1、 金 融 工 程Financial Engineering 凌愛凡lingafianyahoo .第4章 利率利率的種類：零息利率，平價利率 收益率曲線與債券定價遠期利率協議與利率期限構造實際簡介 久期與凸性利率曲線的曲率.4.1. 利率的種類利率的含義:利率，就其表現方式來說，是指一定時期內利息額同借貸資本總額的比率。對利率的了解“古典學派以為，利率是資本的價錢，而資本的供應和需求決議利率的變化；凱恩斯那么把利率看作是“運用貨幣的代價。馬克思以為，利率是剩余價值的一部分，是借貸資本家參與剩余價值分配的一種表現方式。.利率通常由國家的中央銀行控制，在美國由聯邦貯藏委員會管理。如今，一切國家都把

2、利率作為宏觀經濟調控的重要工具之一。當經濟過熱、通貨膨脹上升時，便提高利率、收緊信貸；當過熱的經濟和通貨膨脹得到控制時，便會把利率適當地調低。因此，利率是重要的根本經濟要素之一。.4.1.1.國債利率Treasury rates 投資者投資國庫券或國債時所獲的收益率，在各類衍消費品定價中，通常用此利率作為無風險利率.4.1.2 浮動利率 LIBOR是指倫敦同業銀行拆出利率，簡單說， LIBOR是指某一個銀行A給其他大銀行B提供資金時所收取的利率，銀行A需求資金的大銀行B1B2Bn借出資金LIBOR.LIBOR的期限：有1個月，3個月，6個月及1年，最長為1年，可以以LIBOR借款的銀行：信譽評

3、級AA, 反過來，也可以以為，AA級銀行向其他銀行短期借款的利率，即為LIBOR.注LIBOR 不完全等同于無風險利率，違約仍能夠發生；衍消費品買賣員普通將LIBOR，而不是國債利率，作為無風險利率；.LIBID: 倫敦同業銀行拆入利率,指某一銀行贊同其他銀行以LIBID將資金存入本人的銀行。區別LIBOR與LIBID，主要從懇求借款或貸款的自動方思索，如銀行A有資金剩余，該銀行希望將資金存入銀行B，這時，銀行B將以LIBID接受A的存款；假設銀行A 資金短缺，且具有AA級，他希望從銀行B獲得貸款，那么銀行B將以LIBOR將資金貸給A。LIBOR 與LIBID 也會受市場供求關系而發生變化普通

4、有LIBOR 略大于LIBID.4.1.3 再回購利率Repo rates再回購協議隔夜回購期限回購.4.2. 利率的度量引例：P52 .復利頻率通常被作為利率度量的根本單位；一年復利一次的利率總可以轉換成一個以不同頻率復利的等價利率，如一年復利一次利率10.25%相當于年利率10%情形下的半年復利一次利率。按季度復利一次與一年復利一次之間的不同，類似于長度單位的英里與公里的區別。.4.2.1 延續復利 (Page 53)Q: 在上面的引例中，假設令復利計算頻率趨于無窮，那么會是什么情形呢？假設將資金A投資n年，年利率為R,假設1 年計算復利1次，那么，n年后終值為假設1年計算復利 m次，那么

5、，n年后終值為4.1.延續復利利率：在上述4.1中，復利頻率趨于無窮時，所對應的利率，稱為為延續復利利率。按延續復利利率計算，n年后，資金A變為：Remark:延續復利與按天計算復利所得到資產終值相對接近；n年后的一筆資金B，按利率為R進展貼現，其現值為4.2.延續復利與每年m次復利的轉換公式假設 是延續利率， 是與之相對應的每年次復利率，那么有 即是.從而可得例4.1 P53例4.2 P534.34.4.4.3. 零息利率定義：n年的零息利率是指，今天投入資金，延續持有n年后，所得的收益率。特點：一切利息與本金在n年末一同支付給投資者，而在n年期滿之前，不支付任何利息收益。n年期即期利率=n

6、年期零息利率例：1年后到期的面值為1元的零息債券，當前的價值為0.95元，計算持有該債券的零息利率。.4.4 債券價錢債券的實際價錢等于債券持有人在未來所收取的一切現金流貼現后的總和。設現金流為 , 各個現金流的貼現利率分別為 , 這里i表示第i筆現金流， 而表示收到該筆現金流的時間，那么債券的實際價錢為注： 是年利率， 的單位是年.對債券的現金流貼現方式：一切現金流以同一個貼現率貼現，即上述表達公式中，滿足不同現金流采用不同的貼現率貼現，.例 P54, 表4.2.4.1 債券的收益率債券的收益率等于對一切現金流貼現并使得債券的價錢與市場價錢相等的貼現率。設現金流為 , 債券的市場價錢為 P,

7、 那么債券的收益率 y 滿足方程注：假設債券的貼現率為常數，且實際價錢等于市場價錢，那么債券的收益率與貼現率相等. 例，在上例中，假設債券的市場價錢等于實際價錢為 98.39，那么債券的收益率y 滿足下面方程：y=0.0676 or 6.76%.4.2 平價收益率債券的平價收益率是債券價錢等于面值時的債券票面利率券息率，設債券面值為100，平價收益率為c, 貼現利率假設為 根據定義，債券的現金流為 為每年支付利息的次數，每次支付利息.再由平價收益率的定義，債券的實際價錢等于面值，即于是或.例 P54， c是債券的票面利息，因此平價收益率為 c%, 依然記為c, 這樣就有.假設令 c表示票面利息

8、，平價收益率為c%, 依然記為c,那么滿足 或.4.5.國庫券零利息率確實定票息剝離法：從普通的國債和國庫券價錢和收益為出發點來計算零息率。引例P55 BondTime toAnnualBond CashPrincipalMaturityCouponPrice(dollars)(years)(dollars)(dollars)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6.第一個債券： 3個月期限，無券息收益：投資97.5$，收益2.5$，年收益率：按季度復利計算為 按延續復利計算為.第二個債券： 6個月期限，無券息

9、收益：投資94.9$，收益5.1$,年收益率：按半年復利計算按延續復利計算.第三個債券：1年期限，無券息收益：投資90.0$， 收益10$；年收益率：按每年復利一次計算：10%按1年期延續復利計算.第四個債券：1.5年期限，有券息收益：投資 96.0$6個月： 4$12個月：4$1.5年：104$年收益率 R，根據定價方法，此債券的價錢等于一切現金流的貼現：6個月的現金流4$,應按6個月期限的年利率貼現12個月的現金流4$，應按12個月期限的年利率貼現；1.5年的現金流104$，應按1.5年期限的年利率 R貼現；.期限為1.5年的年利率 R 應滿足如下方程： 即得到 R = 0.10681 或

10、 10.681%.第五個債券：2年期限，有券息年收益率R：用類似于1.5年期的付息債券方法，可知， R應按如下方程計算： 因此，可得2年期的債券，其年利率為R=0.10808, 或10.808%.表4.4：由表4-3數據所得出的延續復利利率P56. 零息年利率 (%)期限 (年)10.12710.46910.53610.68110.808圖4.1 由息票剝離法得出的零息利率.實際中的運用有時實際中并沒有想要的某個期限的債券，那么相應的該期限的零息債券的年利率不能經過市場上債券的收益與價錢來估計，而是用線性插值方法。例：P56， 知兩個債券期限及相應的年利率如下：2.3年期限，年利率為6%2.7

11、年期限，年利率6.5%Q：2.5年期限，其年利率為多少？.6. 遠期利率定義：由當前零息利率所蘊含出來的未來一定期限的利率。例子：P57. n-yearForward Rate zero ratefor nth YearYear (n)(% per annum)(% per annum)13.024.05.034.65.845.06.255.36.5.根據上表，思索以下幾種情形：如今投資100元，1年后其值是多少？兩年后其值又是多少？一年后投資100元，第二年末，其值是多少？.結論：當利率按延續復利表達時，將相互銜接的時間段上的利率結合在一同，整個時段的等價利率為各個時段利率的平均值。假設 R

12、1 和 R2 分別是對應期限 T1 和 T2 的零息利率，那么在延續復利情形下， 時間T1 和T2之間的遠期利率 可表示為： (4.5).例子：P57，在表4-5中，驗證第3年到第4年之間的遠期利率，這時 T1=3, T2=4, R1=0.046, R2=0.05, 那么 RF=0.062.由4.5，可得 上式闡明：假設零息利率曲線在T1, T2之間向上傾斜，即R2R1，那么有RFR2，這闡明遠期利率比兩個利率都大；相反，假設零息利率曲線在T1, T2之間向下傾斜，即R2R1，那么有RFR2，這闡明遠期利率比兩個利率都小；4.6.瞬時遠期利率 在4.6中，令 T1=T, 并讓T2趨近于T，兩邊

13、取極限，即得到 稱之為T時辰的瞬時遠期利率，R為期限為T的年零息利率。這是表示在T時辰開場的一段很短時間內的遠期利率。.假設P(t, T)表示T時辰到期的零息債券在當前t 時辰的價錢，那么 或 代入瞬時遠期利率公式中，即有.7.遠期利率協議FRA7.1 定義：買賣商定：在未來某一段時間，買賣的一方以某一預先確定的利率借入或借出固定數量的資金，是一種場外買賣產品。例：假設公司X贊同在未來的 T1 和 T2之間將資金L借給公司Y， RK ：FRA中商定的利率 RF ：由今天計算的介于時間T1和T2之間的 LIBOR利率 RM ：在時間T1和T2之間的真正的LIBOR 利率.公司X的現金流：公司X在

14、 T1時辰，其資金 L 可以以無風險利率 RM 貸出，假設X進入FRA，那么可以以利率RK 把資金 L 借給公司Y, 獲得額外利率 RK RM，在時辰T2，公司X的額外利率導致的現金流為能夠為負：.公司Y的現金流：與X的現金流方向相反，數量相等，即在T1時辰，公司Y本可以以無風險利率 RM 獲得借款 L，但當Y進入FRA后，需求以利率RK從X借入資金L，這樣，在T2時辰，公司Y額外支付的利率 RM Rk，導致的現金流為(能夠為正：.FRA的交割時辰：普通在T1時辰可交割(why)交割時辰X的收益：將T2的現金流貼現到T1:交割時辰Y的收益：注：這里假設利率按復合頻率計算，而不是延續復利方式 例

15、 4-3 P59 .7.2 FRA的價值在t=0時辰，假設FRA的執行利率為RK=RF，那么這份FRA 在 t=0 時辰的價值為0.思索兩個本金均為L的FRA，FRA1: 承諾在T1和T2之間收益率為由LIBOR計算的遠期利率RF (參照作用。FRA2: 承諾在T1和T2之間收益率為RK.FRA1與FRA2的額外現金流的貼現之差為. 那么，收入商定利率為RK的FRA的一方，在t=0時辰，其持有的FRA的價值為： 反過來，支出商定利率為RK的FRA的一方，在t=0時辰，其持有的FRA的價值為： 這兩個值恰好相反。(4.9)4.10.7.3 對FRA定價的步驟：假定遠期利率會被實現的情形下即 RM

16、=RF)，根據4.7或4.8計算現金流；將收益用無風險利率進展貼現例4-4. P59.8. 久期8.1 定義：指投資者收到一切現金流所要等待的平均時間。一個 n 年期零息國債的久期為 n 年，而一個年帶息國債的久期小于 n 年。8.2 久期的計算公式 I: 延續復利假設下設某債券在時間 共支付了n 次現金流 ，那么在延續復利收益率y下，債券的價錢B為：4.11. 債券久期定義為：方括號中的項為 時辰債券支付現金流現值與債券價錢的比，而債券價錢等于一切未來支付的現值總和。或4.12.8.3 久期的意義：久期是付款時間的加權平均，對應于 時辰的權重等于 時辰的支付現值與債券總貼現的比率，一切的權重

17、相加等于1，即.當收益率 y 有微小變化時，利用函數微分的近似特點，有：在4.11中，對 y 進展求導，代入上式，有 從上式可知，債券價錢的變化 與其收益率的變化 是逆向的，或說B與 y 的變化反向的。4.134.14.根據4.12及4.14，有：或這個公式反映了債券價錢變化率與收益率之間呈線性關系。4.154.16.假設債券當前的收益率為y,價錢為B，當收益率變化 時，債券的價錢變化為 ，這時債券的新的價錢 可用如下公式估計利率的變化通常用基點來衡量：1基點=0.01%.例4-5 P61.8.4 修正久期久期的計算公式 II : 年復利假設下假設 y 是一年復利一次的利率，那么久期計算公式為

18、假設 y 是一年復利m 次的利率，那么久期計算公式為.稱下式的 D* 為債券的修正久期。假設 y 是一年復利m 次的利率，那么有例 4-6 P61絕對額久期 D*： , 那么有 .8.5 債券組合的久期定義：構成債券的組合中每一個債券的久期的加權平均，其權重與相應債券價錢成正比。計算公式：假設一個組合中有n個債券，其價錢為 Bi ,久期為 Ti i=1, , n)， 記那么此組合的久期為.注：此公式可以用來對債券組合的價錢進展估計，即當債券收益有一個微小的變化時，債券組合的價值也會有一個反向的變化，但是，這種估計普通要求一切債券的收益率的變化是一樣的。.9 曲率凸度為什么要研討債券的凸度？久期提供了一種對債券價值相對于單位收益率的變化靈敏程度；但是，這是建立在債券價錢報答與收益率變化呈線性關系的假設之上的，即當收益率的變化很小時，利用久期可以估計債券的價錢。但是