的基礎上，根據(jù)他所構造的數(shù)學體系進一步向前推演，得到了一批新的定理，充分顯示了他的創(chuàng)造性思維能力，經(jīng)數(shù)載辛勤勞動，歐幾里得的鴻篇巨著幾何原本終于在公元前300年問世了！從1482年拉丁文本首次在威尼斯印刷出版到19世紀末，它的各種版本用各種語言出了1000版以上。在這之前，它的手抄本統(tǒng)治幾何學也已達18

7、00年之久。歐幾里得的影響如此深遠，以致他的名字成了“幾何學”的同義語，這本西方最古老的數(shù)學著作，為2000年來用公理法建立演繹的數(shù)學體系樹立了最早也是最光輝的典范。22歐幾里得幾何原本第五公設證明問題的爭議。幾何原本共十三卷。每卷都是以一些概念的定義、公理和公設為基礎的。第一卷便是以二十三個定義、五個公理和五個公設開始的。第一卷的第五公設在歐幾里得幾何的所有的幾何公設中顯得無比特殊。即是：“過直線外的一點能且只能作一條直線與已知直線平行”。第五公設能不能證明一直是人們心中的疑問。從古希臘時代開始數(shù)學家們就一直試圖把它當作一條定理由其他公設、公理推導出來。古希臘天文學家托勒玫第一個作第五公設證

8、明的重大嘗試。接著中世紀的阿拉伯數(shù)學家奧馬海姆亞、納西爾.丁、沃利斯等，但都沒有對數(shù)學思想的進展產生多大的現(xiàn)實意義。23非歐幾何的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展。在18世紀中葉前后，在對第五公設的研究開始出現(xiàn)有意義的進展。代表人物是意大利數(shù)學家薩凱里、德國數(shù)學家克呂格爾和瑞士數(shù)學家蘭伯特。薩凱里首先使用歸謬法來證明第五公設?？藚胃駹柺堑谝粋€懷疑第五公設能否由歐式幾何的其他公理加以證明的科學家。1776年，蘭伯特寫了平行線理論一書，他最先認識到一組假設如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的幾何，因此，蘭伯特最先指出了通過替換平行公設而展開新的無矛盾的幾何學的道路。在非歐幾何正式建立之前，最先認識到非歐幾何是一種邏輯

9、上相容并且可以描述物質空間、像歐氏幾何一樣正確的新幾何學的是高斯。認識到非歐幾何的還有匈牙利青年J.波約和俄國數(shù)學家羅切夫斯基。而高斯、波約的正確理論都因客觀因素沒有正式發(fā)表。在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有羅巴契夫斯基于最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想的一位數(shù)學家。1829年發(fā)表的論幾何原理是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻。在非歐幾何中，他假設“過不在已知直線上的一點，可以引至少兩條直線平行于已知直線”，用以代替第五公設，同時保留了歐氏幾何的其它公設。 非歐幾何從發(fā)現(xiàn)到普遍接受，經(jīng)歷了曲折的道路。要達到這一目標，需要確實建立非歐幾何自身的無矛盾性和現(xiàn)實意義。羅切夫斯基終其一生努力也沒有這一目標。繼他之后，德國數(shù)學家黎曼在1854年發(fā)展了羅切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何。他創(chuàng)立了黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的羅切夫斯基幾何的承認，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。19世紀70年代以后，意大利數(shù)學家貝爾特拉米、德國數(shù)學家克萊因和法國數(shù)學家龐加萊等人先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示了非歐幾何的現(xiàn)實意義。