1、土木工程指導性專業規范配套系列教材結構力學第9章 矩陣位移法本章導讀 基本要求 掌握用矩陣位移法計算平面桿件結構的原理和方法。包括桿件結構的離散化；單元和結構坐標系下單元剛度矩陣的形成；用單元定位向量形成結構剛度矩陣；形成結構的綜合結點荷載列陣；結構剛度方程的形成及其求解；計算結構桿端內力。掌握矩陣位移法的計算步驟。 重點 用先處理法形成結構剛度矩陣和結構的綜合結點荷載列陣。 難點 用先處理法形成結構剛度矩陣中各步驟的物理意義；單元剛度矩陣和結構剛度矩陣中剛度系數的物理意義和求法；矩陣位移法與位移法之間的聯系與區別。 9.1 概述 計算機輔助設計（CAD）中使用到的諸多結構分析軟件都以有限單元

2、法（簡稱有限元法）為理論依據，有限元法是一種近幾十年發展起來的新方法，從數學角度來說，它是求解偏微分方程定解問題的數值分析方法之一；從力學角度來說，它是求取基于變分原理的近似解的方法之一；而從我們最熟識的工程結構的角度來說，它是結構力學的矩陣分析方法在連續介質力學中的合理應用。土木工程指導性專業規范配套系列教材結構力學 出版社 科技分社 結構力學的矩陣分析方法是將矩陣數學的理論引入結構力學而得，即在進行結構矩陣分析時，仍舊沿用傳統結構力學的基本假定、基本原理和基本方法，而在公式和各種表達式的表述方法上使用矩陣形式。矩陣化的表述方式具有簡潔、規范、易于排錯的優點，因而容易轉化成計算機程序，方便計

3、算機軟件的開發。 將力法和位移法同矩陣數學相結合，產生出矩陣力法和矩陣位移法。相對于力法而言，位移法具有基本結構唯一和可以求解靜定結構兩大優勢，這些特點使得矩陣位移法更適用于進行結構分析軟件的開發。因此，本章將重點介紹平面桿件結構的矩陣位移法。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 矩陣位移法基本原理同位移法一樣，仍舊以結點位移為基本未知量，通過平衡方程求解這些基本未知量，然后計算結構的內力。用矩陣位移法進行結構分析的基本要點是： 1）結構離散化 將結構劃分為有限個單元，各單元只在有限個結點處相互連接。對于桿件結構，單元常取為等截面直桿，各單元通過剛結點、鉸結點等各類結點相連組成結構

4、，這相當于位移法中獲取基本結構的這一步驟. 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 2）單元分析 單元分析的任務是獲取單元桿端力與單元桿端位移之間的關系，建立單元剛度矩陣。這相當于位移法中獲得形常數和轉角位移方程的步驟。單元桿端位移一旦求得，單元桿端力即可通過單元剛度方程求得。3）整體分析 整體分析是將單元剛度矩陣按照剛度集成規則直接形成結構剛度矩陣，并建立整體結構的剛度方程。這相當于位移法中建立典型方程的步驟。整體分析將打散的單元重新集成為結構，進而引入結構的邊界條件（力平衡邊界條件和變形協調邊界條件）為求解結構剛度方程做好準備。 求解結構剛度方程得到各結點位移后，只需再返回單元分析

5、，即可求出各單元桿端力，進而繪出結構內力圖。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 9.2 桿件結構的離散化9.2.1 單元與結點的劃分和編碼 由若干根桿件組成的結構稱為桿件結構。使用矩陣位移法分析結構的第一步，是將結構“拆散”為一根根獨立的桿件，這一步驟稱為離散化。為方便起見，常將桿件結構中的等截面直桿作為矩陣位移法的獨立單元，這就必然導致結構中桿件的轉折點、匯交點、支承點、截面突變點、自由端、材料改變點等成為連接各個單元的結點。只要確定了桿件結構中的全部結點，結構中各結點間的所有單元也就隨之確定了。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 確定結點時，常常采用順序編號的方

6、法，這些編號稱為結點碼。在確定完結點碼后，對結點間的單元也依次編號，從而獲得單元碼。如圖所示分別是兩個結構離散化后的結點和單元編碼情況。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 9.2.2 兩種直角坐標系 結構離散化后，桿件單元的方向千差萬別。在作整體分析時，需要在結點處建立平衡方程，為此又需要一個統一的計算基準坐標系。因此，這里引入兩套直角坐標系來建立后續需要研究的力和位移等物理量之間的關系。（1）單元坐標系 單元坐標系（又稱局部坐標系）是單元分析時使用的坐標系，它只與具體某一單元相對應。對結構中任意單元 e ，本章約定其坐標系用 表示；坐標系原點取為該單元一端的端結點i（稱為始結點

7、或始端）；由原點指向另一端結點j（稱為末結點或末端）的方向，為桿軸 坐標正向，記作 ； 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 以軸沿順時針方向旋轉90為坐標軸 正向，記作 ，如下圖所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （2）整體坐標系 整體坐標系（又稱結構坐標系）是整體分析時使用的坐標系，它不和任何單元直接相關。設置整體坐標系的目的是使各物理量在進行整體分析時有統一的衡量尺度。本章約定整體坐標系使用x-y表示，x軸正方向水平向右，以x軸沿順時針方向旋轉90為y軸正向，即y軸正方向豎直向下，整體坐標系原點可取為任意點。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社

8、為了使圖形看起來簡潔清爽，一般不再標出單元坐標系，通常在各單元的桿軸上繪一箭頭表明 軸的正向即可，如圖（b）所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 9.2.3 力和位移的正負號規定1）外荷載和支反力(1)結點荷載和支反力 結點荷載是指作用于結點上的荷載。本章約定結點集中力和支反力均以與整體坐標系方向相同時為正，反之為負。結點集中力偶和支座反力偶以順時針轉向為正，反之為負。(2)非結點荷載 非結點荷載是指作用于桿件上的荷載。本章約定非結點集中力和分布力以單元坐標系正向相同時為正，反之為負。非結點集中力偶，仍以順時針轉向為正，反之為負。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分

9、社 2）結點位移 由于矩陣位移法不再為了簡化計算而忽略桿件的軸向變形，因此，對于平面剛架中的每個剛結點而言，有三個相互獨立的位移分量：水平方向的線位移分量u，豎直方向的線位移分量v，和結點的轉角位移分量q。對于這三個分量，本章約定線位移與整體坐標系方向一致為正，轉角以順時針轉向為正，反之為負。 3）單元桿端力和桿端位移 單元桿端截面的內力和位移分別稱為單元桿端力和桿端位移。 下圖所示為平面剛架中的單元 e ，其始端為i，末端為j。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 約定單元所有桿端力和桿端位移分量分別用廣義符號f和d 表示，當參照系

10、為單元坐標系時，還需在f和d上添加上劃線，即用 “ ”和“ ”以示區別。為區別兩端結點各方向的分量，約定始端i沿x或坐標方向為1號方向，沿y或方向為2號方向，轉角方向為3號方向；依此類推，末端j的三個方向分別用4、5、6表示。 上圖中（a）和（c）標明了兩套坐標系中所有24個廣義分量（括號中的是廣義位移分量）。約定各分量與相應坐標系正向一致時為正，力矩或轉角分量以順時針轉動為正，反之為負。 單元桿端力和桿端位移分量，也可以按它們實際的物理意義表示為上圖（b）和（d）的形式。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 即用軸力、剪力、彎矩和水平位移分量u、豎直位移分量v、轉角位移分量q 等

11、我們熟知的表示方法來繪制。采取傳統方法表示時，各分量用下標注明其作用的結點；同時，若參照系為單元坐標系，各分量還需添加上劃線以示區別。 公式（9.1）和（9.2）給出了參照系為單元坐標系時，分別使用廣義方式和傳統方式表示的單元桿端力和桿端位移列陣。 單元坐標系中的單元桿端力列陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元坐標系中的單元桿端位移列陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.1）（9.2） 公式（9.3）和（9.4）給出了參照系為整體坐標系時，分別使用廣義方式和傳統方式表示的單元桿端力和桿端位移列陣。 整體坐標系中的單元桿端力列陣為 土木工程專業系列教材

12、結構力學 出版社 科技分社 （9.3） 整體坐標系中的單元桿端位移列陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.4） 以上4式中的列陣子塊 、 、 、 和 、 、 、 分別代表相應坐標系中桿端i和j的力與位移。 矩陣位移法的正負號規定與位移法和材料力學中的規定不盡相同，請讀者注意區分。9.3 單元坐標系中的單元剛度矩陣9.3.1 一般單元 一般單元是指其始末兩端每端有三個、兩端共6個獨立位移未知量的平面剛架單元，如下圖所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 表示單元桿端力和桿端位移之間轉換關系的方程，稱為單元剛度方程。矩陣位移法不再忽略軸向變形，但仍忽略在線彈性

13、小變形的前提下，軸向受力狀態和彎曲受力狀態間的相互影響。因此，可以分別推導這兩種受力狀態下桿端力和桿端位移之間的轉換關系 。 1）軸向受力狀態下，軸向桿端力同軸向桿端位移之間的關系 如圖（a），如果桿端i發生軸向位移 而桿端j不動時，根據材料力學和平衡條件 ，有 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （a） 同理如圖（b），當桿端j發生軸向位移 而桿端i不動時，有 如果同時在桿端i和j分別發生了軸向位移 和 ，只需將（a）、（b）兩式中對應的軸向桿端力疊加起來即可. 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （b） 2）彎曲受力狀態下，桿端剪力及桿端彎矩同垂直于桿軸方向的相對線

14、位移及桿端轉角之間的關系 兩端固定的單跨超靜定梁AB，在無外荷載的作用時，其位移法的轉角位移方程為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （c）如果把該梁視矩陣位移法的一般單元，使其A和B兩端分別同一般單元的始端i和末端j對應。使用矩陣位移法的符號表示方法和正負號規定，則（d）式中相應符號應做如下變換 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （d）（e）于是，（d）式化為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （f） 綜合軸向受力狀態下推得的（c）式和彎曲受力狀態下推得的（f）式，可寫出一般單元全部的桿端力和桿端位移轉換關系，即 土木工程專業系列教材結構力學 出版社

15、 科技分社 式中的E、I、A、l分別為單元的材料彈性模量、橫截面慣性矩、橫截面面積和單元長度。（9.5） 將式（9.5）寫成矩陣形式，即可得單元坐標系中一般單元的單元剛度方程 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.6）上式也可簡寫為其中 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.7）（9.8） 稱為一般單元的單元剛度矩陣，簡稱單剛。 矩陣位移法僅采用位移法中的兩端固支單跨超靜定梁來推導單元剛度方程，這使得其基本單元類型歸一化，更便于應用程序的開發。9.3.2 特殊單元 桿端獨立位移未知量因被約束變為已知位移，或者不獨立于其它桿端位移的單元，稱為特殊單元。例如連續梁單

16、元和理想桁架單元等。 1）連續梁單元 忽略軸向變形的連續梁或無結點線位移的剛架，經過離散化后，單元兩端只有獨立的桿端轉角未知量 和 。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 將線位移 的條件代入式（9.6）中，并注意到桿端剪力不獨立于桿端彎矩，則可得連續梁單元的單元剛度方程為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.9）相應的單元剛度矩陣為（9.10） 可見，連續梁單元的單剛可以由一般單元單剛劃去與零位移相應的行和列，即式（9.8）中的第1、2、4、5行和列而得。 2）理想桁架單元 理想桁架中的各桿件只有軸向變形，即 ， 。而 ，將這一條件代入式（9.6），可得理想桁架

17、單元的單元剛度方程為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.11）相應的單元剛度矩陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 可見，理想桁架單元的單剛也可由一般單元單剛劃去與零位移相應的行和列，即式（9.8）中的第2、3、5、6行和列而得。9.3.3 單元剛度矩陣的性質 1）單元剛度系數的物理意義 單元剛度矩陣中的每個元素稱為單元剛度系數，代表由單位桿端位移引起的桿端力。 （9-.12） 若以 代表單元剛度矩陣中的某系數，則它的值等于當單元的第m個桿端位移方向發生正向單位位移（其它桿端位移為零）時，引起的第l個桿端位移方向的桿端力。 例如下圖給出了一般單元單剛系數 和

18、 的物理意義。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 根據單剛系數的物理意義可知，單剛中任一列的元素，均可由令單元中與該列列號對應的桿端位移發生正向單位位移而求得。例如欲求一般單元單剛第5列的所有元素，只需令 ，再依“始端軸、剪、彎到末端軸、剪、彎”的方向編號順序求出這些桿端內力，就得到了 6個剛度系數。 2）單元剛度矩陣是對稱方陣 一般單元的單剛是66的對稱方陣，特殊單元的單剛亦是對稱方陣。單剛的對稱性可由線彈性結構的反力互等定理證明，即為 而 對角線上的主系數恒大于零，這同位移法一致。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.13）3）一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩

19、陣 從數學的角度來說， 的行列式 之值等于零，即不存在逆陣，因此奇異。 從力學概念的角度來說，我們注意到一般單元始末端的六個桿端位移未知量并未被任何約束限制，好像單元“浮于空中”，這樣的單元稱為自由單元。給定一組符合變形協調條件的桿端位移 ，我們可以通過單元剛度方程 求得一組桿端力 ；但如果給定一組平衡的桿端力 ，由于自由單元的剛體位移未被約束限定，因而無法推出唯一確定的一組桿端位移 。也就是說，對于一組平衡的桿端力 ，可能有無限多組由彈性位移和剛體位移共同組成的桿端位移 與之對應，因而一般單元的單剛奇異。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 4）單元剛度矩陣 是單元的固有性質 只

20、與單元的彈性模量E、橫截面積A、慣性矩I及桿長l有關，而與外荷載無關。9.4 整體坐標系中的單元剛度矩陣 9.4.1 坐標變換矩陣 從單元分析進入整體分析時，需要將參照坐標系統一為整體坐標系，才便于建立結點平衡方程；整體分析結束后，需計算單元桿端力以求取單元內力，此時又需將參照坐標系重新設為各單元坐標系。因此，有必要建立兩套坐標系的轉換關系。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 上圖將桿單元 e 在單元坐標系中的桿端力和整體坐標系xOy中的桿端力一同繪出。 若設從整體坐標系x軸轉向單元坐標系軸的夾角為a（順時針為正），根據投影關系，可得 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分

21、社 寫成矩陣形式 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.14）或簡寫為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.15）（9.16）其中稱為單元坐標轉換矩陣。它是一個正交矩陣，即有 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.17）（9.18） 如需將 轉換為 ，則可使用下式（9.19） 上述轉換關系也同樣適用于桿端位移 和 之間的轉換，即有 9.4.2 整體坐標系中的單元剛度矩陣 類比單元坐標系中的單元剛度方程 ，可以寫出整體坐標系中的單元剛度方程式中 就是整體坐標系中的單元剛度矩陣。 下面來推導 ：將 左右兩邊先前乘 ，得 ，再參考式（9.19），左邊

22、即為 ，再將式（9.20）代入右邊，可得 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.20）（9.21）（9.22）比對式（9.22），可得 將式（9.8）和（9.17）代入上式右邊進行矩陣運算，可得整體坐標系中的一般單元的單元剛度矩陣為其中 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.23）（9.24） 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.25） 整體坐標系中的單剛中的元素 ，其值等于當單元的第m個桿端位移方向發生正向單位桿端位移1（其它桿端位移為零）時，引起的第l個桿端位移方向的桿端力。例如下圖給出了一般單元單剛系數和的物理意義。 土木工程專業系列教材

23、結構力學 出版社 科技分社 仍具有類似 的一些性質： 是對稱方陣，這仍可用線彈性結構反力互等定理證明； 一般單元的 是奇異矩陣，這是因為坐標變換未改變一般單元是自由單元的性質； 除與單元本身屬性有關外，還與兩坐標系的夾角a有關。這是 同 的明顯區別。 9.5 用直接剛度法形成結構剛度矩陣 在對結構進行離散化和單元分析后，就需要將各單元重新集成為原結構，進行結構整體分析，從本節開始將介紹結構整體分析的方法。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 9.5.1 結構剛度方程 結構整體分析的目標就是在整體坐標系中，用單元分析的結果形成結構剛度方程。結構剛度方程反映的是結構的結點位移和結點力之

24、間的關系，同位移法中的典型方程相對應。結構剛度方程可寫為 式中，K代表結構剛度矩陣，簡稱總剛；D代表結點位移未知量列陣；P代表綜合結點荷載列陣。 為求解結點位移未知量列陣D，需要先形成K和P，本節將討論總剛K的形成，而下節將討論P的形成。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （9.26）9.5.2 結點位移分量的統一編碼 經單元分析后，需要將各單元在約束的連接下重新形成原結構。因此，整體分析首先應當正確合理地反映結構各單元所受約束的情況，對結構的支承（外約束）情況和結點（內約束）情況進行描述。具體來說，就是需要對結點位移分量進行統一編碼。 1）后處理法和先處理法 形成整體剛度方程時

25、，考慮結構約束的常用方法有兩種后處理法和先處理法，所謂“后”和“先”是指在形成結構剛度方程之后，還是之前引入支承條件。 后處理法在單元分析完成以后，并不急于處理支承條件，不論單元桿端位移未知還是已知，都將其對應的單剛元素和單元桿端力分量集成進入總剛 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 K和綜合結點荷載列陣P中，從而形成一個“浮于空中”的無支承的體系的剛度方程，稱為結構原始剛度方程。接下來才考慮支承情況，修正結構原始剛度方程中的K和P，以防止因總剛奇異而解不出結點位移D。 先處理法則是在單元分析完成后，就考慮每個單元的支承情況，只讓未知（而避免已知）單元桿端位移對應的單剛元素和單元桿

26、端力分量集成進入K和P，因而形成的結構剛度矩陣實際上已經包含了全部約束信息，無需再修正。 因為沒有已知位移分量對應的部分，先處理法相對后處理法來說，結構剛度方程的規模會縮減，求解更加容易。同時，先處理法在處理鉸結點、 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 忽略軸向變形等情況時也更靈活，因此本章后面將只介紹先處理法。 2）結點位移分量的統一編碼 從9.2節我們知道，平面剛架的每個結點有三個位移分量，即整體坐標系x方向、y方向和轉角方向上的u、v、q，我們需要找出這些結點全部位移分量中的未知位移分量進行編號。下面給出結點位移分量編碼的約定： (1)基本約定 按結點編號的順序，對每個結點，

27、依u、v、q的順序，考查它們的位移分量是否被約束。對未被約束的結點位移分量（即結點位移未知量），按順序對它們進行編碼；對被支承約束或為已知的結點 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 位移分量，則用編碼“0”表示。位移分量編碼統一標在結點碼后的括號中。如下圖所示結構中，結點2和3的三個位移分量，及結點5的轉角位移分量未被約束，按順序編號；而其它結點位移分量都被約束，所以編“0”號。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 一般情況下結點位移分量的統一編碼 (2)鉸結點的處理方法 先來定義兩類鉸結點：鉸結的桿件全部是鏈桿或桁桿的全鉸結點，稱為全桁鉸結點，簡稱全桁鉸。鉸結的桿中有

28、梁式桿的鉸結點，稱為梁鉸結點，簡稱梁鉸。下面分別說明這兩類結點位移分量的編碼方法： a. 全桁鉸結點 全桁鉸結點一般出現在桁架和組合結構中，由于桿端轉角對桁桿單元來說無意義，為此約定相應轉角的位移分量編碼為“0”。如圖（a）所示的桁架，四個鉸結點都是全桁鉸，所以每個轉角位移分量的編碼都填入“0”。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 又如圖（b）所示組合結構的7結點，它所鉸結的、三個單元也都是鏈桿，所以7結點是全桁鉸，它的第三個位移分量編碼應該填“0”。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 梁鉸結點 梁鉸可能既鉸結了鏈桿又鉸結了梁式桿，處理梁鉸的方法是： 對梁鉸所鉸結的

29、全部梁式桿，選取一個單元的鉸結端作為主結點，按基本約定給主結點的位移分量編碼。其它梁式桿在此鉸處的桿端，則用附加的結點表示，這些附加的結點稱為從結點。從結點與主結點有相同的結點線位移，因此，從結點的頭兩個位移分量編號必然與主結點一致。 對于梁鉸所鉸結鏈桿的桿端位移，無需作特別的處理。 如剛才所舉組合結構中的C結點，鉸結了、三個單元，其中、均是梁式桿，因此 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 選擇單元的3結點作為主結點，而單元的4結點則是從結點。3結點位移分量編碼為(5,6,7)，4結點與3結點有相同的線位移和不同的角位移，所以位移分量編碼為(5,6,8)。當然，若選擇4結點為主結點

30、，3結點為從結點亦可。至于單元，由于是鏈桿，因此沒必要設置從結點，也就無需處理了。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 該組合結構中還有2結點和5結點也屬于梁鉸，但它們是半鉸，加之所鉸結的、兩單元是鏈桿，所以也無需增設從結點作特別處理。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 忽略軸向變形時，剛架中的結點線位移分量并不完全獨立，有些是相同的，因此對這些相同的位移分量應當編以同樣的編碼。如圖示的剛架，忽略軸向變形時，結點2和結點1有相同的豎向線位移，而結點1的豎向線位移被支座約束，為已知值， 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 因此編“0”號，因此結點2的豎向線位

31、移編號也就是“0”。而結點5同結點3有相同的水平線位移，因此編號應該和3結點的水平線位移編號“3”一致。忽略軸向變形的剛架的處理方法9.5.3 用先處理法形成結構剛度矩陣 1）單元定位向量 將任一單元始末兩端的結點位移分量統一編碼，按順序排列所組成的列向量，稱為單元定位向量。單元 e 的定位向量用 表示。 例如前述組合結構中，、三個單元的定位向量分別為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元定位向量有3個重要作用： 用來確定單元剛度矩陣（單剛） 中的各元素在結構剛度矩陣（總剛）K中的位置，本節稍后將介紹； 用來確定單元等效結點荷載 中的各元素在結構綜合結點荷載列陣P中的位置，具體

32、請參見9.6節； 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 或 用來確定單元桿端位移向量 中的各元素在整個結構的結點位移向量D中的位置，9.7節中將反向使用這一功能，從已解得的D中，提取 來求單元桿端力。 單元定位向量在整體分析中起著管理全盤的作用，由于它的存在，單元分析的結果才能被有條不紊地組織進入整體分析。 2）直接剛度法形成結構剛度矩陣K 直接剛度法是利用單元定位向量 ，將整體坐標系中的單元剛度系數 ，“對號入座”到結構剛度矩陣K中，從而直接形成K的方法。具體步驟為： (1)準備工作 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 按9.4節的方法計算出結構所有單元在整體坐標系中的

33、單剛 ，在單剛矩陣的行上方和列右邊，對準行列標注單元定位向量。 (2)“對號入座” 查詢單剛元素 所對應的單元定位向量 ，標在列右邊的定位向量指明了 進入總剛的第幾行，而標在行上方的定位向量則指明了 進入總剛的第幾列。按進入總剛的行號和列號，將 放入總剛相應的位置。如果查得進入K的行號或列號為零，則相應 的不必處理，它不進入總剛。 (3)“重疊相加” 如果總剛中某個元素因先前處理單元的 “入座”而有值，那么后續“坐”到同一位置上的其它單 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 元的 ，應當與之前的值做代數疊加。 【例9.1】 試用直接剛度法，求圖示剛架的結構剛度矩陣K。 【解】（1）將

34、結構離散化，并對單元、結點和結點位移未知量進行編碼。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （2）利用式（9.23）或式（9.24），計算各單元整體坐標系中的單元剛度矩陣 。這里略去具體值的計算，用 的形式表示單剛元素。 （3）寫出各單元的單元定位向量 將單元定位向量標到相應單元的行上方和列右邊，如圖（a）、（b）所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （4）按照單元定位向量中的非零分量所指定的行號和列號，將各單剛中的元素“對號入座”放入總剛中，進行“重疊相加”。 以單元為例，其單元定位向量為單剛K(1)中第一、二、三行和第一、二、三列對應元素的“座位號”中含有“0”

35、編碼，因此這些元素不進入總剛。而如果單剛元素 在第四行或第四列，由于 中第四個元素為1，所以應該進入總剛的第1行或第1列；同理，第五行或第五列的單剛元素應該進入總剛的第2行或第2列；第六行或第六列的單剛元素應該進入總剛的第3行或第3列。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 或者說，應該用單剛元素 的下標l（或m）查出 中第l（或m）個元素的值，若該值不是零，它就是 進入總剛的行號（或列號）。 單元的單剛進入總剛前，總剛無值，因此無需進行“重疊相加”的步驟。而單元的單剛元素在“對號入座”時，則會出現總剛中對應“座位”已經被占的情況，例如 應進入總剛第2行第3列，但是在此之前總剛第2行

36、第3列已經有單元的元素 ，這時就需要把兩者相加。最終總剛第2行第3列元素的值，應該是 。下面是這一過程的演示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 3）結構剛度矩陣K的性質 先處理法形成的結構剛度矩陣K的階數同結點位移未知量個數N相關，是NN階的方陣。如例11-1中的結構有4個結點位移未知量，因此總剛是44的方陣。 結構剛度矩陣K的元素klm的物理意義為：當結點位移分量Dm=1而其它各結點位移分量均為零時，在結點位移分量Dl方向產生的結點力。比如例11-1中總剛元素k23和k34的物理意義，可用下圖來表示。為使結點位移分量Dm的值可控

37、，該圖采用了類似位移法附加剛臂和鏈桿后的基本結構來表述。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 從總剛元素的物理意義，還可以直接求得總剛元素和單剛元素的關系。例如將上圖（a）中結點位移分量D3=1依照變形協調條件，對應成單元和在整體坐標系中的桿端位移 和 ，如下圖所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 再將原結構拆成單元、，并取2結點為隔離體，在整體坐標軸y方向的投影平衡方程，容易得到這與直接剛度法所得的結果相同。推而廣之，對總剛中其它元素，同樣可以用其物理意義證明直接剛度法的正確性。 結構剛度矩陣K是對稱正定矩陣，即總

38、剛元素klm=kml，同時行列式|K|0 ，K的任意一主對角線元素kll0。 結構剛度矩陣K是稀疏帶狀矩陣。合理的結點位移分量統一編碼會使K成為一個帶狀矩陣，即靠近主對角線的一定范圍內為非零元素，而此范圍外的元素均為零元素。實際結構總剛K的規模一般都很大，所以總剛容易形成零元素很多而非零元素很少的稀疏矩陣。 結構剛度矩陣K中副系數的性質. 若結點位移分量統一編碼中的非零編號l和m同屬于結構中的某一個單元，或者說編號l和m同時存在于一個或數個單元的定位向量 中，那么稱位移 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 分量Dl和Dm是相關位移分量。對先處理法而言，也就是相關位移未知量。反之，則

39、稱它們不相關。那么，對于總剛中的副系數klm（lm），有如下性質： a. 若Dl和Dm相關，則klm = kml 0； b. 若Dl和Dm不相關，則klm = kml =0。 9.6 結構的綜合結點荷載列陣 結構剛度方程關注的是結點上的力和位移，但結構一般不只承受結點荷載，還會承受非結點荷載。因此，綜合結點荷載列陣P中除了包含直接結點荷載外，還應包含非結點荷載的影響。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 按照結點位移相同的原則，可以將非結點荷載的影響轉換成等效結點荷載。如圖（a）所示剛架，先添加附加約束，將結點2和3固定起來，按照兩端固定的超靜定梁求出單元上荷載引起的固端反力，亦稱

40、單元固端力，即為附加約束中的力，如圖（b）所示。再拆除附加約束，相當于反方向施加單元固端約束力，如圖（c）所示。這樣，不論位移狀態還是力狀態，圖（a）都等于圖（b）和圖（c）的疊加。而圖（b）中結點位移已被附加約束限制，所以圖（a）和圖（c）有相同的結點位移。因此，圖（c）所示結點荷載就是圖（a）所示非結點荷載的等效結點荷載。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （a）計算簡圖（b）單元固端力（c）單元等效結點荷載 9.6.1 單元的等效結點荷載列陣1）單元坐標系中的單元固端約束力 如圖（b）所示，單元在均布荷載作用下的單元固端約束力

41、 為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 表9.1列出了一些常見荷載作用下的單元固端約束力 。 2）單元坐標系中的單元等效結點荷載 將 反號，得到單元坐標系中的單元等效結點荷載 ，即如圖（c）中 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 這時，單元結點荷載已被轉換成單元等效結點荷載。 3）結構坐標系中的單元等效結點荷載 各單元坐標系下不同指向的等效結點荷載 ，需要統一到結構坐標系中，才能進行疊加。為此，需求出整體坐標系中的單元等效結點荷載9.6.2 結構的綜合結點荷載列陣 1）結構的等效結點荷載列陣 與單剛集成總剛的方法相同，把各單元 中的元素，按其單元定位向量le，以“對號

42、入座，重疊（9.27） 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 相加”的方式集成到結構的等效結點荷載列陣PE 中。 2）結構的綜合結點荷載列陣 按照結點位移分量統一編碼的順序，將直接作用在結點上的荷載依次填入直接結點荷載列陣PJ中。再將PJ與結構的等效結點荷載列陣PE進行疊加，可得結構的綜合結點荷載列陣。 【例9.2】 試求圖（a）所示結構的綜合結點荷載列陣P。 【解】結點編號、單元編號、結點位移未知量編 （9-28） 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 碼及單元坐標系、整體坐標系如圖（b）所示。 （1）計算單元固端約束力按表9.1所列公式，可求得 土木工程專業系列教材結構

43、力學 出版社 科技分社 （2）計算單元等效結點荷載 ，并將單元定位向量寫在的右側 單元：a = 0 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元：a = 0 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元：a = 90 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （3）利用單元定位向量形成結構的等效結點荷載列陣PE 按單元定位向量“對號入座，重疊相加”，得結構的等效結點荷載列陣為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （4）形成結構的綜合結點荷載列陣P 通過以上計算，已將非結點荷載轉化為結構的等效結點荷載PE，再與直接結點荷載PJ疊加，即得 土木工程專業系列教材結構

44、力學 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 9.7求解結點位移和單元桿端力9.7.1求解結點位移列陣 通過9.5節和9.6節的介紹，求得結構剛度矩陣K和綜合結點荷載列陣P后，就可以利用數學方法解出結構剛度方程KD=P 中的結點位移列陣D。 9.7.2求出單元坐標系下的單元桿端位移 單元的桿端位移分量（即整體坐標系下的單元桿端位移列陣中的元素 ），等于和該桿端相連的 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 某個結點位移分量（即D中的元素），這一對應關系正是9.5節中所述的單元定位向量的第三個作用。 利用單元定位向量從D中取出 的方法是： 將 中的6個元素與 中

45、的6個元素一一對應，若 中的元素為非零，根據這一非零元素在結點位移分量統一編碼中的位置，從D中取出一個位移分量，再填入 中的對應位置即可；若 中的元素為零，則 中與其對應的桿端位移分量是不需求解的零位移，直接填入零。 獲得 后，再利用坐標轉換公式 求出單元坐標系下的桿端位移列陣 。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 9.7.3求單元桿端內力 以9.6節推導 時用例中的單元為例，由于（a）圖中原結構的受力等效于（b）圖和（c）圖兩種情況的疊加，因此原結構單元的桿端內力也應該由（b）圖中的單元固端力 和（c）圖中結點位移引起的單元桿端力（記作 ）疊加而成。（a）計算簡圖（b）單元固端

46、力（c）單元等效結點荷載 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 根據式（9.7），有 。所以最終單元的桿端內力 應為 將這一結論一般化，可得單元桿端內力 為式中 代表由結點位移引起的單元桿端力； 為非結點荷載引起的單元固端力。 注意到 （9.29）（9.30）（9.31） 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 將之代入（9.29），得到單元桿端內力 的另外一種計算方法 使用式（9.29）或（9.32）計算出的 ，是按照單元始端軸力、剪力、彎矩到末端軸力、剪力、彎矩的順序排列的列陣，與單元坐標系同向的分量為正，反之為負，這與位移法中習慣的軸力和剪力的正負號規定不同。 9.8

47、矩陣位移法的計算步驟 經過以上的學習，我們已經掌握了矩陣位移法（先處理法）的全部知識，下面將先處理法的計算步驟總結如下： （9.32） 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 1)結構離散化 對結構中的結點用數字1,2,進行編號； 確定單元的始末結點，即單元坐標系，在單元上用箭頭表示，對單元用,進行編號； 對各結點的位移分量進行統一編碼，進一步形成各單元定位向量 。2)形成整體坐標系中的單元剛度矩陣 計算單元坐標系中的單元剛度矩陣 ，參見式（9.8）；9.8.1 矩陣位移法的計算步驟 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 計算整體坐標系中的單元剛度矩陣 ，可用式（9.23）

48、或者，直接用式（9.24）和式（9.25）求出 。 3)直接剛度法集成總剛 按照單元定位向量 的指示，將 元素“對號入座，重疊相加”，集成結構剛度矩陣K。 4)計算綜合結點荷載列陣P 計算整體坐標系中的單元等效結點荷載 ，即公式（9.27）; 利用單元定位向量 集成結構的等效結點荷載列陣PE； 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 求綜合結點荷載列陣P，即利用公式（9.28）求出P。5)解總剛方程 解結構剛度方程KD=P，求出結點位移列陣 D6)計算單元桿端內力 如果計算單剛時，先計算了單元坐標系中的單剛 ，可用公式（9.29）求單元桿端內力，即 如果是直接使用式（9.24）和式（9

49、.25）求出整體坐標系中的單剛 ，則用公式（9.32）來求單元桿端內力，即 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 在本書附錄A中，附有基于矩陣位移法原理編制的平面桿件結構先處理法靜力分析程序PFF，具體使用方法和程序設計概要，請讀者參見該附錄。9.8.2 舉例1）連續梁 連續梁的每跨內一般為等截面直桿。忽略軸向變形的連續梁各結點，只有轉角位移分量，因此只需對該角位移進行結點位移分量統一編碼。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 各跨的單元坐標系與整體坐標系一致，因此坐標轉換矩陣T為單位陣，無需作坐標變換。結點荷載只考慮集中力偶。 【例9.3】 試用先處理法計算圖（a）所示

50、連續梁的內力，并作彎矩圖。不計各桿軸向變形。 【解】（1）結構離散化 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 結構坐標系、單元坐標系、結點編號、單元編號及結點位移未知量統一編碼（注于括號中的數字），如圖（b）所示。 （2）形成結構坐標系中的單元剛度矩陣 設單元的線剛度為i，則單元的線剛度為 2i。用式（9.10）計算，分別為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （3）利用單元定位向量 集成結構剛度矩陣K （4）計算綜合結點荷載列陣P 先計算各單元等效結點荷載列陣 ，分別為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 將 的元素，按 的指示集成入結構的等效結點荷載列陣PE

51、 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 計算綜合結點荷載列陣P （5）解結構剛度方程KD=P，求出結點位移列陣D 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （6）計算單元桿端內力 按單元定位向量獲取各單元的 ，分別為 按 計算單元桿端力，分別為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （7）繪制彎矩圖 根據求得的 和 ，作出彎矩圖。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 2）連續梁 平面桁架的每個結點有兩個獨立的位移分量，即沿整體坐標系的x軸方向的線位移u和沿y軸方向的線位移v。在單元坐標系中的單元剛度矩陣 按式（9.13）計算，即 而單元坐標轉換矩陣可將式（

52、9.14）中的第 2、3、5、6行和第3、6列的各元素劃去，即得 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 將 、T代入式（9.20），可得整體坐標系中的單元剛度矩陣（9.33）（9.34） 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 桁架無固端彎矩和剪力，由單元桿端內力展開該式，并將矩陣位移法的符號規定轉為受拉為正的軸力符號規定，可得桁架桿件軸力的計算公式 【例9.4】 試用先處理法計算圖（a）所示平面桁架的內力。已知各桿EA=42000kN。 【解】（1）結構離散化 整體坐標系、單元坐標系、結點編號、單元編號及結點位移未知量統一編碼， 如圖（b）所示。（9.35） 土木工程專業系

53、列教材結構力學 出版社 科技分社 各單元定位向量為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （2）形成整體坐標系中的單元剛度矩陣Ke 采用式（9.31）直接形成，分別為 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （3）利用單元定位向量 集成結構剛度矩陣K 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （4）計算綜合結點荷載列陣P （5）解結構剛度方程KD=P，求出結點位移列陣D 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （6）計算單元桿端內力 以單元為例，利用單元定位向量，從D中取出單元的桿端位移為代入式（9.35），求得單

54、元的軸力 同理，可求出其它單元軸力 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （6）計算單元桿端內力 以單元為例，利用單元定位向量，從D中取出單元的桿端位移為軸力圖如下圖所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 3）平面剛架 【例9.5】 用先處理法計算例11-2中剛架的內力。已知各桿EA= 4.8106kN，EI=0.9105kNm2。 【解】（1）結構離散化 整體坐標系、單元坐標系、結點編號、單元編號及結點位移未知量統一編碼，如圖（b）所示。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 各單元定位向量為 （2）形成整體坐標系中的單元剛度矩陣Ke 按式（9.21）和（

55、9.22）直接計算，分別為(b) 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （3）利用單元定位向量 集成結構剛度矩陣K 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （4）計算綜合結點荷載列陣P 已在例9.2中求得，為 （5）解結構剛度方程KD=P，求出結點位移列陣D 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 得結點位移D為（6）計算單元桿端內力 按式（9.29），即 計算各單元桿端內力，分別為 土木工程專業系列教材結構

56、力學 出版社 科技分社 單元： a = 0單元定位向量 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元： a = 0單元定位向量 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 單元： a = 90單元定位向量 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 （7）繪制內力圖 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 9.9 平面桿件結構先處理法靜力分析程序9.9.1 程序說明及總框圖 1） PFF的主要功能和特點 （1）輸入單元編碼、結點編碼、結點位移分量統一編碼和單元的材料信息； （2）用先處理法形成結構剛度矩陣和綜合結點荷載列陣； （3）用Gauss消元法解線性代數方程組；

57、（4）計算并輸出結點位移和單元桿端力。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 2）PFF的使用方法 （1）輸入輸出數據文件 PFF從原始數據文件中讀取結構的離散化信息，經計算后，將結果輸出到結果數據文件中。運行編譯好的PFF可執行程序，會提示“請輸入原始數據文件名：”，此時輸入事先準備好的原始數據文件名。回車后，提示“請輸入結果數據文件名：”，此時輸入結果數據文件名，再回車后，程序會進行計算，并生成結果數據文件。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 原始數據文件最好同PFF可執行程序放置在同一文件夾中。在輸入文件名時，應包含后綴。 C語言以0作為數組各維的開始下標，稱為0

58、基數組；而一般習慣以1作為數組各維的開始下標，稱為1基數組。PFF源程序編制時，仍以C語言為標準，使用0基數組，即PFF程序內部處理機制是0基的。但是為方便讀者，原始數據文件和輸出數據文件則按一般習慣，使用1基數組對結點、單元、結點位移分量、結點荷載和非結點荷載進行編號，即PFF程序外部表現是1基的。 （2）原始數據文件的準備 下面按程序PFF所要求的輸入數據的順序說明各符號的含義及對應數據的準備方法。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 結構信息 ne,nj,n,np,nf,e ne單元總數；nj結點總數；n結點位移未知量總數；np結點荷載總數；nf非結點荷載總數；e彈性模量。

59、結點坐標 (xi,yi)(i=0;inj;i+) x和y分別為一維數組。用于存放各結點（按照1到nj的順序）的x和y坐標，每個結點占一行。 單元信息 (iji0,iji1,ai,zii)(i=0;ine;i+) ij為二維數組，a和zi分別為一維數組。 ij0單元的始端結點碼；ij1單元的末端結點碼；a單元的截面積；zi單元的慣性矩。依單元編號順序（從1到ne）依次輸入，每個單元占一行。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 結點位移分量統一編碼 (jnij(j=0;j3;j+)(i=0;inj;i+) jn為二維數組。 按結點編碼順序（從1到nj）依次輸入各結點的u、v和q位移分量

60、編號，每個結點占一行。 結點荷載信息 (pjij(j=0;j3;j+)(i=0;inp;i+) pj為二維數組。對每個結點荷載（輸入時占一行）需存放以下三個信息： pj0荷載作用的結點編號；pj1荷載的方向代碼，整體坐標系x、y和轉角方向分別用1.0，2.0和3.0表示；pj2荷載值（含正負號），與整體坐標系一致（力偶順時針）為正，反之為負。 土木工程專業系列教材結構力學 出版社 科技分社 非結點荷載信息 (pfij(j=0;j4;j+)(i=0;i0i=0,np-1l!=0pl=pji2nf0i=0,nf-1m=int(pfi0)調用lsc調用eff調用elv求j=0,5l=lvjl!=0p